Borromean rings的另一个离奇的性质

    下图中的图 (a) 是由三个绳圈组成的。这是一个非常经典的图形,叫做 Borromean rings 。 Borromean rings 有一个非常神奇的特点:它们是套在一起的,没有哪个绳圈能从中取出来;但是,仔细观察你会发现,每两个绳圈之间都并没有直接套在一起!

      

    Borromean rings 还有一个听上去更离奇的性质:如图 (b) 所示,如果把其中任意两个绳圈真的套在一起,那么第三个绳圈就会自动脱落掉!为了看出这一点来,我们可以像图 (c) 那样,把其中一个绳圈缩小,让它紧紧地裹在另一个绳圈上,这下就很容易看出,它已经不再对第三个绳圈有任何限制作用了。

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五个有趣的拓扑变换问题

    如果你喜欢上次的空间想象能力挑战,你一定会喜欢 V. V. Prasolov 的 Intuitive Topology 一书。书中的第一章有五个非常经典的“拓扑变换”类谜题,在此与大家分享。注意游戏规则:我们假设所有物体都是用橡胶做成的,可以随意地拉伸、挤压、弯曲,但不允许切断、粘连等任何改变图形本质结构的操作。

    1. 能否把左图连续地变形为右图?

      

 
    2. 能否把左图连续地变形为右图?

      

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空间想象能力挑战:把左图连续地变换为右图

    为了说明“同痕”这一概念直观上并不容易把握,《The Knot Book》一书中举了一个经典的例子。如下图,左图是一个有三个洞的立体图形,右图是被挖出了三条通道的立方体(但其中一个通道在另一个通道上缠绕了一圈)。令人难以置信的是,两者之间竟然是同痕的,换句话说前者可以连续地变形成为后者。你能想象出这个变换过程吗?

      

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趣题:构造更大的Brunnian link

    下图中的三个绳圈套在一起,没有哪一个绳圈能从中分离出来。不过,真正有趣的是,如果去掉其中任意一个绳圈,那么其他所有的绳圈都全部散开了。如果 n 个绳圈套在一起,并且任意去掉其中一个绳圈都会同时解开其他所有套着的绳圈,我们就把它叫做 n-component Brunnian link 。

      

    你能想出一个 n = 4 的 Brunnian link 吗? n = 5 呢? n 可以任意大吗?

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最难的组合游戏:To Knot or Not to Knot

    A Midsummer Knot’s Dream 简直可以说是去年学术界的一篇奇文,大家点进去看看就知道了。论文里讲了一个基于纽结理论的双人对弈游戏,名字也非常有艺术感: To Knot or Not to Knot 。这个游戏可能是最难的组合游戏了,它的数学性极强,思考难度非常大,甚至比 ERGO 更不容易上手。一场游戏下来,究竟谁赢谁输可能都不好判断。

    To Knot or Not to Knot 的游戏规则非常简单。用铅笔在纸上画一个封闭的、可以自相交的回路,然后 A 、 B 两人轮流在图形中选取一个尚未被处理过的交叉点,并用橡皮擦对图形进行“细化”,明确两根线条的位置关系(可以抛掷硬币决定谁先行动)。A 的目的是要让最终的图形变成一个结,而 B 的目的则是避免图形打结。下面是其中一种可能的游戏过程,双方约定 B 先走。两人轮流对交叉点进行细化,七步之后,整个图形并未打结(你能看出来吗), B 获得胜利。

      

    注意,这是一个决策透明、信息公开的游戏,并且游戏不可能有平局产生。因此,即使双方都使出最佳策略,也必然有一个人会赢有一个人会输。也就是说,任意给定一个初始状态,总有一方有必胜的策略。不过,难就难在,究竟谁有必胜策略,必胜策略是什么,这并不容易判断。让我们来做一个练习题吧:下面的图形中,如果 A 先走,B 后走,谁有必胜策略?如果 B 先走,A 后走呢?记住,A 的任务是要让最终的图形打成结,而 B 的任务则是避免图形打结。

      

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