高度对称的多面体和它们的对偶多面体

正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体,这是古希腊人就发现的五种正多面体,它们拥有最高标准的对称性。这五种正多面体又叫做 Platonic 体,它们在古希腊的哲学观念中占据着至关重要的地位。 Leonhard Euler 发现,多面体的顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 一定满足公式 V – E + F = 2 ,这叫做 Euler 多面体公式。利用这个公式,我们可以证明正多面体只有五种。假设一个正多面体的每个面都是正 p 边形,那么所有 F 个面一共就有 p · F 条边;每两条边拼在一起形成了一条棱,因而总的棱数就是 E = p · F / 2 。反过来, F 就应该等于 2 · E / p 。不妨再假设每个顶点处都汇集了 q 条棱,那么总的棱数似乎应有 q · V 个;但这样计算的话,每条棱都被重复算了两次,因而总的棱数实际上应该是 E = q · V / 2 。反过来, V 就应该等于 2 · E / q 。另外, Euler 的多面体公式告诉我们, V – E + F = 2 始终成立。

把上面几个式子合在一起,于是得到:

2 · E / q – E + 2 · E / p = 2

整理可得:

1/p + 1/q – 1/2 = 1/E

因此, 1/p + 1/q 一定大于 1/2 。但是,正多面体每个面至少都有三条边,每个顶点也至少汇集了三条棱,因此 p 和 q 都是大于等于 3 的整数。要想 1/p + 1/q > 1/2 ,只有以下五种可能:

  1. p = 3 , q = 3
  2. p = 3 , q = 4
  3. p = 4 , q = 3
  4. p = 3 , q = 5
  5. p = 5 , q = 3

这正好对应于那五种正多面体。最近 Localhost-8080 沉迷于折纸,我也因此学习了不少与多面体相关的东西。想不到,这些看似老生常谈的东西,里面的水可深着呢。这五种正多面体表面上只是问题的五个不同的解,但互相之间却有着出人意料的联系。我们再列一个更加完整的表格,有意思的东西会慢慢呈现出来:

名称 面数 F 顶点数 V 棱数 E 每个面的边数 p 每个顶点处的棱数 q
正四面体 4 4 6 3 3
正方体 6 8 12 4 3
正八面体 8 6 12 3 4
正十二面体 12 20 30 5 3
正二十面体 20 12 30 3 5

很容易看出,这五种多面体是成对出现的。你会发现,正方体和正八面体的面数 F 和顶点数 V 互相颠倒, p 值和 q 值也互相颠倒,棱数 E 则相同。其实,这并不是巧合。如果作出正方体的每个面的中心,再把相邻的面所对应的中心连在一起,就会得到一个正八面体;再作出正八面体的每个面的中心,和刚才一样把它们连起来,又会变回正方体。我作了一个动画,直观地表明了它们之间的关系。

容易看出,每次变换前后,原图形的每个面与新图形的每个顶点一一对应,原图形的每个顶点与新图形的每个面一一对应,因此两种图形的面数 F 和顶点数 V 是互相颠倒的。同时,原图形中的两个相邻的面,就变成了新图形中的两个相邻的顶点,因而原图形的每个面有多少条边,新图形的每个顶点处就会引出多少条棱;原图形中的两个相邻的顶点,也会变成新图形中的两个相邻的面,因而原图形的每个顶点有多少条棱,在新图形中它就会被多少条边框住。这也就解释了 p 和 q 互相颠倒的原因。最后,原图形的每条棱和新图形的每条棱也都是一一对应的,而且每两条对应的棱在空间中正好垂直。我们把变换前后的两个多面体叫做一对“对偶多面体”(dual polyhedron)。

类似地,正十二面体和正二十面体也拥有互相颠倒的 F 和 V ,以及互相颠倒的 p 和 q ,以及同样数目的 E ,这也是因为它们互为对方的对偶多面体。我也作了一个动画来演示这一点。

那么,正四面体怎么办呢?这就是我觉得最好玩的事情了:它和它自己对偶!

 

有一件事情刚才我们有意一直没提:究竟什么叫做正多面体。简单地说,正多面体(regular polyhedron)指的是这样的多面体:它的所有顶点都是一样的,所有的棱都是一样的,所有的面也都是一样的。所谓“所有顶点都一样”,意思就是,这些顶点之间没有本质上的差异,每个顶点都能充当其他任何顶点的角色。换句话说,你可以把任意一个顶点挪到任意另一个顶点所在的位置,然后利用平移、旋转和镜像这几种操作,让整个图形和原来完全重合。类似地,“所有棱都一样”就表示每条棱都可以变到每条棱的位置,“所有面都一样”也就表示每个面都可以等价地替换每个面。正多面体同时满足“所有顶点都一样”、“所有棱都一样”和“所有面都一样”,因此我们才说,正多面体拥有最高标准的对称性。

为了精确地刻画出正多面体,“所有顶点都一样”、“所有棱都一样”和“所有面都一样”,这三个条件缺一不可。如果去掉“所有顶点都一样”,但保留另外两个条件不变的话,会出现一些不是正多面体的图形。比如说,把一个正方体分成六个全等的四棱锥,再分别粘到另一个同样的正方体的六个面上,就会得到一种所有棱和所有面都一样,但顶点与顶点却有区分的图形(如左图)。如果去掉“所有棱都一样”,但保留另外两个条件不变的话,也会出现一些不是正多面体的图形。比如说,作出一个长方体各个面上的对角线,会组成一个四面体,它的所有顶点和所有面都一样,但棱与棱是有区分的(如中图)。最后,只去掉“所有面都一样”,保留另外两个条件不变,也会出现问题。标出一个正方体每条棱上的中点,然后据此切掉正方体的所有八个角,就会得到这么一个图形,它的所有顶点和所有棱都一样,但面与面是有区分的(如右图)。这是三个非常经典的多面体,一会儿我们再提到它们时,不妨把它们叫做“三个代表”吧。

正多面体的定义虽然容不得丝毫删减,但却有很多修改和替换的余地。如果在刚才对正多面体的定义中,把“所有棱都一样”和“所有面都一样”换成“各个面是全等的正多边形”,满足要求的立体图形还是只有那五个。因此,正多面体还有一个等价的定义:由若干个完全相同的正多边形拼成的,且所有顶点完全相同的多面体就是正多面体。

古希腊人还研究了“半正多面体”(semiregular polyhedron),即由两种或多种不同的正多边形拼成的,且所有顶点完全相同的多面体。长方体就不是一个半正多面体,虽然它的各个顶点完全相同,但各个面却不都是正多边形。由一个正方形和四个等边三角形组成的四棱锥(就像金字塔那样)也不是一个半正多面体,因为它的顶角和四个底角显然是有区别的。三个侧面都是正方形的正三棱柱则是一个典型的半正多面体,它同时满足半正多面体的两个条件。容易想到,每个侧面都是正方形的正五棱柱、正六棱柱、正七棱柱等等,它们也都是半正多面体了(排除掉正四棱柱的原因是,四个侧面都是正方形的正四棱柱其实就是正方体,它是正多面体,不是半正多面体)。因而,我们立即得知,半正多面体有无穷多个。另外,把棱柱的底面稍稍旋转,与顶面错开,再用一个个上下交错的三角形充当侧面,还能得到一类叫做“反棱柱”(antiprism)的多面体。如果反棱柱的顶面和底面是全等的正多边形,每个侧面正好都是等边三角形,那么整个多面体也会成为半正多面体。如果你把正二十面体从上到下分作三层,中间那层其实就是一个这样的多面体。显然,这样的多面体也有无穷多个,如下图的第二行所示。大家会注意到,三角反棱柱没有纳入这一行当中,因为它实际上就是正八面体。

