数学之美:垂心的各种优雅的性质

    下面这些文字来源于我在初三数学竞赛课的一份讲义。这节课的主题本是四点共圆,但由此引出了三角形中很多漂亮的性质,让人深感数学之美。在此整理出来,献给所有还在中学读书的读者,以及早已远离中学数学的 80 后。不管大家是否喜爱数学,想必都会被这些奇妙的结论所震撼。

    

    三角形的奇迹首先表现在各个“心”上:三角形内部的每一组有几何意义的线条都交于一点。三条角平分线交于一点,这个点就叫做三角形的“内心”,它是三角形内切圆的圆心;三边的中垂线交于一点,这个点就叫做三角形的“外心”,它是三角形外接圆的圆心;三角形的三条中线也交于一点,这个点叫做三角形的“重心”,因为它真的就是这个三角形的重心。用力学方法可以很快推导出,它位于各中线的三等分点处。这些心将会在本文后面某个出人意料的地方再次出现。

    三角形的三条高也不例外——它们也交于一点,这个点就叫做三角形的垂心。

    垂心看上去很不起眼,但深入研究后即会冒出很多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形将会产生出共圆的四点,因此画出三角形的三条高后,会出现大量四点共圆的情况,由此将挖掘出一连串漂亮的结论。让我们先来看一个简单而直接的结论:

定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足,则 ∠1 = ∠2 。
 

 
证明:由于 ∠AFC = ∠ADC = 90°,因此 A 、 C 、 D 、 F 四点共圆,因此 ∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A 。同理,由 A 、 B 、 D 、 E 四点共圆可知 ∠2 = ∠A 。因此 ∠1 = ∠2 。

 
    如果把三边垂足构成的三角形称作“垂足三角形”的话,我们就有了下面这个听上去很帅的推论:

推论:三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
 

 
证明:因为 AD 垂直于 BC,而刚才又证明了 ∠1 = ∠2,因此 ∠3 = ∠4 ,即 HD 平分 ∠EDF 。类似地, HE 、 HF 都是 △DEF 的内角平分线,因此 H 是 △DEF 的内心。

 
    另一个有趣的推论如下:

推论:将 △ABC 沿 AC 翻折到 △AB’C ,假设 EF 翻折到了 EF’ ,则 EF’ 和 DE 共线。
 

 
证明:这可以直接由上图中的 ∠1 = ∠2 推出。

 
    1775 年,Fagnano 曾经提出了下面这个问题:在给定的锐角三角形 ABC 中,什么样的内接三角形具有最短的周长。这个问题就被称作“Fagnano 问题”。 Fagnano 自己给出了答案:周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。

定理:在 △ABC 的所有内接三角形中,垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。
 

 
证明:像上图那样,把三角形翻折五次,得到折线段 DEF1D2E2F3D4 。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到,由前面提到的垂足三角形的性质可知,这条折线段正好组成了一条直线段。另外,注意到如此翻折之后, BC 和 B2C2 是平行且相等的,而且 D 和 D4 位于两线段上相同的位置,因此从 D 到 D4 的折线段总长以直线段 DD4 最短。这就说明了,垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长。

 
    不过,这还不够震撼,垂心还有不少的本事。四点共圆还会给我们带来其它的等角。

定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足,则 ∠1 = ∠2 。
 

 
证明:由于 ∠BFH = ∠BDH = 90°,因此 B 、 F 、 H 、 D 四点共圆,因此 ∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2 。

 
    这将给我们带来了下面这个非常漂亮的推论。

推论:把 △ABC 的垂心 H 沿 BC 边翻折到 H’ ,则 H’ 在 △ABC 的外接圆上。
 

 
证明:由于 H 和 H’ 沿 BC 轴对称,因此 ∠H’ = ∠1 。而前面已经证明过了, ∠1 = ∠2 。因此, ∠H’ = ∠2 。而 ∠H’ 和 ∠2 都是 AC 所对的角,它们相等就意味着 A 、 C 、 H’ 、 B 是四点共圆的。

 
    换一种描述方法,这个结论还可以便得更酷:

推论:把 △ABC 的垂心 H 沿三边分别翻折到 H1 、 H2 、 H3 ,则 A 、 B 、 C 、 H1 、 H2 、 H3 六点共圆。
 

 
证明:这可以直接由前面的结论得到。

 
    另一个更加对称美观的结论如下:

推论:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心,则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。
 

 
证明:做出 △ABC 的外接圆,然后延长 HD 、 HE 、 HF ,它们与外接圆的交点分别记作 H1 、 H2 、 H3 。前面的结论告诉我们, HH1 = 2HD , HH2 = 2HE , HH3 = 2HF。而相交弦定理(或者圆幂定理,可以用相似迅速得证)告诉我们, AH·HH1 = BH·HH2 = CH·HH3 。各等量同时除以 2 ,就有 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

 
    让我们再来看一个与外接圆有关的定理。

定理:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心。过 C 作 BC 的垂线,与 △ABC 的外接圆交于点 G 。则 CG = AH 。
 

 
证明:我们将证明四边形 AHCG 的两组对边分别平行,从而说明它是一个平行四边形。注意到 CG 和 AD 都垂直于 BC ,因此 CG 和 AD 是平行的。由于 ∠BCG 是直角,这说明 BG 是圆的直径,也就说明 ∠BAG 也是直角,即 GA 垂直于 AB 。而 CF 也垂直于 AB ,所以 AG 与 CF 平行。因而四边形 AHCG 是平行四边形, CG = AH 。

 
    它也能带来一个更帅的推论:

推论:若 H 是 △ABC 的垂心,O 是 △ABC 的外心,则 O 到 BC 的垂线段 OM 与 AH 平行,并且是 AH 长度的一半。
 

 
证明:前面我们证明了,上图中的 CG 与 AH 平行且相等。注意到 BG 是外接圆的直径, BG 的中点就是圆心,也就是 △ABC 的外心 O 。垂线段 OM 是 △BCG 的中位线,它平行且等于 CG 的一半,从而也就平行且等于 AH 的一半。

 
    好了,下面大家将会看到的就是初等几何的瑰宝:

推论:三角形的垂心、重心和外心共线,且重心在垂心和外心连线的三等分点处。
 

 
证明:把 AM 和 HO 的交点记作 X 。刚才我们已经证明了, AH 与 OM 平行,且长度之比为 2:1 。因此, △AHX 和 △MOX 相似,相似比为 2:1 。由此可知, HX:XO = 2:1 ,即 X 在线段 HO 的三等分点处。另外, AX:XM = 2:1 ,也就是说 X 在三角形中线 AM 的 2:1 处。这说明, X 正是三角形的重心!

 
    任意给定一个三角形,它的垂心、重心和外心三点共线,且重心将垂心和外心的连线分成 1:2 两段。这个美妙的结论是大数学家 Euler 在 1765 年时发现的,它是众多“Euler 定理”的其中之一。

    说到 Euler 定理,九点圆是不能不提的;不过由于篇幅有限,也就到这儿为止了。垂心的性质还有很多,很难在一篇文章里把它们讲完。而且,这还仅仅是与垂心相关的定理,三角形中的心还有很多很多。1994 年,美国数学教授 Clark Kimberling 开始收集历史上被数学家们研究过的三角形的心,并建立了“三角形中心百科全书”的网站。这个网站记录了几乎所有目前已知的三角形的心。在这部百科全书里,每个三角形的心都有一个编号,编号为 n 的心就用符号 X(n) 来表示,其中 X(1) 到 X(8) 分别为内心、重心、外心、垂心、九点圆圆心、类似重心、 Gergonne 点和 Nagel 点。不但每个心都有自己独特的几何性质,各个心之间还有大量共线、共圆的关系。

    这个网站的地址是 http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html 。目前,整个网站已经收集了 3000 多个三角形的心,且这个数目还在不断增加。

52 条评论

  • Alex Wang

    沙发支持

  • melochale

    沙发。。。

  • HTwood

    orz……为什么没人呢?

