趣题:测量两根木棒长度的更优方案

    这道题出自 Fifty Challenging Problems in Probability 一书中的第 49 个问题(有趣的是,这本书里其实一共有 56 个问题)。假设你有一个长度测量工具。在测量实际长度为 L 的物体时,由于不可避免的误差,你将会得到一个平均值为 L ,方差为 σ2 的随机结果。现在有两根长度未知的木棒,你需要用两次测量得出每根木棒的长度,使得所得结果的误差尽可能的小。除了分别测量每根木棒的长度以外,还有没有什么更好的方案?


 
 
 
    答案是肯定的。假设两根木棒的真实长度分别为 A 和 B ,其中 A > B 。把它们头尾相接摆在一起,测量 A + B 的长度;再把它们并排放在一块儿,其中一头对齐,测量 A – B 的长度。把这两次测量结果分别记作 S 和 D ,那么 (S + D) / 2 就是 A 的长度, (S – D) / 2 就是 B 的长度。

    注意到,测量结果 S 实际上是一个以 A + B 为中心波动的随机数,测量结果 D 实际上是一个以 A – B 为中心波动的随机数。可以证明, (S + D) / 2 就将会是一个以 A 为中心波动的随机数, (S – D) / 2 就将会是一个以 B 为中心波动的随机数。但是,为什么这样一来,误差就比直接测量 A 和 B 更小呢?

    不妨假设测量结果 S 的方差为 σS2 ,测量结果 D 的方差为 σD2 ,由于对于两个独立的随机变量来说,和的方差就等于方差的和,因此 S + D 的方差就是 σS2 + σD2 ,进而 (S + D) / 2 的方差就是 (σS2 + σD2) / 4 ,它等于 (σ2 + σ2) / 4 ,也就是 σ2 / 2 ,这显然比单独测量一次 A 更好。那么 (S – D) / 2 呢?注意到 – D 和 D 的方差是一样的,因此 (S – D) / 2 ,或者说 (S + (- D)) / 2 ,其方差也是 (σ2 + σ2) / 4 = σ2 / 2 ,显然也优于单独测量 B 的结果。

    利用上面这种分析误差的模型,可以很好地解释为什么“多次测量求平均值”可以减小误差:在给 n 次测量结果之和除以 n 的时候,测量结果的方差也降为了原来的 1 / n 。而今天这个问题的“和差测量方案”巧妙就巧妙在,仍然只用两次测量,却同时给两根木棒的长度都提供了方差减半的机会,最终达到的精度相当于是为每根木棒各测量了两次。

    对于一组独立的随机变量,和的方差就等于方差的和。这是一个非常重要的结论,它还有很多有趣的应用。这里则是另一个我很喜欢的例子:http://www.matrix67.com/blog/archives/1810

24 条评论

  • lunajrq

    竟然有沙发

  • Dark

    事实上我们增添了一个“对齐"的操作。然而如果我们考虑用尺子测量的方差,是不是也需要考虑对齐这个操作的方差呢。

  • mug

    為什麼 (σS2 + σD2) / 4 等于 (σ2 + σ2) / 4?

  • www

    @mug
    S是一次测量的结果,D也是,题目在一开始就说了这个测量工具每次测量结果的方差是 σ2,所以σS2就是σ2, σD2同理。

  • xycben

    总觉得不对。如果把他想象成一根棍子,第一次测的时候方差为σ第二次为σ/2?方差跟误差不是一回事吧。必须要有无穷多次测量才有方差吧?

  • 小菜一枚

    每次测量结果的方差是 σ2 ? 难道跟被测量物的长度无关?

  • sadr

    这样理解?同样是测量两次,分别测量一次结果与每个长度各相关一次,测量长度的和差则各相关两次,所以精度提高?
    这里的σ2 是先验的,往往与人的直观理解相左。关于统计学与先验的话题很容易变成与0.9循环=1类似的结果(参考羊与车问题)。即使这里是数学Geek网站,怕也不能免俗。

  • star

    @地壳
    我也觉得。每次方差一样?侧得太准了吧

  • Mathsoros

    nice post

  • pigking

    S和D是独立的吗?

  • 凡星有梦

    在直观上理解,组合测量可以隐藏一个方差。

  • 拉拉队长

    如果要考虑误差,那棍子表面与轴线是否平行?两根棍子头尾相连,如何保证在一条直线上?

  • 苏玲儿

    求问LL大神一个积分问题: ∫cos((2^m)*x)d(cotx) 求解,谢谢啊

  • walden

    为什么字体都比较小呢

  • james

    联想到评论两种方案的异同点总比分别两种方案直观

  • 森蓝

    过于理论,实操性不强。

  • Lynol

    有意思…我也想看

  • zy498420

    这本质是增大信号功率以增强信噪比来抗干扰的一种办法。在这里,付出的代价就是长度测量工具的量程(最大测量范围)必须增大为2个木棒的长度和(实际测量中,测量工具量程越大,相对误差一定会更大的,精密仪器不会有很大的量程的)。或者说用方波信号传输数字信号,1V电压表示1,-1V电压表示0,传2bit“10”,每个周期内各1w功率,总共消耗2W能量;而如果传一个2V,传一个0V(就是楼主说的a-b 和 a+b),总共会消耗4W能量,接收端也可以用楼主的方法进行数据恢复,并且提高了抗干扰(尤其是共模噪声)的能力。当然同等功率下最佳的办法(抗高斯热噪声)还是传正负根号2V的电压最好。

  • zy498420

    这本质是增大信号功率以增强信噪比来抗干扰的一种办法。在这里,付出的代价就是长度测量工具的量程(最大测量范围)必须增大为2个木棒的长度和(实际测量中,测量工具量程越大,相对误差一定会更大的,精密仪器不会有很大的量程的)。或者说用方波信号传输数字信号,1V电压表示1,-1V电压表示0,传2bit“10”,每个周期内各1w功率,总共消耗2W能量;而如果传一个2V,传一个0V(就是楼主说的a-b 和 a+b),总共会消耗4W能量,接收端也可以用楼主的方法进行数据恢复,并且提高了抗干扰(尤其是共模噪声)的能力。

  • {x|x∉x}

    “利用上面这种分析误差的模型,可以很好地解释为什么“多次测量求平均值”可以减小误差:在给 n 次测量结果之和除以 n 的时候,测量结果的方差也降为了原来的 1 / n 。”
    这个跟多次测量求平均值还不一样。假如你只有那一个东西,那么n次测量求平均值只能降到1/n。但是如果你有n个一样的东西,你把它们全接一起,那一次测量然后除n,方差就降到1/n²!所以关键不在多次测量上,关键在于连接的时候接口那个地方本来该有的不确定信息被抹除了,两个本来没关系的东西变成了一个整体。如果和差测量的时候允许两者基准的地方有“差点没对齐”的误差,正如用尺子测量时会有误差的话,那么这个方差就不会降低了……

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