动画演示:Euler线定理的直观理解

    任意一个三角形的三条中线都会交于一点,这个点就叫做三角形的“重心”。任意一个三角形的三条高都会交于一点,这个点就叫做三角形的“垂心”。任意一个三角形三边的垂直平分线都会交于一点,这个点就叫做三角形的“外心”。 1765 年,大数学家 Euler 指出:任意一个三角形的重心、垂心和外心都在一条直线上,并且重心会把垂心和外心的连线分成 2 : 1 两段。这个结论虽然有很多很漂亮的证明,但作为一个非常基本的结论,它还有一种非常直观的解释方法。最近在做一个课件的时候,需要用到这种直观理解的动画演示,结果在网上找了半天也没找到,最终决定自己做了一个。

      

    上图中,红色的点是三角形三条高的交点,也就是垂心;蓝色的点是三角形三条中线的交点,也就是重心。现在,把整个三角形绕着重心旋转 180 度,同时以重心为中心把图形缩小到原来的一半。于是,每个点都会跑到重心的正对面去,同时到重心的距离也会缩短到原来的一半。你会发现,由此得到的小三角形,三个顶点都在大三角形各边的中点处(因为它们是大三角形的顶点转过来得到的,而重心在各中线的 2 : 1 处);同时,小三角形的三条高分别与大三角形的各边垂直(因为它们是大三角形的高转了 180 度得到的)。你会发现,小三角形的垂心正好就是大三角形的外心!而小三角形的垂心就是由大三角形的垂心转过来得到的,这两个点与重心应该在一条线上,并且到重心的距离有 1 : 2 的关系。这样一来,我们就相当于证明了 Euler 线定理。

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