非常奇妙的证明：图形必在格点之外
icon2 Brain Storm | icon4 2005-09-03 17:49| icon328 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

从cut-the-knot上看到的。

问题：
    设想一个平面上布满间距为1的横纵直线，形成由一个个1×1正方形组成的网格。任意给一个面积小于1个单位的图形，证明这个图形总能放在网格中而不包含任何一个格点。

       

证明：
    我们可以这样考虑这个问题：把图形随意放在网格中，如何移动网格使每个格点都在图形外面。
    现在我们把给定的图形随意放在网格中。然后沿着网格线把包含有图形的网格切成1×1的小格子，从网格中拿出来。把它们重叠起来（不旋转），再想像这些格子是透明的，而图形是不透明的。从上往下看这一叠格子，你看到的会是这个图形的各部分重叠地放在一个格子中，仿佛一个沾有污渍的方块。很显然这些污渍不会布满整个方块（图形面积小于一个格子的面积），方块上总有一块干净的地方。现在我们用一颗针从一个干净的地方刺下去，把这些重起来的格子刺穿。把这些格子放回原来的网格中，你看到的会是每一个有图形的方格内都有一个针眼，这些针眼都不在图形内。现在可以把原来的网格擦掉了，这几个针眼可以看作是新网格的格点。按针眼的位置重画新的网格，那么这个图形内决不会有新网格的格点，此时，结论也就证到了。

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28 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2007-02-05 20:12 | AsukaNoKaze 说：

    和闵可夫斯基定理有相似

    回复：AsukaNoKaze果然是MO牛人

  • 楼层: 板凳 | 2007-04-05 17:05 | 毛毛 说：

    没有能够证明所剪下来的图形那样做不会重叠，所以证明无效！

    回复：你没看明白吧。图形可以重叠，但因为总面积小于一个小正方形，所以总有空的地方

  • 楼层: 地毯 | 2007-05-27 15:27 | 大七 说：

    诡异

  • 楼层: 地板 | 2007-07-01 9:27 | snowcloud 说：

    marvelous！[wink]

  • 楼层: 地下室 | 2007-09-25 17:43 | joleping 说：

    这样的证明。...想了好久才想通为什么有一条贯穿4个方格的线使这4个点都没有污滓..

    好巧妙的证明..[cry]

  • 楼层: 地基 | 2007-11-01 19:12 | hxy503 说：

    诡异。。。

  • 楼层: 地壳 | 2007-11-16 16:46 | dahe_1984 说：

    高!
    说不出的高

  • 楼层: 地幔 | 2008-02-04 12:35 | Exile 说：

    “此时，结论也就证到了。”

    这句话很有川味

    回复：把“此时”换成“这个时候”更有川味

  • 楼层: 地核 | 2008-06-26 18:11 | 我是地核 说：

    哥们儿，你咋是个文科？

  • 楼层: 10楼 | 2008-07-21 16:41 | hetong_007 说：

    3周年考古～

  • 楼层: 11楼 | 2008-07-25 0:05 | tana 说：

    这个结论对分形图形（例如几乎布满整个屏幕的）也成立么？

  • 楼层: 12楼 | 2008-08-17 12:09 | 空军 说：

    奇妙。

  • 楼层: 12a楼 | 2008-09-03 14:30 | BIRAN007 说：

    神奇——+

  • 楼层: 14楼 | 2008-09-08 13:33 | Matrix67: My Blog » Blog Archive » 最酷的证明：Pick定理另类证法 说：

    [...]     难以想像，一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了，现在显然我已经找到了一个更酷的证明。     Pick定理是说，假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P，那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1，其中i为多边形内部所含的格点数，b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多边形。这里，我们来看一个另类的证明。     假设整个平面是一个无穷大的铁板；在0时间，每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后，最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。下面我们试着求多边形P内的热量。考虑多边形的每一条线段e：它的两个端点均在格点上，因此线段e的中点是整个平面格点的对称中心，因此经过该线段的热量收支平衡，从外面经该线段流入P的热量总量为0。我们立即看到，P的热量其实来自它自身内部的i个格点（的全部热量），以及边界上的b个格点（各自在某一角度范围内传出的热量）。边界上的b个点形成了一个内角和为(b-2)*180的b边形，从这b个点流入P的热量为(b-2)*180/360 = (b-2)/2 = b/2-1。在加上i个内部格点，于是S(P)=i+b/2-1。 [...]

  • 楼层: 15楼 | 2008-09-12 19:20 | menie 说：

    天呐，我竟然错过了这么经典的证明，真的奇妙~

  • 楼层: 16楼 | 2008-09-30 16:15 | kenzo 说：

    奇妙！！！

  • 楼层: 17楼 | 2009-01-03 22:27 | wasyyyy 说：

    这个世界很奇妙。。

  • 楼层: 18楼 | 2009-02-28 14:24 | Matrix67: My Blog » Blog Archive » 随记：普遍性验证、数学思维、代数基本定理及其它 说：

    [...] http://www.matrix67.com/blog/archives/33 http://www.matrix67.com/blog/archives/1006 Posted in Brain Storm Tags: 算法, 随记, 证明Trackback: http://www.matrix67.com/blog/archives/1466/trackback 我猜您可能还喜欢： 来来来，讨论一下百度之星的题目 [...]

  • 楼层: 19楼 | 2009-09-16 23:22 | 呵呵 说：

    为什么
    按针眼的位置重画新的网格，那么这个图形内决不会有新网格的格点

  • 楼层: 20楼 | 2009-10-12 8:30 | Gaia 说：

    分形似乎需要补充

  • 楼层: 21楼 | 2009-10-24 23:22 | 洱海 说：

    这种情况好像不行吧!
    找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下，坐下，右上，左上放四个面积0.25的小方格,这样针怎么穿都没有干净的地方啊

  • 楼层: 22楼 | 2009-10-24 23:23 | 洱海 说：

    这种情况好像不行吧!
    如果找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下，坐下，右上，左上放四个面积0.25的小方格,这样针怎么穿都没有干净的地方啊

  • 楼层: 23楼 | 2009-10-31 15:14 | computer迷 说：

    "22楼 这种情况好像不行吧!
    如果找四个相邻的方格,分别顺时针在四个方格的右下，坐下，右上，左上放四个面积0.25的小方格,这样针怎么穿都没有干净的地方啊"

    图形面积要小于1

  • 楼层: 24楼 | 2009-11-05 14:43 | 洱海 说：

    谢谢23楼的提醒，是小于1啊,没仔细看题啊.

  • 楼层: 25楼 | 2010-01-18 10:17 | fenglanchi 说：

    这个玩意让我想起了 只有正四边形 可以每个顶点都在格点上的证明

  • 楼层: 26楼 | 2010-02-16 23:55 | kootain 说：

    Amazing....
    看了 你的博客..

    我就不想 看书了..
    真的...

  • 楼层: 27楼 | 2010-05-06 3:35 | …… 说：

    你也该把原帖的地址写出来吧，我想看英文

  • 楼层: 28楼 | 2010-07-31 10:58 | gs 说：

    好神奇啊!斑竹的证明实在是太妙了！！！

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