经典证明:任意三角形都能被分成n≥4个等腰三角形

    证明:对于任意一个三角形和任意一个大于等于 4 的正整数 n ,都存在一种把这个三角形分割成 n 个等腰三角形的方案。这个问题曾经出现在 1976 年的 Crux Mathematicorum 上。 1977 年, Gali Salvatore 给出了一个非常漂亮的解答。


    首先,让我们来看一看如何把任意一个三角形分成 4 个等腰三角形。如图,作出三角形的高,把整个三角形分成两个小直角三角形。对于每一个直角三角形,作出斜边上的中线后都将会把它分成两个小等腰三角形。于是,我们就把整个三角形分成了 4 个小等腰三角形。

      

    我们借此还能实现,把任意一个三角形分成 7 个等腰三角形:只需要先把它分成 4 个等腰三角形,然后再次套用上述方法,把其中一个小等腰三角形继续细分成 4 个更小的等腰三角形即可。事实上,我们还可以继续这样做下去,从而让等腰三角形的数目 3 个 3 个地增加。因此, n = 4, 7, 10, 13, … 的情况便全部解决了。

    由于我们可以让任意分割方案中的等腰三角形数目加 3 ,因而如果 n = 5 和 n = 6 的情况也解决了, n = 5, 8, 11, 14, … 和 n = 6, 9, 12, 15, … 的情况也都自动地解决了,结论也就证到了。所以,接下来我们只需要考虑 n = 5 和 n = 6 的情况。

    n = 6 的情况非常简单,如图,只需要把三角形分成两个直角三角形,再把其中一个直角三角形继续细分成两个更小的直角三角形,最后作出三个直角三角形各自斜边上的中线即可:

      

    n = 5 的情况呢?我们有一个妙招:先在三角形里边分出一个等腰三角形来,然后把剩下的那个三角形分成四个小等腰三角形:

      

    但是,上面这招有一个缺陷:它不能用于等边三角形。为了从原三角形中分出一个等腰三角形来,我们需要在某条边上截取一段,使得它等于另外一条边的长度。但是,如果三角形的三条边全都一样长,这一点就做不到了。因此,我们必须单独为等边三角形想一种把它分成 5 个等腰三角形的方案。好在这并不困难,我们有很多种办法,比方说,像下图这样:

      

    Which Way Did the Bicycle Go 一书中给出了更多不同的把等边三角形分成 5 个等腰三角形的方案:

      

    至此为止,问题就全部解决了。

 
参考资料:Ross Honsberger, From Erdos to Kiev: Problems of Olympiad Caliber, pp. 13-17
 

20 条评论

  • dl_luffy

    支持!沙发!

  • luixiao1223

    有意思

  • ptofga

    看题目不知从何下手,这个解题妙就妙在分成n=4,5,6

  • 本因坊算帐

    也可以这么证:

    1)任意三角形都能被分成 n>=2 个直角三角形
    2)任意直角三角形都能被分成2个等腰三角形
    3)任意直角三角形都能被分成3个等腰三角形

    只有3)的证明稍微复杂一点。对于非等腰直角三角形,可以在长直角边上找到一点,和对角连线,分割成一个直角三角形和一个等腰三角形,再套用2)即可;对于等腰直角三角形,先等分再等分,即可分为三个等腰(直角)三角形。

    最后,n>=2个2或者3,显然可以相加得到n>=4的任何数

  • star

    怎样证伪n=3,n=2 ?

    • 我之乎也

      这样的三角形就不是任意的了,有条件限制:直角三角形可以,一个角是另一个角的2倍的三角形(小角要小于45度)可以,一个角是另一个角的3倍也可以

  • 橡木

    一定要在地核之前呀~~~

  • TO-0

    我怎么已经在地核里面了…!

  • whitefirer

    那我在哪里捏…

  • Raman

    @地下室 正三角形就不行。很简答的分类讨论。

  • benjoying

    不错。。。

  • 弦音鹤

    10楼 @Raman
    正三角形连接中心与3个顶点即可分为3个等腰三角形,所以只能证伪n=2。

  • Raman

    @12楼 没错,是我疏忽了……只想着先切成两个再切一下变3个这种方法了,忘了中间一点连三条线这种了。这样的话任意锐角三角形只要找到外心就可以了。直角三角形也很好找到办法。那就只能从钝角三角形着手了。等腰钝角三角形也容易做出,所以只能找不等腰的了。
    可以证明对于比较扁的不等腰钝角三角形的话,比如变长1,2,2.999这种,内部一点连出来三条线这种是搞不定的。其他方法就只有切成俩三角形然后再切一下变成3个这样了,这种情况必须保证第一下就要先切出一个等腰三角形,然后再把剩下那个切成俩等腰三角形。然后不管怎么切,对于刚才说的很扁的不等腰钝角三角形,切出来一个等腰三角形之后剩下的肯定还是个钝角三角形。再一下要把钝角三角形切成两个等腰三角形,这样的钝角三角形必须满足三个角度里某两个有个3:1的关系,这个要求不是随意就能达到的,实际上估算下就知道1,2,2.999这样的组合就没法搞出3:1的比例。所以还是不行的。

  • Raman

    呃,除了3:1还有2:1。反正换成4,5,8.999也行,总之角度恰好满足要求的是巧合,一般是凑不出来的就是了。

  • nengkun

    怎样的三角形能分成三个等腰三角形呢?这个集合的完整刻画是什么

  • 多劃

    h ttp://blog.wolfram.com/2013/03/28/from-close-to-perfect-a-triangle-problem/
    也是三角形剖分,正方形能被分成最少幾個45-60-75的三角形。藉由MMA,由數值方法突然轉成精確解,神乎。

  • 奇热艺电影网

    让等腰三角形的数目 3 个 3 个地增加。因此, n = 4, 7, 10, 13, … 的情况便全部解决了。http://www.qireyi.com

  • pokeqwe

    我想了一个解法:
    (1)任何一个三角形可以分成4个等腰三角形;
    (2)任何一个三角形可以分成两个三角形,其中一个是等腰三角形;
    (3)结合1,2,则任何一个三角形可以分解成n>=4个等腰三角形。
    问题是,第2步,也就是文中的第3幅图,怎么证明呢?如何证明一个三角形总能分出一个等腰三角形呢?

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