  • Ekoms

    看到9点圆和欧拉线的时候泪流满面……
    另外推荐单墫的《平面几何中的小花》,很不错的一本书。

  • ray

    matrix犀利,想起当初初中不认真听课,原来有这么多东西没听到。。

  • doyle

    初中完全没学过什么4点共圆,9点共圆…上海学校不教吧

  • 严酷的魔王

    那个网页坑爹啊。。那么长的一个单页面

  • Ladygaga

    请教楼主 这些图使用什么软件画的?谢谢~

  • weigy

    3000多个心,怎么加载得完啊

  • Iamds

    帅,三角形的垂心是其垂足三角形的内心

  • 落水

    谢谢,matrix67构起我们80后的记忆,其中几个证明都是难题啊,在那个时候

  • 御手洗破

    …..
    好久没更新啊,M67君……
    这些证明真的很有意思……当时学平面几何的时候感觉没那么有趣啊……
    这种巧妙的证明真是让人X疼……

  • 高歌人未老

    简单画了画,对钝角三角形,垂心不再是其垂足三角形的内心,但此时,某一个原三角形顶点会成为垂足三角形的内心。且原三角形垂心与此顶点及另一垂足有三点共线关系(感觉上还应该是成比例的)。

  • 高歌人未老

    很久没画过平面几何的东西了,这里面有好多也是初中时的我所不知道的。感谢matrix同学。小小的握爪吧。

  • matcxf

    请问Matrix67 文章中的几何图是用什么软件画的?

  • 大葱大豆

    喜欢平几的moer表示很熟悉,终于有很熟悉的了,,,
    定理:在 △ABC 的所有内接三角形中,垂足三角形 △DEF 拥有最短的周长,证得很漂亮

  • 八戒2师兄

    我也想问matrix67,这些图是用什么画的?

  • 碎云渊

    好几年前就看m67大牛的blog了。。。
    作为一个数学人还是惭愧啊,很多数学知识远不及m67。。。
    m67快过生日了,祝大牛生日快乐吧!!!

  • 碎云渊

    之前还听过一个关于82的搞笑故事,,,,哈哈,,

  • Galaxie500

    想请问下matrix大牛,文中的图形都是用什么软件画出来的?

  • hwb

    有个笔误:“变得更酷”,写成了“便得更酷”
    另外最后一个三心共线处比例应该是2:1吧。

  • biohu

    太强大了。。。前来膜拜。。。

  • kuphrer

    5万行3MB的网页按行业惯例是要作杀猫提醒的哇…

  • kuphrer

    5万行3MB的网页,按行业惯例是要做杀猫提醒的哇…

  • 小渡

    Orz……

    ps:17楼可以去看看这篇日志就知道了啊。。。http://www.matrix67.com/blog/faq

  • Essence

    man or boy test查查看有67之源

  • Ironcircle

    Orz…..
    关于垂足三角形,原三角形的三个顶点都是这个垂足三角形的旁心(易证)
    而且这个反过来也成立(也就是三角形的内心是三角形的旁心所构成的三角形的垂心,并且原三角形的内心,一个顶点和其所对的旁心是三点共线的)

  • Ironcircle

    Orz…..
    关于垂足三角形,原三角形的三个顶点都是这个垂足三角形的旁心(易证)
    而且这个反过来也成立(也就是三角形的内心是三角形的旁心所构成的三角形的垂心,并且原三角形的内心、一个顶点和其所对的旁心是三点共线的)

  • 多多

    我看得内牛满面。。。

  • 多多

    看得我内牛满面。。。

  • morrowind

    让我得出一个题外的推论:国外网速真的比咱快很多!

  • Malloc

    青葱时代

  • 浅栖

    谁知道matrix67的高亮方框是怎么弄的。。

  • acmol

    呃,matrix67神牛能不能给推荐一些书目?比如数学上的,或者算法之类的

  • ppwwyyxxc

    m牛喜欢这个的话。。。我搞MO的时候倒是有总结很多

  • 北京婚纱照

    高深,支持博主。

  • 蝈蝈

    作为一个高中生,发现自己如果对某个数学知识点的详细发展史和产生背景,最重要的是知识在发明之初如何简化人们计算,有较为详细了解会对内容有所谓的“举一反三”的能力,希望可以的话告诉我一些关于了解“高中数学知识点的详细发展史和产生背景”的方式,最希望是一些互联网资源。注:没有email

  • guishan

    初中那会正是我对数学极感兴趣的时候,九点共圆我记得就是殴拉圆吧,可惜这些课本里基本不提及,只在一些竞赛书里会有介绍,数学之美相当令人陶醉的。。

  • 幻风

    推论:若 D 、 E 、 F 分别是 △ABC 三边的高的垂足, H 是垂心,则 AH·DH = BH·EH = CH·FH 。

    这个证明太傻了……还用延长?AFDC本身的四点共圆就证了一个,后边类似……脑子时不时也有点小短路哈?……

  • mike

    有一本蓝皮的《近代欧式几何学》,不知楼主看过否,里面就有N多关于平面几何的结论。
    初中时看过,现在快忘干净了。。。悲催!