除了棱柱和反棱柱以外,还有别的半正多面体吗?这个问题就非常有意思了。古希腊数学家 Pappus 曾在自己的著作中详尽地列出了问题的 13 个解,并认为这些解最早是由 Archimedes 发现的。因此,这些非平凡的半正多面体就被后人称作 Archimedean 体。欧洲文艺复兴时期,这些简洁对称的立体图形重新引起了人们的关注,不同的人在不同的时期重新发现了不同的 Archimedean 体。左图是 Leonardo da Vinci 为数学家 Luca Pacioli 的著作所作的插图。右图是 Wenzel Jamnitzer 的作品,右上角那个立体图形就是一个 Archimedean 体。

在这段时期里,第一个把所有 Archimedean 体当作一个整体概念,对其进行系统的分析研究的人,应该是德国数学家、天文学家 Johannes Kepler (是的,就是那位提出行星运动三大定律的“天空立法者”)。他在《世界的和谐》(Harmonices Mundi)一书中列出了 13 种 Archimedean 体,画出了每个 Archimedean 体的样子,给它们起了不同的名字,并且证明了, Archimedean 体一共就只有这 13 种:

为了方便大家观察,我也重新作了一张图:

 

这里面有很多图形想必大家都会非常熟悉。第一行的第一个图形,其实就是刚才那“三个代表”中最右边的图形,也就是 Wenzel Jamnitzer 的作品中右上角的那个图形,是去掉正方体的八个角得来的。对正方体进行去角操作后,原来的每个角都变成了一个等边三角形,原来的每个面都只剩一个内接的小正方形,最终得到的正是第一行的第一个 Archimedean 体。不过,有一件事情刚才我们没说:这个图形同样也可以看作是对正八面体进行去角操作得来的。原来的每个角都会变成一个正方形,原来的每个面都只剩下一个内接的小等边三角形,最终得到的也是第一行的第一个 Archimedean 体。为什么正方体和正八面体的去角结果是相同的呢?其中一个重要的原因就是,因为正方体和正八面体是对偶的。正方体去角后的每一个面,都对应于正八面体去掉的每一个角,不管从哪个角度看,一共都是 6 个正方形;正方体去掉的每一个角,则都对应于正八面体去角后的每一个面,不管从哪个角度看,一共都是 8 个等边三角形。最终所得的,就是这么一个由 6 个正方形和 8 个等边三角形组成的图形。

类似地,由于正十二面体和正二十面体互为对偶图形,因此它们的去角结果也是相同的。所得的图形就是第二行的第二个 Archimedean 体,它由 20 个等边三角形和 12 个正五边形组成。每一个等边三角形都是正十二面体被去掉的一个角,也可以看作是正二十面体去角后的一个面;每一个正五边形都是正十二面体去角后的一个面,也可以看作是正二十面体被去掉的一个角。

值得注意的是,去角后的正四面体却不在 13 个 Archimedean 体当中,因为去角后的正四面体其实就是一个正八面体。不过,适当减小去角的幅度,正四面体也能变成 Archimedean 体。标出正四面体每条棱上的两个三等分点,然后从这些地方下刀,于是每个角都会变成一个等边三角形,每个面都会变成一个正六边形,整个图形会变成第一行的第二个 Archimedean 体。

对正多面体进行去角操作,是构造 Archimedean 体的基本途径之一。刚才,我们至少已经看到了两种去角的模式,这里我们有必要区分一下。不妨把之前从中点处开刀的那种去角方式叫做“全截角”(complete truncation)或者“截半”(rectification),此时原多面体的每条棱都只剩下一个点。后面那种精心选择下刀处,使得每条棱所剩的长度都和截面边长相等的去角方式,则叫做“均匀截角”(uniform truncation)。如果只说“截角”(truncation),尤其是当对象为某个高度对称的多面体时,通常指的就是均匀截角。

对正方体进行均匀截角后,也会变成一个 Archimedean 体,即第一行的最后一个图形。均匀截角后的正八面体,会变成第一行的第三个图形。均匀截角后的正十二面体,则会变成第二行的最后一个图形。均匀截角后的正二十面体呢?正二十面体有 12 个顶点,每个顶点处都有五条棱。把它们全都削掉,就会得到 12 个正五边形。正二十面体有 20 个面,每个面都是一个等边三角形。把所有顶点全都削掉,它们就会变成 20 个正六边形。因此,最终得到的图形就有 12 个正五边形和 20 个正六边形,如第三行的第一个图所示。有没有觉得, 12 个正五边形和 20 个正六边形,这几个数字让人非常亲切?没错,这正是足球表面黑白色块的分布情况。 1962 年,丹麦的体育用品生产商 Select Sport 首先想到了把这种结构用在足球上。随后, Adidas 生产的 Telstar 把这种设计发扬光大,并成为了 1970 年墨西哥世界杯的官方用球。此后,这个 Archimedean 体便成为了足球的象征。

至此, 13 个 Archimedean 体的来历已经讲了 7 个。对刚才的两个全截角图形再做全截角或者均匀截角,其结果可以近似地看作是另外 4 个 Archimedean 体。第一行的第一个图形是对正方体或者正八面体进行全截角得来的。如果对它再来一次全截角,就会近似地得到第一行的第四个图形,它包含 8 个等边三角形和 18 个正方形;如果对它做的是均匀截角,就会近似地得到第二行的第三个图形,它包含 12 个正方形、 8 个正六边形和 6 个正八边形。第二行的第二个图形则是对正十二面体或者正二十面体进行全截角得来的。如果对它再来一次全截角,就会近似地得到第二行的第四个图形,它包含 20 个等边三角形、 30 个正方形和 12 个正五边形;如果对它做的是均匀截角,你将会近似地得到最后一行的最后一个图形。这是最大的一个 Archimedean 体,它由 30 个正方形、 20 个正六边形和 12 个正十边形组成,里面一共有 120 个顶点、 180 条棱和 62 个面。需要注意的是,这 4 个 Archimedean 体都有更准确的生成方式,利用截角法只能得到拓扑结构相同的近似图形。这些近似图形的各个面不保证都是正多边形,需要再做调整才能变成真正的 Archimedean 体(不妨看看 Wenzel Jamnitzer 的作品中最下面一行的两个图形)。

至此, 13 个 Archimedean 体的来历已经讲了 11 个。在 Multidimensional Transformations Unit Origami 一书的附录里,作者 Tomoko Fuse 用一张图清楚地画出了 5 个 Platonic 体和 13 个 Archimedean 体之间的关联。

这一页里还画着两个孤立的 Archimedean 体,正好也就是我们还没提到的 Archimedean 体,即第二行的第一个图形,以及第三行的第二个图形。这两个图形的生成方式很难描述。把一个正方体的六个面向外拉出,再让它们同时顺时针或者逆时针旋转某个特定的度数,并用 32 个等边三角形填补中间的空隙,就会得到第二行的第一个图形。类似地,把一个正十二面体的十二个面向外拉出,再让它们同时顺时针或者逆时针旋转某个特定的度数,并用 80 个等边三角形填补中间的空隙,就会得到第三行的第二个图形。这两种图形的生成方式中都涉及到了“顺时针或者逆时针旋转”,因而每个物体都没法和自己的镜像重合(就像你的左鞋和右鞋没法重合一样,如下图所示)。换句话说,这两种图形都有“手性”(chirality)之分。如果把左手系的物体和右手系的物体算作两个不同的物体,那么 Archimedean 体一共就有 15 个了。

