一个无理数的无理数次方是否有可能是一个有理数?这是一个非常经典的老问题了。答案是肯定的,证明方法非常巧妙:考虑根号 2 的根号 2 次方。如果这个数是有理数,问题就已经解决了。如果这个数是无理数,那么就有:
我们同样会得到一个无理数的无理数次方是有理数的例子。
这是一个典型的非构造性证明的例子:我们证明了无理数的无理数次方有可能等于有理数,但却并没有给出一个确凿的例子。毕竟我们也不知道,真实情况究竟是上述推理中的哪一种。那么,真实情况究竟是上述推理中的哪一种呢? Gelfond-Schneider 定理告诉我们,假设 α 和 β 都是代数数,如果 α 不等于 0 和 1 ,并且 β 不是有理数,那么 α 的 β 次方一定是超越数。根据这一定理我们可以立即看出,根号 2 的根号 2 次方真的是一个无理数,实际情况应该是上述推理中的后者。
那么,是否存在一个无理数 a ,使得 a 的 a 次方是有理数呢?最近, Stan Dolan 证明了这样一个结论:事实上,几乎所有 (1, ∞) 里的有理数都是某个无理数 a 的 a 次方。
注意到当 x 大于 1 时,函数 f(x) = xx 是连续单调递增的,因而对于所有 (1, ∞) 里的有理数 r ,一定存在唯一的 a ,使得 aa = r 。不妨假设 a 是一个有理数,它的最简分数形式是 n / m 。如果 m = 1 ,那么我们会有平凡解 nn = r 。下面我们证明, m 是不可能大于 1 的,否则会产生矛盾。
假设有理数 r 的最简分数形式是 c / b ,于是我们有:
(n / m)n / m = c / b
或者说:
nn · bm = mn · cm
注意到, mn 是 nn · bm 的约数。然而, m 和 n 是互质的, mn 与 nn 没有公共因子,因而 mn 一定是 bm 的约数。同理, bm 是 mn · cm 的约数,但由于 b 和 c 是互质的,因此 bm 一定是 mn 的约数。 mn 和 bm 怎么可能互为对方的约数呢?只有一种可能,就是 mn 等于 bm 。
既然 mn = bm ,说明 m 和 b 肯定有大于 1 的公因数。假设 p 是 m 和 b 的某个公共质因数。我们把 m 和 b 中的所有质因数 p 都提出来,将它们写成 m = pi · k 和 b = pj · l ,其中 k 和 l 都不再含有质因数 p 。于是, mn = bm 就可以重新写为:
pi·n · kn = pj·m · lm
既然 mn 是等于 bm 的,它们一定含有相同数量的质因数 p ,因而 i·n = j·m ,可知 m 是 i·n 的约数。但是 m 和 n 是互质的,因此 m 一定是 i 的约数。最后,注意到 pi 是 m 的约数,从而也就是 i 的约数。于是矛盾产生了:由于 p ≥ 2 ,因此 pi 一定严格地大于 i ,不可能是它的约数。
因此,对于所有大于 1 的有理数,除非它恰好等于某个整数 n 的 n 次方,否则它都将是某个无理数 a 的 a 次方。
来源:http://www.mathteacherctk.com/blog/2012/04/a-representation-of-rational-numbers/
前排膜拜
啊~前排 这两天学数论晕死。。。
讲的很清楚
很好的证明…
trivial
膜拜而来
前排
证明:所有大于1的有理数都是无理数的无理数次方
1. n = x^y 有不可数个解
2. n = x^y 去掉所有x为有理数的解,再去掉所有y为有理数的解,必然有剩下的解,因为有理数是可数的
3. 所以 n = x^y 必然存在x,y都是无理数的解
(n/m)^(n/m)是无理数这件事不用搞得这么复杂吧
@liushuoshu: 对呀,假设(m/n)^m是完全n次方,因为(m,n)=1,根据唯一分解定理,n是完全n次方,这仅当n=1时成立。
标题不准确——经典证明:几乎所有大于1的有理数都是无理数a的a次方
有意思。。。
楼主更新速度好快
终于更新了!!!!
刚好学完非构造型的证明,感觉这个方法很经典啊.
这个定理中的a一定是超越数吧
我想问的是,(sqrt(2))^(sqrt(2))^(sqrt(2))^(sqrt(2))^(sqrt(2))^(sqrt(2))^(sqrt(2))^…=2,是对的,那x^x^x^x^…=4时,求x=sqrt(2)对吗?也即是x^4=4的求解。
请教一个问题:Gelfond-Schneider 定理告诉我们,假设 α 和 β 都是代数数,如果 α 不等于 0 和 1 ,并且 β 不是有理数,那么 α 的 β 次方一定是超越数。那么a^a中,既然a是无理数,为什么a^a不是超越数?
@Vic a是超越数?
设m/n 为有理数 取对数ln(m/n)=x ln(m)-ln(n)=x x为无理数 e也为无理数 e^x有理数 ,这样证明不知可否
@Vic G-S 定理只是针对a是代数数情形; 而这篇文章不是说a^a一定是有理数,而是说几乎所有有理数是某个a^a, 而由G-S定理我们也知道这种a一定不是代数数。
G-S得a是有理数或超越数。 @Zealot 没有证明不存在有理解,只证了存在无理解
pi?
pi?这个也能表示成无理数的无理数次方?
标题不准确——经典证明:几乎所有大于1的有理数都是无理数a的a次方
圣诞了,留个纪念。有个类似的比较有意思的题(一道60年代美国高中数学题):http://bbs.shuxue6.com/forum.php?mod=viewthread&tid=755&extra=page%3D1
メンズ水着 楽天
你好,老师。
我想问你一个问题。关于“代数数”的定义(见初等数论)中,x^n中n的数值是有限的吗?还是无限的。我感觉好像是有限的。那如果n是无限值呢?或者这么说,n是无限值,那么在那个定义中可不可以认为这样的根就为超越数。这个如何证明呢?
地幔在无聊状态吗。。。。。。。。。。。。。。。。
底数和指数必须相同
请教e^e算出来是不是一个有理数?如果是,那这个数是什么?
所以就是说: 有的数大家知道它是有理数,但是无法指出它是哪个无理数?
pow(sqrt(2), sqrt(2))对应的有理数是谁啊?
啊错了,它应该是超越数。这个超越数的sqrt(2)次幂是个有理数
已经快晕了,所以可以更具体下:
1. 无理数分为两种:a. 代数数;b. 超越数
2. 大于1的有理数可以表示为无理数的无理数幂;但是反过来不一定正确。
进一步,设有理数 r = a^a. 则 a 只能是超越数,否则根据Gelfond-Schneider 定理,r 将会是超越数。所以 a 只能是超越数。
即大于 1 的几乎所有有理数都是超越数的超越数次幂
a. 代数数 应改为代数无理数。
https://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30002.3-5.shtml
Unbelievable.
12v抽油泵什么品牌好
楼主你存在和任意写反了。r和a要对调