非常奇妙的证明:图形必在格点之外

从cut-the-knot上看到的。

问题:
    设想一个平面上布满间距为1的横纵直线,形成由一个个1×1正方形组成的网格。任意给一个面积小于1个单位的图形,证明这个图形总能放在网格中而不包含任何一个格点。

       

证明:
    我们可以这样考虑这个问题:把图形随意放在网格中,如何移动网格使每个格点都在图形外面。
    现在我们把给定的图形随意放在网格中。然后沿着网格线把包含有图形的网格切成1×1的小格子,从网格中拿出来。把它们重叠起来(不旋转),再想像这些格子是透明的,而图形是不透明的。从上往下看这一叠格子,你看到的会是这个图形的各部分重叠地放在一个格子中,仿佛一个沾有污渍的方块。很显然这些污渍不会布满整个方块(图形面积小于一个格子的面积),方块上总有一块干净的地方。现在我们用一颗针从一个干净的地方刺下去,把这些重起来的格子刺穿。把这些格子放回原来的网格中,你看到的会是每一个有图形的方格内都有一个针眼,这些针眼都不在图形内。现在可以把原来的网格擦掉了,这几个针眼可以看作是新网格的格点。按针眼的位置重画新的网格,那么这个图形内决不会有新网格的格点,此时,结论也就证到了。

做人要厚道,转帖请注明出处。

50 条评论

  • AsukaNoKaze

    和闵可夫斯基定理有相似

    回复:AsukaNoKaze果然是MO牛人

  • 毛毛

    没有能够证明所剪下来的图形那样做不会重叠,所以证明无效!

    回复:你没看明白吧。图形可以重叠,但因为总面积小于一个小正方形,所以总有空的地方

  • snowcloud

    marvelous![wink]

  • joleping

    这样的证明。…想了好久才想通为什么有一条贯穿4个方格的线使这4个点都没有污滓..

    好巧妙的证明..[cry]

  • hxy503

    诡异。。。

  • dahe_1984

    高!
    说不出的高

  • Exile

    “此时,结论也就证到了。”

    这句话很有川味

    回复:把“此时”换成“这个时候”更有川味

  • 我是地核

    哥们儿,你咋是个文科?

  • tana

    这个结论对分形图形(例如几乎布满整个屏幕的)也成立么?

  • 空军

    奇妙。

  • BIRAN007

    神奇——+

  • menie

    天呐,我竟然错过了这么经典的证明,真的奇妙~

  • kenzo

    奇妙!!!

  • wasyyyy

    这个世界很奇妙。。

  • 呵呵

    为什么
    按针眼的位置重画新的网格,那么这个图形内决不会有新网格的格点

  • Gaia

    分形似乎需要补充

  • 洱海

    这种情况好像不行吧!
    找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下,坐下,右上,左上放四个面积0.25的小方格,这样针怎么穿都没有干净的地方啊

  • 洱海

    这种情况好像不行吧!
    如果找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下,坐下,右上,左上放四个面积0.25的小方格,这样针怎么穿都没有干净的地方啊

  • computer迷

    “22楼 这种情况好像不行吧!
    如果找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下,坐下,右上,左上放四个面积0.25的小方格,这样针怎么穿都没有干净的地方啊”

    图形面积要小于1

  • 洱海

    谢谢23楼的提醒,是小于1啊,没仔细看题啊.

  • fenglanchi

    这个玩意让我想起了 只有正四边形 可以每个顶点都在格点上的证明

  • kootain

    Amazing….
    看了 你的博客..

    我就不想 看书了..
    真的…

  • ……

    你也该把原帖的地址写出来吧,我想看英文

  • gs

    好神奇啊!斑竹的证明实在是太妙了!!!

  • 1

    题目改成”对于任意给定的面积小于1的图形,都可以放置在由连续的1×1正方形组成的网格间,且满足以下条件,网格的格点不会落在给定图形上”.
    然后,再使用你的证明,会更自然些.