  • 游客

    三等分角与数域扩张 [1]
    李尚志[2]
    一角三分本等闲,尺规限制设难关。
    几何顽石横千载,代数神威越九天。
    步步登攀皆是二,层层寻觅杳无三。[3]
    黄泉碧落求真諦,加减乘除谈笑间。
    注:
    1. 这些诗都是为湖南教育出版社编写的高中教材写的“章头诗”,每一章前面写一首,以概括这一章的主要内容的思想或方法。
    2. 李尚志,数学家,北京航空航天大学博士生导师.
    3. 尺规作图只能将数域不断作二次扩张,永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键。
    数域扩张、数域不断作二次扩张、实数数域有限次地作二次扩张、有理数数域有限次地作二次扩张。它们是不一样的。李尚志把它们当作同一个内容来使用了。李尚志作了一首荒唐的诗。这也是必须翻过来的一个数学案。

  • 彩虹之子

    欧拉线许多证明都很漂亮
    中位线三角形与原三角形关于重心位似,而中位线三角形垂心就是外心(用这个可以证明垂线共点),所以秒杀欧拉线丫~~

    表示很喜欢稀奇古怪的数学题(很多题都很漂亮),希望能多和M牛交流交流~~~

  • trek jerseys

    其实道理就是这样的

  • cervelo

    我也想问matrix67,这些图是用什么画的?

  • cervelo

    尺规作图只能将数域不断作二次扩张,永远也不能包含不可约三次方程的根。这是证明三等分角不可尺规作图的关键

  • Ⱥ·¢100ÍòÓʼþÖ»Òª80Ôª£¡

    ÄãºÃ£¬ÎÒÊÇÀÏÑÓʼþÖ±Ïú·þÎñÌṩÉÌ£¬Èº·¢Óʼþ100Íò½ö80Ôª¡£Î¨Ò»¹úÄÚ¶¥¼¶ÓʼþÍƹãÌṩÉÌ¡£¹úÄÚµÄÊг¡¼Û¸ñ£¬Ò»°ÙÍò·¢ËÍÊÇ3ÍòÔª¡£¼¼Êõ¸ïÃü´øÀ´ÐµÄÉú²úÁ¦£¬ÏúÊÛÒ»ÇÐÈ«Î޵У¡£¡£¡ÁªÏµÀÏÑqq2273272132£¬ÓÊÏ䣺2273272132@qq.com µç»°£º18983839805

  • Âü¹ÈÂ¥ÅÌ

    ¾ÍÏñ¾ÓסÔÚ×Ô¼º¼ÒÏçÒ»Ñù¡£ÕâÊÇÎÒÃÇÒ»Ö±µÄŬÁ¦¡£Âü¹È·¿µØ²úÂü¹È·¿ÎÝÂü¹È±ðÊûÂü¹È¹«Ô¢Âü¹ÈÂ¥ÅÌ.

  • 现在初中圆幂都不教,别说这个了.

  • 无道散人

    真是个好东西,高中教材里也需要一些新鲜的血液了

  • aes

    顿时尴尬,好的数学网站一般都是英文的,(当然除了这个)然后英文看不懂。。。wc

  • 铭德中医治疗肺结核、骨结核

    铭德中医治疗肺结核、骨结核,铭德中医是骗一个是一个啊
    铭德中医是真是假一年骗了上千万了,还在百度做竞价推广,都去点他的竞价吧,百度搜 二尖瓣重度狭窄、风心病、肺结核、多囊肾、结核性胸膜炎、肾结核、胆囊腺瘤、肠结核、骨结核、泌尿系统结核、附睾结核、胰腺炎、胰腺囊肿、淋巴结核、胆囊疾病、胆囊炎、冠状动脉供血不足、肺曲菌病、肺大疱、肺性脑病、恶性胸腔积液、多发性腔梗、动脉硬化、动脉粥样硬化、大脑萎缩、宫颈囊肿、闭塞性动脉硬化、偏瘫、不稳定型心绞痛、冠心病、心绞痛、变应性皮肤结节性血管炎、皮肤结核、 斑状萎缩、瓣膜病、胆石症、脑梗、都可以找到,点死他吧。让他骗人!骗子就应该得到严惩!

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