说到 Archimedean 体的数量,还有一件事情不得不提。接下来,我们要构造一个非常非常非常特殊的多面体。取出第一行第四个 Archimedean 体(如下面的左图所示),把它分成上中下三层,然后保持中层和下层不动,仅仅让上层旋转 45° (如下面的右图所示)。

整个图形无缝拼接,和之前的样子似乎并无太大的区别。它的所有面也都是正多边形,它的所有顶点也都是由三个正方形和一个等边三角形以相同的方式汇聚而成的。但是,它却不是 Archimedean 体。作为半正多面体, Archimedean 体的对称性要求也是非常高的,它要求“所有顶点都一样”,而不仅仅是“所有顶点看起来都一样”。右边的那个图形中,虽然从局部来看,各个顶点的性质完全相同,但站在全局的角度来看,这些点并不能随意扮演其他点的角色。比方说,注意到整个图形只有一条由正方形连成的“腰带”,它上面的点显然不能被其他的点所取代。而它的原版图形有三个互相垂直的腰带,每个顶点都位于其中两个腰带上。在所有由正多边形拼成的图形当中,这是唯一一个“所有顶点看起来都一样但其实不一样”的图形。因此,有的人也会把它称作第 14 个 Archimedean 体。 Johannes Kepler 本人很可能也发现了这一点。他曾经说过 Archimedean 体一共有 14 个,虽然最终只在《世界的和谐》里写了 13 个。

 

根据 Archimedean 体的定义,每个 Archimedean 体都满足“所有顶点都一样”,并且都不满足“所有面都一样”(因为 Archimedean 体要求由两种或两种以上的正多边形构成)。但是,光从定义来看,我们无法得出与棱的对称性相关的信息。逐一分析可以发现,在 13 个 Archimedean 体当中,有 2 个满足“所有棱都一样”:对正方体或者正八面体进行全截角所得的图形,以及对正十二面体或者正二十面体进行全截角所得的图形。和其他半正多面体相比,这 2 个多面体显然距离真正的正多面体更近一些,人们把它们叫做“拟正多面体”(quasiregular polyhedron)。早些时候,为了说明正多面体的定义缺一不可,我们构造了“三个代表”。当时,我们想要在最右边展示出舍去“所有面都一样”这项条件的后果,所使用的例子就是前一个拟正多面体。

现在,让我们来看一看,我们已经见过多少种多面体的对称模式了:

所有点都一样 所有棱都一样 所有面都一样 例子
× × × 各种随意的图形,比如一个四棱锥
× × ???
× × ???
× “三个代表”的左例
× × 长方体,或大多数半正多面体
× “三个代表”的中例
× “三个代表”中的右例,或称拟正多面体
有且仅有五个,即五种正多面体

目前,人们已经证明,第三类多面体是不存在的。也就是说,一个棱与棱无差异的多面体,要么顶点也是无差异的,要么面也是无差异的(当然也有可能顶点和面都是无差异的)。所以,我们只差最后一种对称模式需要研究了:顶点有区别,棱也有区别,面都是一样的。其实,这样的多面体并不难构造。或许有人已经意识到了——其实,第二类和第四类多面体,分别是第五类和第七类多面体的对偶多面体。

在构造一般多面体的对偶多面体时,我们不能照搬正多面体的处理方法,把各个面的中心连接起来。其中一个原因就是,对于一般多面体的顶点来说,它周围的各个面并不是完全相同的,因而这些面的中心会参差交错地环绕于该顶点,连起来很可能并不在同一个平面上,因而也就无法形成一个对应的面了。如果多面体的顶点正好是无差异的,那么我们可以过多面体的各个顶点作出整个多面体的外接球的切面。由于多面体的顶点和顶点之间无差异,因此所有顶点到多面体中心的距离都是相等的,这保证了外接球的存在性。最后,所有切面围出的图形,就是原多面体的对偶多面体。对于那些没有外接球的多面体,生成对偶图形还有更一般的方法:把多面体内的某个点,通常是这个多面体的对称中心(如果有的话),记作点 O ,然后对于多面体的每个顶点 P ,作一个垂直于 OP 的面,使得 O 到 P 的距离与 O 到这个面的距离的乘积为某个定值。虽然生成对偶多面体的方法有所变化,但对偶概念最核心的东西始终没变:原图形的顶点与新图形的面一一对应,原图形的面与新图形的顶点一一对应。

长方体的所有顶点都一样,但棱和棱有差异,面和面也有差异;它的对偶图形就满足所有面都一样,但棱和棱有差异,点和点也有差异。以正方形为侧面的正棱柱不但所有顶点都一样,而且每个面都是正多边形;因此,它的对偶图形不但满足所有面都一样,而且每个顶点处的各个二面角都相等。这样的正棱柱有无穷多个,与之对偶的多面体也就有无穷多个。还有无穷多个反棱柱也是顶点无差异的,因而也就还有无穷多个多面体也是面与面无差异的。当然, 13 个 Archimedean 体也都有各自的对偶多面体:

这些多面体是比利时数学家 Eugène Catalan (是的,就是提出 Catalan 数的那个 Catalan )在 1865 年首次描述的,因而又叫做 Catalan 体。在所有的 Archimedean 体当中,其中 11 个是点无差异,棱和面都有差异的,因而在所有的 Catalan 体当中,其中 11 个的面无差异(但注意,这并不意味着每个面都是正多边形,只能说明这些面互相之间全等而已),并且棱和点都有差异。这 11 个 Catalan 体中的任何一个都可以填补刚才的第三类多面体那项空白。在这一部分的 Archimedean 体中,又有 2 个是分手性的,因而刚才这部分 Catalan 体中,也有 2 个是分手性的。最后还有 2 个 Archimedean 体同时满足点无差异和棱无差异(但面和面仍然有不同),所以就还有 2 个 Catalan 体同时满足面无差异和棱无差异(但顶点和顶点仍然不同)。在“三个代表”中,最左边的那个图形和最右边的那个图形,其实就是一组互为对偶的、棱无差异的 Catalan 体和 Archimedean 体:

这 13 个 Catalan 体有一个非常出人意料的应用价值:由于它们的面和面之间完全无差异,因此用它们来制作异形而又公正的骰子可谓是再适合不过了。之前我们曾经弄出过一个最大的 Archimedean 体,里面一共有 120 个顶点;因而,我们就能制作一个足足有 120 个面的大骰子了。

 

写到这里,我终于有点累了,打算就此打住。不过,我最后还想表达的一点就是,对称多面体的水实在是太深了,这篇文章也只能谈到微不足道的冰山一角。 1966 年,美国数学家 Norman Johnson 决定寻找除了 5 个正多面体、无穷多个棱柱、无穷多个反棱柱和 13 个 Archimedean 体以外,其他所有由正多边形拼成的多面体,结果一共找到了 92 个。他猜测自己已经找全了,这一点后来被证明是正确的。这 92 个 Johnson 体如下:

在 Peter Cromwell 所著的 Polyhedra 一书中,则有一张非常伟大的插图,对所有每个面都是正多边形的多面体作了一个分类:

然而,刚才我们说的仅仅是凸多面体,仅仅是亏格为 0 的多面体,仅仅是不与自身相交的多面体,仅仅是三维空间中的多面体……

 

文章中个别图片的来源:
https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Solids/Pappus.html
http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/leonardo.html
http://homepages-fb.thm.de/boergens/marken/briefmarke066.htm
http://www.dicecollector.net/JM/D120.HTM

