超级游戏悖论:千万别说“让我们来玩一个游戏”

    今天听说了一个非常有趣的思想实验——超级游戏( Hypergame ,暂且让我翻译成“超级游戏”吧)。首先,如果一个游戏能在有限步之内分出胜负,我们就把它叫做“有限游戏”。注意,一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。虽然每一步的决策无穷多,但只要能在有限步内结束游戏,我们都把它叫做有限游戏。举个例子,玩家 1 和玩家 2 游戏,玩家 1 说出任意一个正整数 N ,然后立即获胜。这个游戏的决策有无穷多,但它显然是有限游戏。另外,一个有限游戏的总步数甚至也可以没有上限。比如说,玩家 1 说出任意一个正整数 N ,然后玩家 2 说 N – 1 ,玩家 1 说 N – 2 ,以此类推,两人轮流倒数,谁数到 0 谁就获胜。结束这个游戏所需要的步数可以是任意多,但只要是有限的,我们都把它叫做有限游戏。

    下面,我们来看这个叫做“超级游戏”的游戏。在超级游戏中,首先,玩家 1 指定一个有限游戏,然后玩家 2 作为这个有限游戏的先行者与玩家 1 对弈。谁赢得了这个有限游戏,也就是这局超级游戏的获胜者。

    这个异想天开的游戏可以说是一下子打开了我们的思路,很多再正常不过的事情此时都变得有争议了。比如说,超级游戏的决策树是什么样子的?超级游戏算是组合游戏吗?甚至是问,超级游戏本身是一个有限游戏吗?


    有人或许会说,超级游戏当然算有限游戏,虽然玩家 1 的决策(挑选一个有限游戏)有无穷多种,但是一旦游戏一确定,第一步过去了,整个游戏的有限性就很显然了。且慢。由于超级游戏本身也是一个有限游戏,因此玩家 1 有一个很奇异的合法决策:“让我们来玩⋯⋯来玩超级游戏吧!”按照规则,此时就应该由玩家 2 在玩家 1 提出的这个游戏中扮演先行者。而这个游戏本身又是一个超级游戏,因此玩家 2 也需要提出一个有限游戏来玩。当然,玩家 2 也可以说“那⋯⋯我们就来玩超级游戏吧”,把球又扔回给玩家 1 。如果每个人都说“我们来玩超级游戏吧”,显然这个游戏就永远结束不了了。因此,超级游戏并不是一个有限游戏。

    是吗?你会发现此时我们陷入了理发师悖论的困境。如果假设超级游戏不是一个有限游戏,那么玩家 1 提出玩超级游戏就不是一个合法的决策了,从而超级游戏就变得有限了。因此,超级游戏既不是有限游戏,又算是有限游戏,悖论由此产生。

    逻辑的世界中满地都是地雷,想不到一句“让我们来玩一个游戏吧”也能带来悖论。跟一个逻辑学家或是一台计算机对话时一定要小心,千万别说一些自我指涉的话来。不过,这还是防不胜防,殊不知一句“让我们来玩一个游戏吧”也能把它们搞崩溃。

42 条评论

  • 小怪兽

    沙发,67大牛新年好!

  • lolicon

    问题在于“游戏”没有一个明确的定义。实际上“超级游戏”根本不是一个“游戏” 。。。。

  • layla

    为什么让我想到了递推……这个超级游戏的逻辑结构很奇特啊
    啊,抢个地毯先

  • dofine

    让我们来要一个游戏吧:祝楼上楼下的大牛们新年快乐!

  • dofine

    让我们来送一个祝福吧:祝楼上楼下的大牛们新年快乐!

  • HTwood

    来得晚了什么都没了

  • biohu

    哈哈,笑翻了

  • fwjmath

    即使不允许自指,“超级游戏”也不是有限的。考虑它的决策树,是由所有高度有限的子树拼成的,然而这颗决策树本身并非高度有限,也就是说它本身不是有限的。这个其实就是有限序数对求并集不是封闭的,虽然1,2,3,4,…这个数列每一个数都是有限的,但是它们的极限omega是无限。

  • lolicon

    To 10楼:文中所说的“有限游戏”与决策树的高度有限是两回事。“有限游戏”的决策树高度可以是无限的,参考文中的例子。

  • ppwwyyxxc

    任意大 和 无限 是两码事。。

  • 冷雨

    這個例子跟集合論悖論應該是同類的
    我們可能要規定遊戲本身有不同的集合,只有處於n集合超級遊戲的,才能指定n-1集合的超級遊戲之類的公理…

  • fwjmath

    @11楼 的确,但这样的话,“超级游戏”的构造是非法的,比如说违反正规公理。

  • honglet

    Is it not the same as the Halting problem? http://en.wikipedia.org/wiki/Halting_problem

  • 飞翔的加菲猫

    我觉得文中观点有漏洞。
    超级游戏的定义,如文中所说“在超级游戏中,首先,玩家 1 指定一个有限游戏,然后玩家 2 作为这个有限游戏的先行者与玩家 1 对弈。……”
    那么如果超级游戏是一个无限游戏,那么,“让我们玩超级游戏吧”不能算作超级游戏的一部分,因为你提出一个无限游戏,不符合定义中“玩家 1 指定一个有限游戏”的说法。所以,还是觉得它是有限游戏。

