Poincaré圆盘模型:一个神奇的双曲世界

    今年恰逢PKU数学文化节十周年,其间开办的很多讲座我都去了。去听讲座的人好像都是数院的,我恐怕是唯一一个中文系的。考虑到我和中文系的MM没有共同话题,因此每一次听讲座时我都会顺便四处打望,看看有没有数院的美女,下来可以和她“交谈”一下。有趣的是我的做法与常人所想的恰好相反:据说数院的已经盯上中文系的MM了,而我一个中文系的竟然反过来去找数院的MM。
    昨天有一个关于非欧几何的讲座,这是目前所有的讲座中最为精彩的一次。讲座里提到了Poincaré的一个双曲几何模型,感觉非常有意思,在这里和大家分享一下。
    在所有的双曲几何模型中,Poincaré的圆盘模型可能是最有趣的一个。这个双曲世界存在于一个有限的平面区域里,整个世界限制在一个单位圆的范围内。这个世界中有两个最重要的物理定律:一,假如某物体X离原点O距离为d,那么该物体的温度为1-d^2;二,物体的大小与温度成正比。这样,假如某个人从这个世界的中心走向边缘,那么他的温度会从1慢慢变成0,同时整个人慢慢变小。他自身大小改变的同时周围的物体也等比例地放大或缩小,而这个世界里的人视野有限,看不见远处的东西,因此他不会觉得自己变小了或者变大了。因此,在这个世界里,物理学家们能够很轻易地发现第一定律,但要发现第二定律则非常具有挑战性,探索第二定律的过程必然很曲折,并且很可能出现哥白尼时代的故事。
    对于我们来说,这个世界是有界的;但对于这个世界中的人来说,这个世界是无穷大的。因为离原点越远,人就越小,于是相对来说他们所看到的空间也就越大。当人的位置趋于边界时,物体大小趋于0,此时的空间将变得无穷大,因此这个世界中的物体永远无法到达边界。同时,离原点越远的话越接近“绝对零度”,这将非常不适宜生物的生存,因此人们大多居住在原点,离原点越远城市规模越小,更远的地方则完全没有开发过,只适合于疯狂的冒险家进行极限运动。于是这个世界中的物理学家很自然地得到这个结论:世界是无穷大的。
    下面就神奇了。现在,考虑某个人想从A点走到B点。如果按照红色的线段直直地走过去,所走的路程并不是最短的,因为这条路线离原点较远。聪明的人会发现,我先往原点方向走一点,然后再到B点去,这样走的路程更短一些。我们猜想,最短路线很可能是一条偏向于原点的弧线(就好像原点把直线段“吸”过去了一样)。之所以产生这种奇怪的现象是因为,离原点越远物体就越小,人的步子也变小了,相对来说实际空间就变大了。因此,对我们来说距离相等的两点,对他们来说离原点越远其实际距离越大。因此,我们有必要重新定义这个双曲世界中“距离”的概念。由于物体大小与1-d^2成正比,因此我们可以定义,如果在离原点距离为d的位置上有一个充分小的位移,在我们看来距离为Δx,那么在这个世界中的实际距离就是Δx/(1-d^2)。这样就可以算出,从A到B的最近路线是一条垂直于边界的圆弧(蓝色的那条)。于是在这个世界中,“直线段”已经不再是我们熟悉的直线段了,而是一条条的弧线(还包括整个圆的直径)。而我们眼中的直线,在他们看来就是曲线。
      
    这个世界中的几何满足欧式几何的前面四个公设,但不满足第五公设。比如,两点确定一条直线,因为过两点的圆弧只有一条垂直于这个世界的边界;而直线可以无限延长,因为离边界越近两点的实际距离越大,你永远走不到尽头。但是,这个世界不满足第五公设。从图2可以看到,过一点可以作无数条直线不与已知直线相交;从图3可以看到,三角形的内角和小于180度。下面这幅图片可以帮助你更好地理解这个双曲模型。这是该平面上的一个三角形剖分,里面的所有三角形都是等边三角形,而且所有这些三角形都是一样大的。你可以看到7个等边三角形共用一个顶点,这说明三角形的内角和小于180度。

      

    另外值得一提的是,这个构想很适合写成一篇科幻小说。记得大刘的那篇科幻吗?一群电子器件诞生在某颗星球的内核,然后探索物理定律,历经重重困难,最终冲破了它们那个世界的“天然外壳”,看到了外面的世界,并相信我们整个宇宙也处于一个更大的星体内。这个双曲几何模型也很适合写出这样的小说来,比如以物理史书的方式叙述从古至今若干个传奇人物的故事,讲述他们是如何从一些奇怪的现象出发,通过各种试验证明自己的猜想,顶住社会各方面的压力,执著地探索宇宙的奥秘。小说中的人物可以带着读者一起进行探索,最后才告诉读者这个宇宙的本质是什么。

Matrix67原创
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16 条评论

  • 逆铭

    期待中文系大牛的科幻作品……

  • OrangeCLK

    相当有意思,也许我们的世界就是这样的呢。我们的世界中,光线就的轨迹就是一个圆周。这个世界太诡异。。。。看看数学、物理和信息学到底怎么发展了。

  • swj

    我发现matrix67这样的复合型人才去做科普(数学普及?)工作再合适不过了

  • raphael

    看了很多,第一次留言
    在线: 6 人  07.10.28–23:57

  • raphael

    谁的钟更准些呢:)

  • NOVA

    回逆铭牛:
    请点击original works……

    记得大刘的那篇科幻吗?一群电子器件诞生在某颗星球的内核,然后探索物理定律

    这个我看过……
    M牛您觉得他新的那个《三体》如何?

    回复:后来不买科幻世界了,没看完;不知道有没有单行本

  • 郁影公子

    今天有个小师妹向我介绍了你,我也是北大的,大家认识一下吧,如果可以的话加我发我邮件吧
    soulatease@126.com

    回复:对小师妹更感兴趣

  • cuckoo

    那你当初为啥不去读数学系啊?北大中文系真是有很多怪人,我有个研究生同学就是你们中文系的,转过来读计算机。

  • 燕仰

    orz竟然在地幔层看到我在信管的好朋友。。北大真小。。。

  • easoncxz

    ‘地幔’那里真是太囧了~哈哈哈

  • 喝粥的狐狸

    给力啊,总觉得这种几何模型很合拍大爆炸的理论,再次看到我人类种弱小局限的直观能力

  • 明厉

    我觉得吧,速度是确定的,嗯,一个东西无论变得多么小,就像粒子和宇宙飞船的差别,都不妨碍他本身的速度,除非温度对速度也有影响,或者这个世界应该有着一种类似光速的限制。当然,如果对于一个人来讲,或者这个世界的生物,他本身的速度,往往受他本身限制。

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