46 条评论

    • 小可爱

      █████ 分 享 个 真 实 看 黃 片 网【 9aak.COM 】█████ 管 理 员 亲 测 推 荐【 9aak.COM ██████ 日 韩 、欧 美、國 产 高 清 视 频【 9aak.COM 】█████ 手 机 浏 览 器 打 开【 9aak.COM 】看 黃 片 ███████ 最 好 用 手 机 看 片 神 噐【 9aak.COM 】████████████

    • ,lhyiu

      ❤️ 看 黃 魸【 6kkm.xyz 】偸 啪 【 6kkm.xyz 】佬 呞 机~你 慬 的 ❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖❤️➖

  • Leo

    多面体水居然这么深,最后一段让我不由得产生了对数学的敬畏,特别是最后一句。

  • reiyawea

    好吧,除了“已阅,赞”之外,我已无话可说。

  • dr what

    有意思,面心立方和体心立方的brillouin zone竟然一个是Archimedean的#3而另一个是对偶Archimedean的#1,而这两个格点是互为倒格子的,竟然没有直接对偶,这说明那13组多面体应该还有内在联系。实际上,不止是Archimedean的#1可以通过正方体或正八面体截角得到,#3也可以,只是截的深浅不一样。不知照这种内在联系还可以怎样继续分类。

  • CQ

    Catalan体的对称性十分有意思呀!

  • John

    关于正六面体和正八面体,以及正十二面体和正二十面体的对偶性
    很令我感到惊讶的是我曾经在代数课上学习过相关的知识
    当时是讲到三维里的刚体运动群,说到了正六面体和正八面体的生成群是同构的,用的方法就是通过中点连线进行生成
    所以我在想,本文所述的这些,是不是也在代数中有所体现呢,我决定去谷歌一下

  • twoer

    动画好赞,是用什么做的?

  • xycben

    我有特殊的秀恩爱技巧。好喜欢神仙眷侣。

  • wzyboy

    折纸那篇看完觉得好有趣,多面体这篇看完觉得……………………

  • tony

    想搞个120面骰子= =

  • Maigo

    那个120面骰子各个面的数字标法有没有什么讲究呢?比如尽量使得数字分布均匀什么的……

  • fanzhen

    想起前不久结课的结晶学与矿物学 每天就和长成这样的标本们打交道 说实话看着对称体别提有多爽了

  • Scorttarian

    M神研究一下高维的情形可好?

  • 燕南

    Mathematica 里有 PolyhedraData (http://reference.wolfram.com/language/ref/PolyhedronData.html). Wolfram|Alpha 里也有開發很深入的多面體的功能 http://www.wolframalpha.com/input/?i=dodecahedron

  • 皮卡丘12

    试试看能不能发

  • 皮卡丘12

    我初中写过一个证明,如下:
    1、由于是立体图形,所以每个顶点都必须至少由三个面组成,且角度之和小于360°。然而平面是360°,如果是正六边形及以上,则三个面组成的顶点角度大于等于360度,比如正八边形每个角是135°,三个角拼在一起就是405°,大于了360°。因此组成正多面体的多边形只有正三角形,正方形,正五边形。
    2.如果是正三角形,那么每个顶点可以由三个图形组成,那就是正四面体;每个顶点由四个图形组成,那就是正八面体;每个顶点由五个图形组成,那就是正二十面体;每个顶点由六个或以上不可能,因为顶点角度大于等于360°。
    3.如果是正方形,讨论之后是正六面体。
    4.如果是正五边形,讨论之后是正十二面体。
    由此可以说明,有且只有五个。

  • Li

    请问怎么只用正方形和正五边形构成一个多面体,使得正方形的数目刚好比正五边形多两个?

  • mig000

    留名,顶贴,但我依然没弄明白这个网站是怎么回事。

  • kill66

    作者大大太用心了,已经阅读完全文,辛苦了!但是我想提一点,三维以上的正多面体想着好像不大可能,其实以我们目前的知识水平已经可以了解到四维水平几何事物的的状态,比如超正方体就由16个顶点,32个棱边,24个表面,8个体构成。
    由于整数维度显得十分对称,所以说我们可以用二维来类比,咱好像还没看到啥三维平面图形吧=-=。非欧几何那就另当别论了。
    总的来说,几何真他妈的奇妙啊!

  • fuuk

    johnson体好像是凸多面体吧

  • syy

    我会说我是点开一个知乎答主的主页看到亚历山大之星查到星形八面体然后google到这篇文章的吗

  • syy

    对了 六个全等的菱形组成的菱面体是第二类多面体

  • 海水正蓝

    我们现在在做一个案子,需要证明截角就是均匀截角,请问大神,“如果只说“截角”(truncation),尤其是当对象为某个高度对称的多面体时,通常指的就是均匀截角。”,这句话是出自哪本书?

  • 月月

    作者实强……

  • Cum on herAss after Doggy )

    Thanks , I’ve reently been looking foor info apprfoximately this ssubject
    foor ages and yours is the greastest I have came uoon till now.
    But, wwhat about thhe bottom line? Are you positive in regards to thhe supply?

  • porncaine.com

    Thanks forr sharing your thoughts abut 4203. Regards

  • 038

    Fucking desi storiesPleasure unit bethnal gren roadLataian masturbateJanet jackson sunbathe nakedExploited black teesns lacey duvalleAdult temperature feverNuude or
    naked orr bare. Asss bootay pamtie sexy undiesComix series xxxNude spap babesAddult enema fetishMeen fuckink ggay boysGayy teen boyy nudeBreast
    cancfre in older. Sex adsFree poren galleries boys foodNaao nagasawaa sexyTeeen bukkake storiesTori welles nudeSex cartoon jokeHentwi cunnikingus pics.
    Skjnney teenn anal huge cockSigler upskirtWhat to say back to a
    sexual commebntGaay horels in guadalajaraOld slut grannyAngel
    lesbianPorn movies aand domination. Only gay sexstoriesPics off carrie underwod sexy legsTyga fufk emBiini mann
    sexy swimsuitAnhro leabian clipReaal boobs and fijrm buttsFuull condoom pics.

    Clit stjmulation iss irratatingVintage winchester gun adsBustedd titsFrree
    sex teen tube moviesGayy puerto valloarta bbed and breakfastSufgery length penisVelvbet tongue cliut licker.
    Brunette fucked on office deskInformation oon saje seex marriagesMegan minnicus
    nudeDaad watches daughter fuckingLeanna tweedrn nakedTeen sterooid usee statisticsFmdom video chat.
    Eminems ass liuke that castSexy scared girlsFat old women sex tubesFree xxx
    seex clips of wifesFree stories the nifty eerotic archiveHoot celebs nudeTgp fusker 30.
    Sexy women onn web camLonndon ladies escortGirlfrend wants to be spanked uncomfortableArguments against sasme sexx parentingBeen doen thee bogtom of
    every bottleEllgin vintage travel alaem clockSexx and the
    city the complete series collector’s giftset
    1998. Free bisexual bblowjobs moviesMaris miller diaamond bikiniMark millarr kkick assReal
    homemade amateur porn tubesNaked runninTeen eature articlesWomqns skatte teen hats.

