2005-09-03 17:49| 
16 Comments | 本文内容遵从从cut-the-knot上看到的。
问题：
设想一个平面上布满间距为1的横纵直线，形成由一个个1×1正方形组成的网格。任意给一个面积小于1个单位的图形，证明这个图形总能放在网格中而不包含任何一个格点。
证明：
我们可以这样考虑这个问题：把图形随意放在网格中，如何移动网格使每个格点都在图形外面。
现在我们把给定的图形随意放在网格中。然后沿着网格线把包含有图形的网格切成1×1的小格子，从网格中拿出来。把它们重叠起来（不旋转），再想像这些格子是透明的，而图形是不透明的。从上往下看这一叠格子，你看到的会是这个图形的各部分重叠地放在一个格子中，仿佛一个沾有污渍的方块。很显然这些污渍不会布满整个方块（图形面积小于一个格子的面积），方块上总有一块干净的地方。现在我们用一颗针从一个干净的地方刺下去，把这些重起来的格子刺穿。把这些格子放回原来的网格中，你看到的会是每一个有图形的方格内都有一个针眼，这些针眼都不在图形内。现在可以把原来的网格擦掉了，这几个针眼可以看作是新网格的格点。按针眼的位置重画新的网格，那么这个图形内决不会有新网格的格点，此时，结论也就证到了。
做人要厚道，转帖请注明出处。
16 条回复
您也随便说几句吧：
和闵可夫斯基定理有相似
回复：AsukaNoKaze果然是MO牛人
没有能够证明所剪下来的图形那样做不会重叠，所以证明无效！
回复：你没看明白吧。图形可以重叠，但因为总面积小于一个小正方形，所以总有空的地方
诡异
marvelous！[wink]
这样的证明。...想了好久才想通为什么有一条贯穿4个方格的线使这4个点都没有污滓..
好巧妙的证明..[cry]
诡异。。。
高!
说不出的高
“此时，结论也就证到了。”
这句话很有川味
回复：把“此时”换成“这个时候”更有川味
哥们儿，你咋是个文科？
3周年考古～
这个结论对分形图形（例如几乎布满整个屏幕的）也成立么？
奇妙。
神奇——+
[...] 难以想像，一段小小的证明竟然能比一个瘦小的留着长头发穿黑色短袖T恤边跳边弹吉他的MM还要酷。原来一直以为这个证明已经很酷了，现在显然我已经找到了一个更酷的证明。 Pick定理是说，假设平面上有一个顶点全在格点上的多边形P，那么其面积S(P)应该等于i+b/2-1，其中i为多边形内部所含的格点数，b是多边形边界上的格点数。绝大多数证明都是用割补的办法重新拼拆多边形。这里，我们来看一个另类的证明。 假设整个平面是一个无穷大的铁板；在0时间，每个格点上都有一个单位的热量。经过无穷长时间的传导后，最终这些热量将以单位密度均匀地分布在整个铁板上。下面我们试着求多边形P内的热量。考虑多边形的每一条线段e：它的两个端点均在格点上，因此线段e的中点是整个平面格点的对称中心，因此经过该线段的热量收支平衡，从外面经该线段流入P的热量总量为0。我们立即看到，P的热量其实来自它自身内部的i个格点（的全部热量），以及边界上的b个格点（各自在某一角度范围内传出的热量）。边界上的b个点形成了一个内角和为(b-2)*180的b边形，从这b个点流入P的热量为(b-2)*180/360 = (b-2)/2 = b/2-1。在加上i个内部格点，于是S(P)=i+b/2-1。 [...]
天呐，我竟然错过了这么经典的证明，真的奇妙~
奇妙！！！