  • trif

    这定义有问题哇……那个说整数就胜利的游戏……他们俩可以一直不说整数啊……

  • Exiscetti

    @16楼 这点并不是漏洞,结尾已经说了,这是一个悖论。也就是说如果假设超级游戏不是“有限游戏”,那么“玩家一”指定的游戏就必须是一个常规的“有限游戏”,那么可以推出超级游戏必然是“有限游戏”;如果假设超级游戏是“有限游戏”,那么“玩家一”可以指定“超级游戏”,那么超级游戏又可能成为“非有限游戏”。

  • 风撼斜阳

    @飞翔的加菲猫 你的观点不是和文中一样吗?如果假设超级游戏是无限游戏,会产生矛盾啊

  • dan

    这种悖论都是可以解决吗?像解决无穷大悖论提出阿列夫数之类的。。。

  • dan

    @14楼 对,我想到阿列夫数了。。。

  • seepath

    奇怪啊。。证明它不是有限游戏的证明很好好理解。。但是怎么证明它不是无限游戏呢?
    你可以认为第一个人不能说:“让我们来玩一个超级游戏。”。。但是有没有其它的情况也会导致无限呢?

  • Toybus

    @22楼 如果它是无限游戏就矛盾了啊 既然不能说“让我们来玩一个超级游戏。” 那么玩家1就必须指定一个有限游戏给玩家2作为先手来玩 则整个超级游戏就变成有限游戏了

  •  

    我想到了递归……

  • seepath

    @23楼
    不对呀
    我的问题是有没有其它的可能性导致提出一个有限游戏,然后此游戏无限?

  • morrowind

    “首先,如果一个游戏能在有限步之内分出胜负,我们就把它叫做“有限游戏”。注意,一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。虽然每一步的决策无穷多,但只要能在有限步内结束游戏,我们都把它叫做有限游戏。”
    ——-这个定义不对吧?按照这个定义,超级游戏显然是“能”在有限步之内分出胜负的,只要某一步中,某个玩家指定了任意一个非超级游戏的有限游戏即可。
    至少这么定义还完备些:如果一个游戏有可能无法在有限步内分出胜负,我们叫它非有限游戏,否则,叫有限游戏。

  • sillykid

    太犀利了!

  • intijk

    其实问题的根源在于集合论, 我们默认将所有游戏限定在了集合{有限游戏,非有限游戏}, 并且认为所有游戏都属于这个集合中(问题就在这里出现了). 但是题目中的这个游戏在集合论中算是非良定的,所以悖论出现了.

  • NPBool

    感觉和图灵停机有些类似

  • error 404

    啧啧,集合可以用于解决许多精确的问题,其本身却是模糊的,不可自指的,不完备的,无法证明的

  • nutnutwin

    集合论不懂。
    不过我觉得理发师悖论和这个问题一样,
    都是因为在推理的时候不考虑对象的时间属性造成的。
    一个对象,在推理的过程中,是可以随时被赋值的,
    就如同编程里的变量,同样一个x,逻辑运算本身就在改变x的值。

  • nutnutwin

    举个例子
    a:
    if x=2
    then x=3
    if x=3
    then x=2
    goto a:
    请问x究竟是2还是3,
    我认为至少计算机在运算到x=2的时候,x就是2,
    运算到x=3的时候,x是3
    由此可知,当你说出“我们来玩个超级游戏”,这句话的时候,
    超级游戏从一个有限游戏变成了一个无限游戏,但这并不能否认在你说这句
    话之前超级游戏是一个有限游戏,也不能因此否认你说这句话的合法性。

    逻辑运算本来就是一个动态的过程,运算中的对象可以看成是该对象值在时间轴上所有变化的一个集合,在不同的时间序列中,对象的值在发生改变。而绝不是一个静态的过程。

  • nutnutwin

    我又联想到那个薛定谔的猫的故事。。。
    这个故事是否是物理上对我这个理论的一个类似的支持。
    比如理发师悖论,
    当理发师还没下刀之前,他属于不给自己理发的人,因此他应该给自己理发;只有当他下刀这个动作之后,他才变成了一个“给自己理发的人”。这两个判断并不矛盾,你也不能说他之前的决定是错的。人的行动可以改变事物的属性,而以模拟行为为基础的推理活动当然也不能排除这个例外。
    当你观察一个实在物体的时候,这样物体因为你的观察而改变;
    当你思考一个抽象概念的时候,这个概念同样因为你的思考而改变。

  • dazhuzai

    2楼一语道破啊。就像集合的“集合”不是集合一样。。

  • Baisk

    67大牛,这个确实是一个悖论。

  • orbea jersey

    好多东西可以玩呀

  • Ironcircle

    重新看回这个帖子 觉得其实这个悖论产生原因是没有定义合适的范围一样
    (这个游戏不能包括自己)
    不然你不能说“玩家 1 和玩家 2 游戏,玩家 1 说出任意一个正整数 N ,然后立即获胜。”是一个有限游戏,因为这导致了定义不清。
    如果把定义域弄清了 那么当然悖论就不存在了

  • cervelo

    如果一个游戏能在有限步之内分出胜负,我们就把它叫做“有限游戏”。注意,一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏

  • ATMxsp01

    “如果一个游戏能在有限步之内分出胜负,我们就把它叫做“有限游戏”。注意,一个有无穷多种状态的游戏也可以是有限游戏。”
    根据这个定义,超级游戏很明显是有限游戏,那个总是选择玩超级游戏的做法并没有问题,这很好理解:剪刀石头布中两个人完全可以总是出石头,但剪刀石头布当然是有限游戏。

发表评论