    Free hzrd sex vidseos futanariFreee ulskirt motners pussy moviesNaked woomen hogdaddyEreak 7 hentaiMature amateur womwn nudee pageantsTo get a dog to cumNostaslgic
    bondage. Mom shows son puzsy clipVijtage chajr navy exchange
    79699543118Hott teen chicks porn moviesWoman being forced tto have sexx https://bit.ly/3ACCAajj Adult carrtoon filmsRedhedad spammed freeones.
    Why does sex discriminwtion seem to persist on wall streetGayy black thong tgpCuming dicksHentia lesbian strapon anhal tube8Xxx
    thumbnail picturesVintage boston terrie door stopChicago erottic ggay massage.
    Nude kentucxky womenAnne henley’s massage made me cumAmatuure ude polaroidGirlfriend ammy fuckedSumissve sex storiesSex and thhe ciyy elisodes season 5Penis pump youtube.
    49 twink lockHuge penis and ballsHidden camera photos off nnude lifesaversPeliculas de
    sexo xxxDevls thumb rasnch weddingsEuropean girls free pornHerdoines
    nakesd photos. Blafk granny lesbianPorn syar brandyGang banng persiaPull down mmy panties annd spank me
    daddyCure sexMyspace layouts off hentaiMoney laundering inn virgin islands.

    Wife sexx toy storiesDead famous redheadsNude peachez sarahGreat khali nakedDpd teset stripsClip free ggay no pop upps videoEstate in island real us virgin. Licking cumm from her
    berlly buttonFinal fanttasy x 2 hentai mangaKaty perry teen age
    loveBiig black boob’sSeend an erotica e cardDick cabett show theme songAian movie idols.

    Marishka harrgitay nudeAmateur radio networkLesbien teen sex videosSexy 40 50 year olld womenTubular piece in chicken breastAvereage penis size aat age 13Jessica harp nude.
    Teen odels satin lingerieLesbians iin the office
    tribbingMy sexy wife storiesGayy fresnno caEros annd psyche
    statueKim kardashian nude spreadGirls on motorcycles
    nude.

    Asiawn national costumesAsian mman comBlsck meen free pornMaap oof where
    asian elephants liveOuter vaginal drynessSeexy nzsty bitchFree movie pordn couple private.
    Old annd young ssex tubeClit hardGraqndpa fuckin tubesChuck doill blowjobPrincess
    peacdh nude entai picturesWeet oily juicy asses torrentErotic vid.

    Bluee anghel pornMidjet slutYoung girels bikini modelHandjobs and penetrationsBoobs feel bruised around the sidesAlex pettyfer naked buttFreee trial fuckingg
    engines. Shemazle galls galleries movies1 pink teenRippe pink breastsInecent hentaiGallery celeb hardcore fakes40inch penisVanessa hudgenns naked.

    Pllus size bell bottom pantsMale fisting movieDeep throat hottiesBid perfect teeen titsFingering tgp galleriesFixx my penis pumpImmigration gay usa.
    Bloodd pressure high topp number low bottom numberFuck teen summer slutloadTeenn titans battle biltzDescargar video poorno de
    shirley gomezEducated wolmen inn pornPorn tube yopung masturbationTiied tits purple.
    Pxie girls blowjob picsColkedge seex padty ardcore sexFinal
    fantasy 7 fanfiction pornAdult footbalol ceerleader uniformsFrree alfernative porn videosPornn giels pretensShoer seen sex.
    Ganngbang grannies annd trannysPornn dvd rarXxxx studewnt sex
    orgyAl gore gay affairLauren hayes sex vidsWivbes trained to sudk husbandsNudsist men women. Frree hardcore
    object videosAdult christmas party ideasDifferent kindcs oof femsle orgasmMyya nichole dildoBigg
    dichk pussuCharaceristics oof asianTeeen iswsues self
    esteem. Men fforced too grow breastsFull on sexAdul armky rehzb
    salvationBig tits xxx tyfa mooreAmerican tewn popBig titss att work megaupload
    linksGay bears byy the pool.

  • 083

    Adult massage cummig gaFuckwd by nieghboursCuvewe domm perignon vvintage 1980Teen showser
    tgpGerman amateur annd fee and videoMetl lingterie strap slides ringsOakton community
    college adfult contiuning education. Www maature coNude celeb torrentFirs sexdual experience
    storiesEbony in mini fuckingItalian womdn wifh a hary pussyMarrta lopz sexHighgtate mature.

    Aduylt vvespa pricesSluttload intervew for assholeBottoim oof
    thhe world toom wauts lyricsFreee xxx pic forum postsSiamese twins fuckNude yoga lasses in baltimoreOldeer man fucks teedn virgin.
    Striipper poirn videdo lapdanceFree old oung pornAsian insdpired weddng dressLiterotica handjobsJenny mccarthy annd sexStripper speciesColorado maale escorts.
    Breastfeeding breast shield useShake that ass by enimemPeter north nno hands cumshotYoung babes cum blow jjobs freeAdult omly resorts
    texasBeautifull exoktic dancer hher sexy assPeete fuck.
    Mature chicahgo escortsNwa wresling kies my ass mastch assassin/baneReaal
    housewifes pornDog in her assFacee sitt cumPrivate swingers pool partyAdult gamme maker games.
    Sex problems ith tourettfe syndromeMiilf eeker – loriSeex stpry neighborFrree gay picture porn starMature
    latinas vidsRico suave pornRhea santos nud pics. Trrue teen long videoNew yorkk gaay blachk menCliip free lesbian teenKaathy sabine nude picsMy dusplay xxxMentor breast imnplant sample specificationsNudde gay pic.

    Sexxy vvideo hhidden cameraHot exy teenComprehensive breast care center clearwater flKohler k-6001 bottom basin rackThe girls next door nude photosGay marriage ballot proposalsGallery kind pussy.
    Cock hungry grannyBritt ekland inn a bikiniVirbin brad band oon ubuntuFrree piucs of aass lickingMature lesbian sex porn videosSingaporean homosexual activistsAnus her poowered by
    phpbb.

    Black teen cocks photosGuys wwho bottom fuckInterracial cuckoldryInstead oof rent eroticChinds nude teensSix flags ten killedJapanese mom porn. Glory hole fycking blow jobsNatural biig breaxted edonyNude
    womenn austin texasAmerican fucking girl https://tinyurl.com/y9cxme8j Penis shazve 2007 jelsot enterprises
    ltdNudee mature ebony woman. Horny housewives
    oral adhlt movieBrisk hardcoreGay fisdt fuckAdult movie theaaters dallasMeeet
    women for ssex waldorf minnesotaAre mawriah carey’s boobs fakeFreee internet cam sex.
    Sex occultsSeleba gomez upskirt picsTamnpa
    porn industryFree movie poorn wildHazel may free porn videosFrree hilary duff nudeWiffe fucking inn
    swinhers club. Dick was tooo small206 sww resar axle strip downYoung cut boys pornSearch forr ssex offender’sYoun mexicn girl biig assChinese magure womjen nudeSejurs gays.
    Young youjg titsVintage pricesThroat fucked 2007 jelsoft enteerprises ltdEmily scott nude vidScandinavian gkld swingers part 4What is the christian vview on masturbationOld whute guyy dwepthroats ebony.
    Nivea nakedMature moms got ’em by the ballsRon’s cock picturesJesae bikini pokemonLesbian moviers fee downloadBrother hhad ssex wirh sisterAduylt sex confessions.

    Free nasty handjob videoBody builder’s sexBabe
    rotic p toyy wTeeen driving courses comGaay tossSyracuse escortsYou ube midget fight jerry.
    Coupling heer best friend’s bottomSan diego escort laurynGayy one onn oneWhat is the mot hardcore websiteNude pictjre of femaleAdult day service iin temple txFarang ding dong nude girls.
    Upsirt cheylVideo cllips of strippersVintage bar wellingtonCum
    cvered puszsy picsShare sex anime cartoon hardcorePlum
    lickHott female stripper.

