Heron 公式是一个已知三角形三边长便能直接求出其面积的经典公式。把三角形的三边长分别记作 a 、 b 、 c ，令三角形的半周长 p = (a + b + c) / 2 ，则三角形的面积可以用 Heron 公式 S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 求出。如果把 p = (a + b + c) / 2 代入式子，得到的公式其实也挺对称的： S = √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) / 4 。

    现在，我们把这个公式看作是一个关于 c 的函数： f(c) = √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) / 4 。它的导数是多少？

    注意到，利用平方差公式，根号内的式子可以进一步整理为 ((a + b)² - c²)(c² - (a - b)²) ，它的导数是 - 2c(c² - (a - b)²) + 2c((a + b)² - c²) = 4c(a² + b² - c²) 。因而，整个原函数的导数就是 c(a² + b² - c²) / (2 · √(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(- a + b + c) ) 。

    有趣的是，当 a 、 b 、 c 满足勾股定理的关系 a² + b² = c² 时，导数值正好为 0 。这是为什么？ Heron 公式的导数的零点和勾股定理有什么联系呢？

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    曾经想过要写一篇科幻小说，讲一种生活在空壳星球内表面的文明，如何发现自己的星球是圆的，如何成功地环游世界一周，又如何发现自己其实是在星球的内表面。今天我长出了一口气，幸好当初没写这样的文章，不然就闹笑话了。今天我才知道，空壳星球内部的人是不能居住在星球的内表面的，因为空壳星球内的任意一点都没有重力。

    这其实并不难理解。虽然脚下的土地离你更近，产生的重力作用更显著，但可惜这部分土地并不多。星球的更多部分将会位于你的头上，但可惜它们又离你太远了，影响也不会太大。近的部分太小，大的部分又太远，这两者很可能是一种平衡的状态。

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    今天在这里学到一种很诡异的定积分方法。看看下面这个定积分，你打算怎么求解？

    当然，我们假设 a 、 b 满足这个定积分的值确实存在。

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    公式 h = (1/2)·g·t^2 里， t 头上的平方并不奇怪。显然，物体下落的路程是与重力加速度 g 和时间 t 有关的，高度 h 就由这两个变量决定。注意到 g 是一个加速度单位，是米除以平方秒的形式；为了得出一个以长度为单位的结果，我们必须要消除分母位置上的“平方秒”，因而时间变量 t 必须要以平方的形式出现。

    类似地， E = m·c^2 里的平方也不是凭空而来的。能量的单位是牛乘以米，牛本身又是千克乘以米每平方秒，刨根到底能量的单位就该是 千克·(米^2)/(秒^2) ，正好符合等式右侧“质量乘以速度平方”的量纲。

    在数学中，量纲法也是无处不在。 n 维球的体积公式一定是半径的 n 次方乘以一个系数， Heron 公式 A = √s(s - a)(s - b)(s - c) 看似复杂的外表下也遵循着量纲这一金科玉律。给定 n 个数，我们有多种定义其平均数的方案，包括所有数之和的 n 分之一（算术平均数），所有数乘积的 n 次方根（几何平均数），所有数的倒数和的倒数的 n 倍（调和平均数），所有数的平方和的 n 分之一的平方根（均方根），等等。由于一组数的平均值的量纲应该和这些数本身的量纲保持一致，因此在各种平均数的公式里，平方了就要开回去，取倒了还得倒回来，全乘在一起就得开 n 次方，这样才能得到同样类型的数。

    自从在《怎样解题》里看到了量纲法，在学习和讲解数理知识时我便特别留意量纲，慢慢总结出上面这些用于说明量纲规律的经典例子。今天，我又看到了一个把量纲用得神乎其技的经典例子，在这里和大家分享。

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  依次考虑下面三个问题。

    1. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截木棒平均有多长？

    2. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，长的那一截木棒平均有多长？

    3. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截与长的那一截的长度之比平均是多少？

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    最近看到几个有趣的数学谬证，想写下来与大家分享；结果写到这个又想到那个，一写就写个没完，于是想到干脆做一篇谬证大全，收集各种荒谬的证明。
    如果你有什么更棒的“证明”，欢迎来信与我分享，我会更新到这篇日志中。我的邮箱是 matrix67 at tom.com ，或者 gs.matrix67 at gmail.com 。

1=2？史上最经典的“证明”

    设 a = b ，则 a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2 = a^2 - b^2 。注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有 b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。约掉 (a - b) 有 b = a + b 。然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。约掉 b ，得 1 = 2 。

    这可能是有史以来最经典的谬证了。 Ted Chiang 在他的短篇科幻小说 Division by Zero 中写到：

There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the middle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.

    这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。

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    考考你的立体几何直觉：用一系列间距相等的平行平面把一个球体切成厚度相同的薄片，这些薄片的侧面积都相等吗？

  
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