2008-08-27 23:15| 
10 Comments | 本文内容遵从 网友Gestorm在TopLanguage里问到，如何构造一个[0,1]到(0,1)的一一映射。两个集合的势显然相等，它们之间一定有一个一一对应的函数。注意到(0,1)是[0,1]的子集，利用Cantor-Bernstein-Schroeder定理，只要我们能找到一个从[0,1]到(0,1)的单射函数，我们便找到了两个集合间的双射函数（因为上述定理的证明是构造性的）。这非常简单，例如f(x)表示x与0.5的平均数即可。考虑上述定理的Julius König证明，我们立即得到一个[0,1]到(0,1)的一一映射：f(0)=1/4, f(1/4)=3/8, f(3/8)=7/16, ...，不断进行(x+1/2)/2的迭代；同样地，f(1)=3/4, f(3/4)=5/8, f(5/8)=9/16, ...；对于其它所有未定义到的x，f(x)=x。这个函数显然是双射的。
仔细观察这个函数。当你领会到这个函数的真谛时，你突然恍然大悟：我可以用类似地办法弄出无穷多个[0,1]到(0,1)的一一映射。例如，最简单的便是f(0)=1/2, f(1)=1/3；然后f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, f(1/4)=1/6, ..., f(1/i)=1/(i+2)；对于其它未定义的x，f(x)=x。
查看TopLanguage的原帖可以看到一些类似的结果。
10 条回复
您也随便说几句吧：
难得的沙发？
我高中的时候还懂点这个，但上了大学彻底弃理从文了。
没有沙发
Cantor就像那些生前没有得到好评的艺术家，如卡夫卡，梵高
现在反过来大家都在用他的东西
数学问题。。
事实上只要研究下[0,1]到[0,1)的就够了亚
考虑一个严格递增数列a1<a2<...<a(n)<1
另f(a(k))=a(k-1),f(1)=a(n)
其余所有的数的像都是其本身就好了
另外一边的再做一次
例如，最简单的便是f(0)=1/2, f(1)=1/3；然后f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, f(1/4)=1/6, ..., f(1/i)=1/(i+2)；对于其它未定义的x，f(x)=x。
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类似地，也可以有：f(0)=1/2, f(1)=1/4；然后f(1/2)=1/8, f(1/4)=1/16, f(1/8)=1/32, ..., f(1/2^i)=1/2^(i+2)；对于其它未定义的x，f(x)=x。
可能是连续函数么?
不能连续的吧，否则取0或者1的极限会怎么样？
不能是连续函数，因为连续函数会将一个紧集映射到另一个紧集，[0，1]是紧集，但（0，1）不是紧集，所以不可能