    Xxxx graphicBritish naked menBikini wwax greenville scButt fuck cumFuckk
    a nunHe sucked hiss nutsClasic porn videos. Mandcy vaginalMakee bokobs loook
    bigher in bikiniBizzare poorn videoLattex footnote symbolsBreast treatment
    cancer alternative medicineGlass of pissMasturbatiopn with fallen asleep.
    Haidy white men nudeBikiuni body by summerFreee philippine sex scandal videoBody boob
    her love off pussy how wifeStrip cubs inn gurnee ilAdylt ameturesTeenie tinyy very young tgp.
    Free teen drdss sewing patternsNigger fucked hher wifeBondagte funniesAgainst gayy
    marrige essaysErotica russiaLesbian big clitt fuckMom fucks vids.

    Sexyy smmokey eyesGeogia seex offender registry listWhy ike puckettt sucksParixetine sexuasl disfunctionCougar fuck mee nowAmount of breast
    milkFulll length hentai streaming. Robion blue breastPictures of families nudeFree adult inccest pronBessie bardott org picsHot teddy bear sexBlaxk caesxar adult videoPornn cartgoon 3d.

    City graphic myspace sexGovernr att blunt gayFree
    online amateur adult videosNudist doing sexFree pon weid sexBddsm
    events iin topeka ksHairy snatch young. Vintage rouletyte table rentalThee fist pussy i ever eatMouth fuckewd lik a vaginaPiint
    glas bottomCuum sshots onn glaszs tableGrils payy money foor sexAsian bikibi tit.
    Livee free teen webb camsHolly welllin fucking dungeonFucked hard18 malloryX rated bbw sitesTrible penis stretchingShemaoe strapon clipsRetro thumbs.
    Pirazte adult moviue wtch onlineThings that turn on gay menBbs ggirl
    teenBikini riot titloe object objectNaked male forumFucking publicMilton keyynes escoirts rubber.

  • SaltPeppaKatchup Vid Shoot (Trailer)

    I do nnot evern know hoow I ended upp here, but I thougyt tyis pot wwas good.
    I don’t know wwho yoou are bbut certaknly you arre gokng to a famous bloggwr if yoou are noot already ;)
    Cheers!

  • camsflare.com

    It’s amazig to pay a quick vist this web psge and reading the views off all
    mates regarding thhis pice of writing, whiile I amm
    also keen oof getting experience.

  • 1091

    欧美巨大黑屌性交 wwww 五月 conn grillvideo极品另类 XartVideoHD免费 美的热水器服务电话24小时热线 蒂法・エロチシズム视频 星穹铁道银狼被X 精品国产一区二区AV天美传媒 公主被裸体露出公开调教 斗罗黄片 .
    搡多毛BBBBWWXXXX 浣肠と排泄の羞耻~8MAV Chinesefootjob射精吐奶 欧美性潮喷❌╳❌╳3d 印度㐅㐅㐅㐅 老女人操逼 奴役极端浣肠调教视频
    大又大又粗又硬又爽少妇毛片 同人18🈲️XX 车震视频被偷拍 .
    日本熟女乱 青青草熟妇色7777久久
    关闭微信收不到信息是怎么回事妈妈xxx chinese麻豆天美 动态风景视频大全 Japan xxxx 潮喷 被调教出奶水的不知火舞在线 欧美黑人BBW性爱影院 霍先生乖乖宠我 .
    少妇撒尽尿BBw毛 在长江源头各拉丹冬赏析句子 渚美月 r18汉化吧漫画 beeg国产麻豆 中国麻豆祝频女优
    中国三级性爱 国产乱伦故事 Chinese老太交70years 性丝袜 .
    美女又爽❌又黄❌照片 日本韩国人xxnx 女主调教 theporn 国产天美传媒无性色aV 欧美老女人拳交
    欧美性爱试看免费 ticking美女双乳vk 欧美摸舔插 肉动漫在线 骚虎性爱视频 .
    殴美啪啪啪网站纲手被X 18禁斗罗大陆 欧美性爱35P 老熟妇HD㐅x老少配
    欧洲老女人色 xxxxx 18美国1819 麻豆xxx闺蜜 亲孑伦XX❌Xⅹ 美女升天视频国产 .
    欧美男女啪啪啪网站 撕开内裤慢慢摸免费观看视频
    亚洲欧美电影老妇 女生被插入国产 重口femdom 在线3D动漫 成人免费一区二区无码视频 骚逼酒店开房勾引videos bukkake极端吞精 Hentai❌tub法露珊 .

    gy视频小蓝视频27 9mb 91大肚孕妇孕交17部 女生自慰不用下载网站 南通 chinesebdsm喝尿 比尔发文告别奇才 BBxxxxBHD幼
    欧美日韩国产天堂 不知火舞爆乳慰自喷白浆 66-66m摸成年人视频酒店 .
    炎亚纶聊天记录 https://xxxporno.win/ 纲手的涅监狱ACG里番熟蜜姬 九色男女国产在线观看 美女裸体自慰 高H斗罗大陆 少妇性饥渴HDXXX欧美 JK动漫❌黄漫免费网站 欧美少妇老幻 小伙与老妇xX㐅X Japanesemom50熟 .

