是否存在只在一点连续的函数?

    有人突然问到我,有不有可能构造一个函数,它只在一个点连续,其余地方处处不连续。函数构造是一个非常诱人的问题,我非常喜欢那些具有各种不可思议的性质的函数,那些令人吃惊的特性往往违背了大多数人的直觉和常识,这些都是茶余饭后闲谈的绝佳话题。前面提到的这个问题就是一个很有趣的问题。永远不要想当然地以为只在一点连续的函数不存在,各种怪相函数可谓无奇不有。仔细考虑了一下,我想这个函数应该和Dirichlet函数有点联系吧,毕竟很多与连续性相关的函数其原型都是Dirichlet函数,比如满足“无理点处处连续、有理点处处不连续”的爆米花函数就有Dirichlet函数的影子。然后我就突然想到,我彻底火星了,而且还是超级乌龙火星——这个玩意儿我自己还在Blog上写过,只是当时我并没注意到罢了。我曾经在描述Hilbert曲线时写到:

    你知道吗,除了常函数之外还存在其它没有最小正周期的周期函数。考虑一个这样的函数:它的定义域为全体实数,当x为有理数时f(x)=1,当x为无理数时f(x)=0。显然,任何有理数都是这个函数的一个最小正周期,因为一个有理数加有理数还是有理数,而一个无理数加有理数仍然是无理数。因此,该函数的最小正周期可以任意小。如果非要画出它的图象,大致看上去就是两根直线。请问这个函数是连续函数吗?如果把这个函数改一下,当x为无理数时f(x)=0,当x为有理数时f(x)=x,那新的函数是连续函数吗?
    …………
    有了Cauchy定义,回过头来看前面的问题,我们可以推出:第一个函数在任何一点都不连续,因为当ε< 1时,δ范围内总存在至少一个点跳出了ε的范围;第二个函数只在x=0处是连续的,因为此时不管ε是多少,只需要δ比ε小一点就可以满足ε-δ定义了。

    类似地,我们可以扩展出只在两个点、只在三个点连续的函数。只需把有理点上的f(x)=x换成f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),我们便得到一个只在a, b, c三点连续的函数。

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