  • 蓝白

    我该说神马好呢……
    果断留名

  • josephstrauss

    证明方法太牛了!佩服的五体投地!

  • lan

    能在细致一点吗,比如说为什么一定存在一个点,使得把四个方格重叠后,从这个点刺下去可以不碰到图形中红色的区域

  • Z

    wms357说的那个就是令面积小于1的圆与整个平面建立一一对应。但是其实按面积度量其已经改变,虽然一一对应,但相互对应的两点的测量之比不等于1,面积已经改变。
    回楼上:
    一个面积小于1的图形,在它盖到的每一个方格内,其所占据的点集加在一起不可能拼成一个面积为1的方格。
    假设占据了n个方格,在第1个方格这个图形没有覆盖到一个区域G,在第2个方格里,与G相对于方格1的位置相同的是一块与G一模一样的区域,在这个区域里该图形又没有覆盖到一块区域H,在第3个方格里存在相对于此方格与方格2里的H一模一样的区域J。。。总有没覆盖到的区域X,因为图形面积小于1。

  • lijil168

    很巧妙。“4个针眼怎么连成单位正方形的格子”竟然让我想了一会。这也许就是空间变换的妙处之一,人如果能进入4维空间,也许很多问题就容易多了。

  • 100101

    思考的乐趣祭奠点1

  • cervelo jersey

    找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下,坐下,右上,左上放四个面积0.25的小方格

  • 神话

    搞笑,给你一个 3*三百分之99 的长方形,不就不行了?
    针眼的意思,就是重新制定网格,有可能是斜着,但是当一个1*1的网格旋转到一个正菱形时,这也就是灵活的最大限制了。只要图形的长度或宽度,只要有一个一旦超过根号2,即其对角线,那就装不下了。 4*四百分之99,
    5*五百分之99,装吧!

  • 搞笑,给你一个 3*三百分之99 的长方形,不就不行了?
    针眼的意思,就是重新制定网格,有可能是斜着,但是当一个1*1的网格旋转到一个正菱形时,这也就是灵活的最大限制了。只要图形的长度或宽度,只要有一个一旦超过根号2,即其对角线,那就装不下了。 4*四百分之99,
    5*五百分之99,装吧!

  • sunchy321

    不想吐槽40L了。。。
    格线格点都分不清

  • 40L你把问题看清楚了么?你牛什么牛?装不装得下是博主要证明的问题?2货

  • fuqiang

    污点网格块数不只4个的时候,那些针眼也就不只4个了(理论上可以压缩成一条直线,经过格点对角线,长度即为无穷大),那么,怎么重绘 格点呢?
    比较郁闷,是我哪里没想清吗?
    望回复;

  • fuqiang

    回复40L,直接把你那个长方形摆正来(垂直),不就可以了;

  • fuqiang

    @43L我懂了… 膜拜大神!

  • cowrylee

    请问怎么按照新的针眼重画新的网格
    这个图形不一定只横跨四张正方形,如果有好几十张,如何重画新网格

  • qirenrui

    这个证明巧妙是无疑的,但貌似博主在思考的乐趣一书中把这题吹得太过了
    我给一个证明,也许没那么神奇,但能让大家明白这题是怎么编出来的
    理解了这个证明,大家也许就会觉得本帖的证明就是给一个普通证明穿马甲。
    取一个充分大的正方形,顶点都是格点,且包含此图案
    然后修改图案所在的空间为这个正方形,并把这个正方形设为“循环”的
    这样,对这个正方形而言,由于最上面一行的点就与最下面一行重合,它的面积就是它的内部格点数,设为n。格点设为A[1],……,A[n]
    在正方形内部随意取一个点P。取n种颜色。
    对所有正方形里的向量,试验原图案平移这些向量后得到的。如果它的内部有格点A[i],就把P平移这个向量的反方向后得到的位置涂上第i种颜色。
    这样,事实上,第i种颜色的区域就是原图案平移(A[i]->P)后得到的,面积小于1.
    以下无需多说

  • manxisuo

    我只能说,这个证明酷到毙了!!!

发表评论