如果叫我说出一个我最喜欢的数学定理，之前我可能会说 Monge 定理；不过现在，我可能会说 Marden 定理了：
设 p(z) 是一个复数域上的三次多项式， z1 、 z2 、 z3 是 p(z) 的三个根，它们在复平面上不共线。那么，在这个复平面上存在唯一的椭圆，使得它与三角形 z1z2z3 的各边都相切，并且都切于各边的中点处。并且，这个椭圆的两个焦点是 p'(z) 的两根。
读完这个结论以后，你一定会被数学之美深深地打动。这个结论出现在了 Morris Marden 于 1945 年发表的一篇论文里，因而被 Dan Kalman 称为 Marden 定理。 Marden 本人则认为，这个结论最早是由 Jörg Siebeck 在 1864 年发现并证明的。下面我们简单地来证明一下这个结论，证明过程出自 Dan Kalman 在 2008 年发表的获奖论文 An Elementary Proof of Marden’s Theorem 。
任意一个三角形的三条中线都会交于一点，这个点就叫做三角形的“重心”。任意一个三角形的三条高都会交于一点，这个点就叫做三角形的“垂心”。任意一个三角形三边的垂直平分线都会交于一点，这个点就叫做三角形的“外心”。 1765 年，大数学家 Euler 指出：任意一个三角形的重心、垂心和外心都在一条直线上，并且重心会把垂心和外心的连线分成 2 : 1 两段。这个结论虽然有很多很漂亮的证明，但作为一个非常基本的结论，它还有一种非常直观的解释方法。最近在做一个课件的时候，需要用到这种直观理解的动画演示，结果在网上找了半天也没找到，最终决定自己做了一个。
上图中，红色的点是三角形三条高的交点，也就是垂心；蓝色的点是三角形三条中线的交点，也就是重心。现在，把整个三角形绕着重心旋转 180 度，同时以重心为中心把图形缩小到原来的一半。于是，每个点都会跑到重心的正对面去，同时到重心的距离也会缩短到原来的一半。你会发现，由此得到的小三角形，三个顶点都在大三角形各边的中点处（因为它们是大三角形的顶点转过来得到的，而重心在各中线的 2 : 1 处）；同时，小三角形的三条高分别与大三角形的各边垂直（因为它们是大三角形的高转了 180 度得到的）。你会发现，小三角形的垂心正好就是大三角形的外心！而小三角形的垂心就是由大三角形的垂心转过来得到的，这两个点与重心应该在一条线上，并且到重心的距离有 1 : 2 的关系。这样一来，我们就相当于证明了 Euler 线定理。
证明：对于平面上的任意一个大小为 10 的点集，我们总能在平面上不重叠地放置若干个单位圆，使得它们合起来可以覆盖到所有这 10 个点。
四边形 ABCD 是一个正方形，在 BC 上取一个点 M ，在 CD 上取一个点 N ，使得 BM = CN 。连接 AM 、 AN ，与对角线 BD 分别交于 P 、 Q 两点。求证： BP 、 PQ 、 QD 三条线段一定能组成一个三角形，并且这个三角形的其中一个角等于 60° 。
今天看到了一道很有趣的几何题。如图，四边形 ABCD 中，连接对角线 AC 、 BD ，若 ∠ABD = 40° ， ∠ADB = 80° ， ∠CBD = 70° ， ∠CDB = 50° ，求 ∠BAC 的度数。
这道题看上去似乎非常简单，但稍作尝试你就会发现，仅仅是在这几个角度之间来回倒腾，是没法求出 ∠BAC 的度数的。听说过 Langley 问题（就是那个臭名昭著的 20-80-80 三角形）的人就会知道，这种类型的题目往往会非常非常地复杂。据说这是 1989 – 1990 年加拿大亚伯达省中学数学竞赛中的一道题目，当时只有一个人做对，并且解答过程用到了非常繁琐的三角函数运算。然而，这道题实际上有一个非常漂亮的秒杀方法，完全不需要使用三角函数。你能想到吗？
