最酷的证明:Pick定理另类证法

    难以想像,一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤紧身牛仔裤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了,现在显然我已经找到了一个更酷的证明。
    Pick定理是说,假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P,那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1,其中i为多边形内部所含的格点数,b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多边形。这里,我们来看一个另类的证明。
    假设整个平面是一个无穷大的铁板;在0时间,每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后,最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。下面我们试着求多边形P内的热量。考虑多边形的每一条线段e:它的两个端点均在格点上,因此线段e的中点是整个平面格点的对称中心,因而流经该线段的热量收支平衡(这半边进来了多少那半边就出去了多少),即出入该线段的热量总和实际为0。我们立即看到,P的热量其实完全来自于它自身内部的i个格点(的全部热量),以及边界上的b个格点(各自在某一角度范围内传出的热量)。边界上的b个点形成了一个内角和为(b-2)*180的b边形,从这b个点流入P的热量为(b-2)*180/360 = (b-2)/2 = b/2-1。再加上i个内部格点,于是S(P)=i+b/2-1。

来源:
http://zhuhcheng.spaces.live.com/blog/cns!DE38E96268C49F28!212.entry
http://www.math.ethz.ch/~blatter/Pick.pdf

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