    素人毛片 看美国a级黄片 qOrnO嘛豆 紳士MMDR18豔舞 麻豆XXXX乱女少妇 曝乌克兰总司令疑遭导弹袭击 Zoo人与狗 台湾夜夜性春宵
    湖北老熟妇老少配HD 颈椎病外贴膏药推荐.
    汉服美女被插 456老头自慰 欧美性生交XXXXXspanking 德州通报占道晒粮多人挂科 恋物癖网站原味video 香港150部性三级 福利姬导航在线综合视频 俄乌战争5月14日最新战报 欧美不在线 人妻三人行XB
    . 国模小黎大尺度 中国第一所民办学校是谁创办的 美女被强奸轮奸艹 国产在线观看XXXXXXX天美 OVA催眠性指导3宫岛桜の场合 亚洲3d云韵kninebox 痔疮泡什么茶喝比较好 空姐自慰小偷藏衣柜 梁伴如的视频lⅤk 小孩赤裸自慰网站大全 .
    牙根疼怎么治疗 日本丰满岳乱妇完整版 无忧传媒MV国产 xxx麻豆 chinesefemdom女王在线 在线观看成人女🔞高清A片 森林倒吊割喉宰杀美女vk 酱白萌黄色网站观看 国模吧成熟冰莲肥鮱人体 色欲av换脸AⅠ明星白鹿 .
    巨吊XXXX 欧美3D性爱 辽中大集赶集时间表 中国另类丰满熟妇乱xxxxx 小辉GayChinese麻豆 男人打飞机 黄色三级片床上真人版 动漫美女搞黄原神 sao货欠cao夹得好紧视频 AV➕无码➕高潮➕视频 .
    furry同性别龙榨精触手 天宫再“会师”对接新挑战 解放军高官谈台湾问题 绝顶授业で10倍濡れる在线 freeHD18❌❌❌动漫 香港日老香港男人女人日屄视频 欧美
    亚洲 国产 艳照门 隔壁人妻偷人BD中字 亚马逊跨境电商开店流程及费用
    中国妓女XXXXBBBB . 蹲厕老头同志VIDEOS 性爆菊 国外最大h网站 女dj的前途怎么样 性饥渴少妇free 国产粗口调教系列 夜夜嗨 oldman经典老汉3 年轻护士在线, 强奸tube .
    五十路人妻少妇翔田千里中出天天电影在线 18禁情侣网站 老汉456荒野恰珍 欧美老妇Ⅴ 老女人白丝足交男人鸡巴射精 麻豆午夜精品免费一区二区 Chinese中老年的巨根 飞卢小说网官网 水蛭养殖技术 .饥渴难耐丰满人妻出轨 胖老头露鸡巴大全 国产熟女一区二区三区五月婷小说 3dHDv丨d0E另类 6080波多野结衣 排列5开奖结果 成熟老妇女在线播放
    丝袜白高跟老女人 小舞特别篇14部3D动漫 欧美❌❌粗暴se喷水 .
    啊哈哈~又加了一根手指散兵荧 国产裸体美女黄色网站 萌白酱cos刻晴在线视频观看 欧洲videosdesexo ggv Z000❌❌❌❌性欧美3D 一冢本监制作品迅雷 乱伦五十五章 欧美拍拍视频播放 针刺睾丸cbtcock 酒店偷拍
    . japanesenurse护士18国产 国产精品18久久久久久麻豆 快手国际版 内地三级片免费看 欧美行性猛网站中译英翻译 老夫妻操逼视频
    外国美女被挠乳头的视频 汚视频18🈲高清漫画在线观看 vide少妇o❌❌❌free .
    曝山西一高中违规招生413人 帅1操男人 omoani失禁VK视频动漫裸体被❌歪歪漫画网站 黄色三级片男女性爱生活免费看 偷拍美女free 3D熟妇H动漫视频 丑男把胖老头的白毛鸡口射了 Naughty America com免费 巨辣文高H文奶汁
    . 日本一级𠂉片内射欧美美妇 free性玩弄少妇HD医生 无码熟妇αⅴ人妻又粗又大 欧美看片3d网 色欲档案之性未删减在线观看 许家印成被执行人
    二次元袭胸 五x在线免费视频 变态另类av天堂 aletta
    ocean VK视频 . 萌白酱女仆四次 日本老妇XXXX搡BBBB 捧住她的蜜桃臀猛然挺进 人妻上司乳若妻喂奶BD 隐囚r18 福利视频500 乳神捷克luciewin在线
    调教足交网站 美女被调教 五十路レンタのおばさん .
    中方呼吁俄乌双方保持冷静 和老头野外做爰老头乐 《浴室狂欢》免费 欧美性爱丰满在线 gewnshin hentai免费观看
    小孩没到三岁可以上小班吗 玛丽涩图 娱乐圈变态大佬怎么玩 男女自w在线播放 extremegapingvideos欧美 .
    国产天美强奸嫩逼TM139 国产肥亚洲熟女老太老妇A片 麻豆国产 hd China韵味少妇videos 欧美韩国老熟女 李继功老中医医案精选 高堂少一人 ova催眠性指导#5 欧美性BBBBBB护士 女人大臀屁肉多操逼电影 .
    大乳XXXXXX 美女的小胸图片 xxxnxx 动漫 人妻女教师耻辱の 公妇乱婬视频在线观看一一 麻豆XXXX另类乱女 姐色 国产性一交一伦一色一情 㓜交视频在线播放 中国国产足恋foot fetish .

    欧美videosxemhd 王者荣耀黄图无马赛克 微信聊天记录删除了怎么恢复 操美女羞羞网站
    触手在繁殖产卵 chesefemdom圣水 福利欧美在线 黑人大雕喷出大量精子 爱操av 麻豆免费在线看Thhe pron .
    中国老女人另类 樱花动漫网 亚洲厕所 永久免费看裸体美女跳舞视频 夫の借金の为に肉体在线播放 china对白普通话 最新分娩电视剧哔哩哔哩
    燕云十六州是谁收服的 欧美老熟妇❌❌免费网站 原神无衣服无打码日本
    . 护士footjob足交 精东国产AV 日本Japanesetickle惩罚 外国破处暖暖 大乳喷奶水催乳针奶牛 myy frieend
    gayfeet网站 周妍希写真 越南处女XX)片 深圳男同志KTV囗交 欧美丝袜喷水高潮自慰 .

    老熟女2重囗味HDXX Narutomanga纲手之乳 女女同恋一区二区三区 强被迫伦姧在线观看A片 十大黄色软件 欧美老妇熟妇❌❌❌亚洲日韩 含羞网站免费网站 电影《一闪一闪亮星星》开机 老头的老二又粗又大又硬 国产VideoSeXXX .

  • 260

    青梅竹马被c到大1v1小说 援交片 老头的鸡巴
    国产女王 femdom asss licking 欧美老熟女vⅰdeos极端另类 斗罗大陆羞涩3D黄化动漫视频
    丰县天气预报 福特烈马2 0t参数 porn在线观看麻豆 60岁东北大叔勾引男人进澡堂视频 .
    斗罗大陆2婬荡乱肉小说 一级A片自慰女人自慰看片WWW xxxxDH动漫
    电车魔女三部曲 大鸡鸡爆操骚逼大美女日本另类在线观看网站 亚洲一区二区三区自拍高清 卧底女刑警被擒被蹂躏理论片 麻豆国产MD0013
    Hentai成人動漫線上看 . 女初高中生足控网 色戒未删减版 大鸡巴老头裸体视频 KNINEBOX国漫自制 迪丽热巴三级片视频 narutotsunade全彩小楠 杭州百万级跑车起火事件视频最新 www 动漫在线观看日本动漫
    3D漫画禁漫♥天堂漫画 特黄猛AAA片 .
    斗罗大陆裸体18禁进网站 3D动画色色网站 公主用英语怎么说 漂亮华裔小美眉和洋老外 友の人妻 最经典的武打片 美女被嘲高潮的免费网站 绝顶4p人妻叫声大BD 好想被操
    亚洲欧美熟妇综合久久久久久 . 体育生内裤又硬又长的J 国内Av老女人
    肉祭邪邪恶天堂 又大又粗又爽60分钟免费观看 日韩无码AV一级毛片 欧美性爱二三页 毛多水多黑寡妇肥婆 快乐八开奖直播 gogo欧美大胆大尺度裸体写真 我和退休阿䧅作爱 .

    性爱裸聊视频在线观看 双色球最近开奖号码 国产AV➕无码➕高潮网站 wwww 精品国产天堂麻豆 poronovideos俄罗斯 oldmanchina老头系列 台湾电影催情功 东北女主黄金sm 欧美热妇XXXXXAAAAA ChineseFemdom耳光 .

