关于123456789:一个难以解释的数学巧合

    将123456789翻一倍,你会发现结果仍然是这9个数字的一个排列:

123456789 x 2 = 246913578

    我们再次将246913578翻倍,发现:

246913578 x 2 = 493827156

    结果依旧使用了每个数字各一次。操,没完了吗?我们继续翻倍:

493827156 x 2 = 987654312

    牛B了,一个很有特点的数987654312,显然每个数字又只用了一次。
    你或许会想,这下到头了吧,再翻倍就成10位数了。不过,请看:

987654312 x 2 = 1975308624

    又使用了每个数字各一次,只不过这一次加上了数字0。再来?

1975308624 x 2 = 3950617248

    恐怖了,又是每个数字各出现一次。
    出现了这么多巧合之后我们开始怀疑,这并不是什么巧合,一定有什么简单的方法可以解释这种现象的。
    但是,下面的事实让这个问题更加复杂了。到了第6次后,虽然仍然是10位数,但偏偏就在这时发生了一次例外:

3950617248 x 2 = 7901234496 <– 第一次出现例外

    于是,我们不得不相信,前面这一切很可能只是一个巧合,它背后并没有什么简单的原理。
    即使有办法解释这种巧合,解释方法可能也很麻烦。寻找一个漂亮的解释是一个有趣的课题。

20 条评论

  • axgle

    有趣啊

  • Ai.Freedom

    1 x 8 + 1= 9
    12 x 8 + 2= 98
    123 x 8 + 3= 987
    1234 x 8 + 4= 9876
    12345 x 8 + 5= 98765
    123456 x 8 + 6= 987654
    1234567 x 8 + 7= 9876543
    12345678 x 8 + 8= 98765432
    123456789 x 8 + 9= 987654321

    1 x 9 + 2= 11
    12 x 9 + 3= 111
    123 x 9 + 4= 1111
    1234 x 9 + 5= 11111
    12345 x 9 + 6= 111111
    123456 x 9 + 7= 1111111
    1234567 x 9 + 8= 11111111
    12345678 x 9 + 9= 111111111
    123456789 x 9 +10= 1111111111

    9 x 9 + 7= 88
    98 x 9 + 6= 888
    987 x 9 + 5= 8888
    9876 x 9 + 4= 88888
    98765 x 9 + 3= 888888
    987654 x 9 + 2= 8888888
    9876543 x 9 + 1= 88888888
    98765432 x 9 + 0= 888888888

    1 x 1= 1
    11 x 11= 121
    111 x 111= 12321
    1111 x 1111= 1234321
    11111 x 11111= 123454321
    111111 x 111111= 12345654321
    1111111 x 1111111= 1234567654321
    11111111 x 11111111= 123456787654321
    111111111 x 111111111= 12345678987654321

  • friend

    I tried similar experiments using other bases like 4 or 6, and I found out a similar result.

    I believe that this is not a coincidence, yet I also believe that it depends on how you define a coincidence in such a vague situation.

    回复:其它进制……嗯,不错,很科学

  • 汀上白沙

    142857×2=285714
    142857×3=428571
    142857×4=571428
    142857×5=714285
    142857×6=857142

    1/7=0.142857142857142857

  • Jessy

    同问,请教M67牛,142857那个有数学上的解释么?

    回复:1/7嘛

  • dailiangren

    小时候练习打算盘加法后就是这样的结果吧,
    一上一,二上二,三下五去二,,,,[smile]

  • OrangeCLK

    我试了八进制和十六进制,也有类似现象。其中八进制的效果尤为奇特,建议M67牛试试。
    绝对不是巧合!

  • cosechy

    首先这些数都会被9整除,也就是说数字和也被9整除,这样的情况应该也不是很多了,找个解释应该不是特别困难
    不过1975308624 x 2 = 3950617248这个应该比较巧合,也是因为满足被9整除的情况不是很多,所以也应该比较容易出现
    其他进制也类似,8的那个应该是由于同时满足8-1=7(就是数和数字和同余的那个基数)是个质数还有8是2的幂的缘故
    另外经测试11进制不符合这个条件,不过改成*3就也会有同样的效果了,估计被进制减一整除的系数都不符合这个性质

  • 豆豆

    这个就是算盘里面的三盘清嘛

  • lxs

    123456789中的任意4个数乘以一个数等于另外4个数(得数个位、十位数可以重复但必须只是4个数),所有数字不能重复,请问谁能解?

  • pjx_31

    123456789 * K
    K的各位之和小于10 且 K是1位数或2位数 且 K不是3的倍数
    得到的乘积就是0~9的一个全排列

  • 仙雾

    让我们看看2进制到10进制的表现吧!
    2
    1
    10
    3
    12
    101
    202
    4
    123
    312
    1230
    3120
    5
    1234
    3023
    11101
    22202
    44404
    6
    12345
    25134
    54312
    153024
    350052
    7
    123456
    250245
    530523
    1361346
    3053025
    6136053
    8
    1234567
    2471356
    5162734
    12345670
    24713560
    51627340
    9
    12345678
    24702467
    50505045
    111111101
    222222202
    444444404
    888888808
    10
    123456789
    246913578
    493827156
    987654312
    1975308624
    3950617248
    7901234496

  • iceberg

    楼上的似乎暗示这样一件事情:进制为偶数的时候会出现文中所提示的状况。

  • wllj

    看来各位都是专家呵~~同意14楼的意见!进制为偶数的时候会出现文中所提示的状况!我佩服matrix67,各方面的才能都很强,写的文章让我耳目一新!看到你的BLOG,我有相见恨晚的感觉!哈哈哈

  • 小明

    在1到81之内,个位和十位相加大于或等于10的数以及是3的倍数的数乘以123456789都不会得到每个数字只出现一次的结果。比如19,1+9=10,19X123456789=2345678991;再比如6,6X123456789=740740734。因为82及以后的数字乘以123456789已经是11位数,所以不可能再出现每个数字只出现一次的结果。

  • 小明

    LZ你只挑选一部分的数据,乃是一叶障目,不见泰山。

  • 阿涛

    我晕,都是高手啊,我除了10进制的能看懂外表,其他进制的连表面都看不懂,俗话说:内行看门道,外行看热闹,非十进制的数字我连热闹都没法看了~~~差距啊~~~惨不忍睹啊~~~痛苦啊~~~悲哀啊~~~继续努力啊~~~阿米托佛

  • 晓而不羽

    这些东西好像叫循环数。
    似乎对于质数p,有1/p的循环节长度为p-1时,整个循环节就形成了一个循环数(包括前面的0),如1/7、1/17、1/19的循环节。
    对于1/13,有076923和153846两组数,均能在一定程度上构成循环。貌似对于1/p的循环节(p为质数)都有类似的结论(除了1/5)。

  • cervelo jersey

    各位都是高手啊,佩服佩服。

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