物理方法解决数学问题(四):Fermat-Torricelli问题

    据说,17世纪时,大数学家Fermat曾向意大利的物理学家和数学家Torricelli提出过这样一个问题:在已知锐角三角形ABC内求一点P,使得PA+PB+PC最小。Torricelli证明了,这个点是存在的,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°。他还指出,若分别以AB、BC、AC为边向外作等边三角形ABC'、BCA'、ACB',则AA'、BB'、CC'三线共点,交点即为所求的点P。这个点后来被称为Fermat点,通常记作F。这个定理有很多种证明,这里我们先介绍一种比较简单的证明方法。
  
    考虑三角形内任一点P,将△ABP绕点B旋转60°得到△C'BP'。显然,△BPP'是等边三角形,PB=P'P;同时,PA也转移到了C'P',于是PA+PB+PC=C'P'+P'P+PC,P点到三个顶点的距离和转换为了一条从C'到C的折线段。注意C'的位置是和P无关的(C'AB始终成等边三角形),因此折线段C'P'PC的长度的最小值即为CC'的长度。这个最小值是可以达到的,即P和P'可以恰好落在CC'上。如果点P在CC'上且∠APB=120°,则旋转之后∠C'P'B也等于120°,正好与∠BP'P组成一个平角,于是C'、P'、P、C四个点都在一条直线上,C'P'+P'P+PC达到最小。这个点就是我们要求的Fermat点F。注意这个点F满足以下两条性质:在等边三角形顶点C'与原三角形顶点C的连线上,对AB张角为120°。由对称性,∠BFC和∠CFA也都等于120°,且点F同时也在BB'和CC'上。这也说明了为什么AA'、BB'、CC'三线共点。

  
    这个题目真正有趣的地方在于,它有一个非常简单的物理解法。我们可以用Fermat原理来说明,为什么Fermat点F满足∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。假设我们固定AF的长度,那么F点的轨迹是一个以A为圆心的圆。当BF+FC达到最小时,路径B->F->C必然符合光的传播性质,反射点F满足入射角等于反射角,也就是说AF的延长线(即法线)平分∠BFC。同样地,固定BF的长度,则要想AF+FC最小,BF的延长线必须平分∠AFC。类似地,还有CF的延长线平分∠AFB。只有上述三个角平分关系同时成立时,AF+BF+CF才能达到最小,否则我总可以调整它们间的角度使其变得更优。再加上对顶角相等,我们立即看到,右图中所有这6个角全都等于60°。这样,我们就得到了先前证明的结论:存在点F使得它到A、B、C的距离和最小,此时∠AFB=∠BFC=∠CFA=120°。

    上面的这个问题有一个扩展,叫做广义Fermat点问题。考虑平面上n个点A1, A2, …, An,每个点都有一个权值W1, W2, …, Wn,广义Fermat点是这样的一个点P,它使得ΣPAi*Wi达到最小。广义Fermat点更具一般性,有非常高的实用价值。比如,城区里有n个住宅区,第i个住宅区里有Wi个人,问邮局设在哪里可以使所有人到邮局的总路程最短。目前,广义Fermat点问题还没有一般结论,但它可以通过力学模拟法完美解决。我们可以用力学模拟法说明,这个广义Fermat点是唯一存在的。事实上,我们可以建立力学模型找出这个点来。
  
    取一块木板,在木板上标出n个点所在的位置,各钻一个小孔。再找n条同样长的细绳,把所有绳子的其中一头扎结于一点;第i根绳子从木板上点Ai处的小孔穿过去,绳子另一头系上一个重Wi的砝码。所有准备工作就绪后,把木板水平悬在空中,此力学系统平衡后绳结所在的位置即为所求的点P。这是为什么呢?
    道理很简单。重物悬挂的位置有尽可能往低处走的趋向,此时重力势能转化为动能;当整个系统静止时,势能应该达到最小。假如我们用Hi来表示静止时第i个砝码离地面的距离,那么此时ΣHi*Wi达到最小。由于木板与地板之间的距离一定,因此ΣLi*Wi达到最大。又由于绳长为定值,所以ΣPAi*Wi达到最小。

Matrix67原创
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25 条评论

  • 涌泉

    请问你这里的插图是用什么软件制作的?

    我很少作几何插图,要是让我作,估计凭直觉就直接用AutoCAD了。。。。。汗

  • 涌泉

    翻了一下旧帖,原来博主曾经回答过了。。。。。。

    “几何画板,mathematica,paint dot net混用”

  • dahe_1984

    好久没来看了!

    没更新多少哦!

  • attention

    这就是现在人工智能发展的第二大方向,揭示人类灵感原理。
    发现楼主个性和选择方式和我颇相似。但我没你长得帅。。。。。郁闷中

  • 叫兽

    宇宙就是个精美的计算机!

  • Eichhoernchen

    广义Fermat点问题还没有一般结论?但这不就是计算重心吗?We do not even need Calculus in this situation.

  • Eichhoernchen

    广义Fermat点问题还没有一般结论?但这不就是计算重心吗?We do not even need Calculus in this situation. Wir brauchen das Calculus nicht.

  • qq125468436

    广义费马点已经有一般结论了。杨学枝的一篇论文把广义费马点问题解决了

  • myxiaoniao

    这个力学模型貌似有问题,不一定能达到稳定状态,最简单的情况,如果是两个点,点的质量(权重)不同,这永远都无法平衡啊

  • 幻风

    回十楼,不平衡就对了,一家3人另一家2人,那按那个算法邮局就应该建在3人的家里边……这样是最小的。同样,如果有一家人特别多,多到大于其他家的总人数,那就会建在那家的家里……

  • cervelo jersey

    宇宙就是个精美的计算机!

  • oceanhnbc

    采用费马原理的光学反射定律证明费马点的方法,存在一个逻辑上的问题:费马点要求的是F到A B C三点距离之和取最短,但光学方法给出的限制是AF+FB最短,同时BF+FC最短,这两个命题不等价吧?

    • Mike Dog

      仔细看证明, 他是先固定了三条线的一边, 证明了另外两条线的关系, 再重复证明, 得出了三组必要不充分条件. 又因为这三组条件的交集是唯一的, 所以自动就变成了充分条件…

  • 哑书

    首先锐角三角形的条件可以减弱为最大内角小于120°, 只要最大内角小于120°点F就仍然在ABC内
    推广到任意三角形也很简单:
    如果有一个内角等于120°, 点F正好落在120°顶点上
    如果有一个内角大于120°, 点F在ABC外
    后两种情况点F仍然满足对三边张角都为120°且为到三边距离和最小的点

    我想出来的用Ceva定理证明三线共点的方法:
    三边向外作正三角形ABC’, BCA’, CAB’
    设AA’, BB’, CC’ 与三边交点分别为 X, Y, Z
    易证三组全等三角形:
    ABA’, C’BC
    BCB’, A’CA
    CAC’, B’AB

    BX/XC = (ABA’)/(A’CA) (括号表示三角形面积)
    CY/YA = (BCB’)/(B’AB)
    AZ/ZB = (CAC’)/(C’BC)

    全等的三角形当然面积相等, 三式相乘得:
    BX/XC * CY/YA * AZ/ZB = 1

  • rmy

    广义费马点的用力学模拟解法解,解不一定唯一吧,就是说可能有局部最大值吧

  • Asntonstian

    Hey, that post leaves me feeling foslioh. Kudos to you!

  • www.12367.com

    假如我不能,我一定要;假如我一定要,我就一定能。

  • AAA

    楼主,带走了哈

  • Hineven

    原来这就是吊打GTY。。

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