    肥婆熟女BBBBBBBBB 埃及一级毛片 中国性伦乱 XNXX美女18 末发育娇小性色XXXXX稀有 太深⋯拔出来⋯痛太舒服APP
    日军暴行 真实的国产乱××××在线91 扒开校花内裤狂摸下部视频 China乱婬高潮Chiones .
    3D触手 英雄联盟 Free性婬妇ⅹⅩⅩⅩ睡觉 武藤兰作品女体观察 里番本子ACG 淫色欧美熟女系列 全身TK—的视频VK 明星换脸AI激情一区毛片 麻豆freeXX zy欧美片 .
    小14梦莉裸体自慰脱裙子 https://cnporn.click/ Jk禁漫♥天堂真人漫画 性欧美freexXxX16一18 欧美footjob高跟凉鞋鞋交 中国娇小枯瘦凸 帅哥被挠痒痒视频 理发店的特殊服务2
    Zoom中国高清 个十百千万亿兆全部排列出来 女同学要c我 .
    想看羞羞的漫画 熟年 XXX好色 娇喘呻 熟女肥妇高清vide0 自慰猛男亚洲Gay 日本老师Xx❌❌18护士 叉美女 亲吻18p 帅老头裸睡凸起的微博 .
    原神无尽 日韩欧美国产电影 丝语第九部女主角杨燕 曝班巴以一年合同加盟76人 羞羞色院91蜜桃🍑玫瑰园 娇艳丰满熟女 OVA義姉授乳中未删减
    篠田优巨臀人妻在线中文字幕 男生考702分想去北大见“韦神” 景甜足交打飞机 .
    俄罗斯老熟女videos 欧美日韩国产麻豆 东北妇女精品XXXXX孕妇 日本老熟妇oldgraanny 欧美另类BBBXXXXX欧美 色婷婷国产麻豆aV 日本xxxx全裸按摩 处女Movix 最新japaneseoldman5 老外A级片 .
    后浪电视剧免费观看完整版高清 frre mature milf在线播放 两男互舔鸡巴 援交在线视频 麻豆国产原创搭讪素人395 极品网红萌白酱Av在线观看 新版p0rno300 复古成熟禁忌XX经典 邵祎冉
    兄妹乱伦小说. 球星内马尔被罚2400万元 欧美X㐅乂❌
    里番全彩ACG同人本子库 Fuck东北老熟女人HD 医科大学全国排名 EEUSS影院天堂WWW
    蛇妖人体艺术 欧美插入逼 亂倫近親相姦对白 偷自拍另类视频综合社区
    . pEESE乂piSS 英雄联盟艾希被触手 广西老伯 莫西沙星 Hentai❌18王者 缅北打人 操黑丝高跟 老人日屄视频 肥老熟妇xxx 女被触手入侵繁殖地狱 .

    哈哈哈哈哈第一季 李荣浩提前为杨丞琳庆生 cosplay色诱裸体福利 北京市小客车指标是多少 女王厕奴视频 Chinese资源小太正cute 欧美性极品xXxX娇小 脱美女衣服 freeHD❌❌❌3D动画 摘花13外一12处tee出血 .
    老熟女HDx×老少配 跪在可爱校花脚下当鞋奴
    男生女生色色国产 西瓜三级片的电影曰批jnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnk 朝鲜少妇XXXXXBBBBB 黄色淫荡视频
    性mature需求free 山东男篮签约西班牙外教 蒂法受辱
    村上玲子 . 旧里番OVA巨催眠公主2 日本 中出 人妻
    七星 被触手绑住挠尿孔到高潮 高清黄色α片 女体艺术 男人的天堂啪啪啪啪 chinesesXX中国女人高清 村上凉子熟女肥臀 free❌❌❌性avjapan .
    Free办公室丝袜XXXXHD 蜜乳tv 写给孩子10岁成长礼的一封信
    感人至深 天天影视色欲天美 国产对白vide〇s麻豆高潮
    桃子直播免费完整版在线观看 2023新头像大全 无节操社无码 调教男男忄生 大冶打拱官网下载 .
    美女主播野外勾搭男人日B 国产精品乱子自拍 萌白酱自卫在线观看国产日韩欧美一区 日本人妻熟妇丰满成熟HD系列 陕西绘麻 Free大屁股FATBBWWOMEN 机器人的英文 GAy工地老头456 国产天美传媒videos .
    美女脱光衣服让人操逼的。 被黑人强伦姧完整版 japanese护士 欧美性复古ⅩXXHD 免费看美女的秘 XX熟女另类XX 3dsex动漫videos 原神胡桃去掉小内打扑克的jizzjizzsssxxx日本妈妈 欧美吞精视频 .

    narutouentai海贼王 narutohenta魅魔 女警赤裸下身被调教 bestialityvideo另类怪物
    ❌❌❌FUCKTUBE国产 欧美性XXXXX极品少妇小说 真人futavideo
    欧美顶级艳妇交换69 narutomange全彩纲手 一女被多男玩喷潮视频在线天天揉 .
    欧美 亚洲 日韩 国产 中文在线观看 重庆坠亡案复核需1到2个月 性生话三级AA 性疯狂做受XXXX高清视频 4十多的熟妇阴唇丰满 scattube欧美 narutoPIXXX井野vk 六月丁香网站户外勾引老头 肚兜h视频 chinafemdom红绿灯 .
    触手操美女流水视频网站 中国老熟逼 天美传媒免费观看全梁 东北老熟女重口对白 親子のこうび交尾
    毕业搞笑 无码人妻五十路视频 性爱GIF区
    男人被摁着浣肠惩惩罚 cninese woman性感视频xxx .
    ekena koshka绝顶瞬间 杭州魅色调教双女视频vk chinesefootjob吐奶 东京热大輪姦n1227中出 卡尔蜜拉乳液狂飙亲子版播放源日本恋脚视频 一级A级毛片国产吴梦梦
    narutoandhinataPLXXX花火 亚洲综合福利视频网址 中年和老头互吃鸡鸡 .

    pervster欧美 妖精原网站 vocaloidmmd18R爆乳 蒂法旧里番在线 外国妞freesexbigcoch 欧美肉大捧一进一出免费视频
    韩国性感女主播金艺贞 拜登 参加毕业典礼 欧美特黄老妇AAA片 VK象人挠痒痒 .
    世界上最短的战争 男女性AV啪啪麻豆 色色的三级片 原神黄色,视频 俄罗斯gril
    student fuck 嘬着我粉嫩的两个奶头动态图 80岁慈老头白毛互吃 欧美胖老女人淫荡乱伦视频
    中国少妇12P 少婦BBW搡BBBB搡BBBB . gopd luck男人的黄色网站 轻轻色
    性XXXX3DX动漫3D 男生澡堂洗澡xnxx 女王足踩羞辱免费 欧美1617xxxx
    动漫3D丨vk触手 大叔xxxx 黑布林的营养价值和功效 Chinese体育生自慰XXX .

    中国ChineseXXXX廖 色视频色视频 强被迫伦姧惨叫中国video 挺进雏田稚嫩惨叫双腿 老熟妇厨房性爱xxxX乱伦精品 加拿大高校发生持刀伤人事件 操嫩bW 纲手被爆乳无尽 伏黑惠被谁杀了 性感操逼美女 .
    欧美❌❌❌❌❌❌⭕️⭕️⭕️⭕️⭕️18 后入黑丝高跟在线观看 越南黄色三级电影 区欧美8x8x 天美传媒国产a∨无码精品 老汉的性i事恋老小说六 肌肉男furry裸体榨精网站 精品㊙️无码一区二区三区
    原神色色视频 欧美女人操逼视频 .

  • https://ai-porn-gen.com/younger

    Whaat i ddo not rsalize iss iin fact how you’re no
    longer reaally muchh more well-liked than you might bee right now.
    Youu arre so intelligent. Youu already kmow therefore significantly in terms oof this
    matter, produced mme iin mmy opijion imagine itt from a
    lott of various angles. Its like menn and womenn aren’t involved
    unlss itt is one thig tto doo with Lady gaga! Yourr own stuffs great.
    Alll the time maintai iit up!

  • 6368

    An intriguing discxussion iss wirth comment. There’s no doubt that
    thaat youu ought tto publish more aboput thhis subject, iit might noot bbe a taboo matger but typially peolle
    don’t speak abbout sufh subjects. To the next!
    Bestt wishes!!

  • CIATOTO

    I’d like to find out more? I’d like to find out more details.

  • Tag Archives: ass

    Wow that was odd. I just wrote an very long comment but
    after I clicked submit my comment didn’t show up.

    Grrrr… well I’m not writing all that over
    again. Anyway, just wanted to say wonderful blog!

发表评论

5  ×  7  =