数学之美不但体现在漂亮的结论和精妙的证明上，那些尚未解决的数学问题也有让人神魂颠倒的魅力。和 Goldbach 猜想、 Riemann 假设不同，有些悬而未解的问题趣味性很强，“数学性”非常弱，乍看上去并没有触及深刻的数学理论，似乎是一道可以被瞬间秒杀的数学趣题，让数学爱好者们“不找到一个巧解就不爽”；但令人称奇的是，它们的困难程度却不亚于那些著名的数学猜想，这或许比各个领域中艰深的数学难题更折磨人吧。
作为一本数学趣题集， Mathematical Puzzles 一书中竟把仍未解决的数学趣题单独列为一章，可见这些问题有多么令人着迷。我从这一章里挑选了一些问题，在这里和大家分享一下。这本书是 04 年出版的，书里提到的一些“最新进展”其实已经不是最新的了；不过我也没有仔细考察每个问题当前的进展，因此本文的信息并不保证是 100% 准确的，在此向读者们表示歉意。
这篇文章很长，大家不妨用自己喜欢的方式马克一下，一天读一点。
天使和恶魔
天使和恶魔在一个无限大的棋盘上玩游戏。每一次，恶魔可以挖掉棋盘上的任意一个格子，天使则可以在棋盘上飞行 1000 步之后落地；如果天使落在了一个被挖掉的格子上，天使就输了。
问题：恶魔能否困住天使（在天使周围挖一圈厚度 1000 的坑）？
这是 Conway 大牛的又一个经典谜题。经常阅读这个 Blog 的人会发现， Conway 大牛的出镜率极高。不过这一次，Conway 真的是伤透了不少数学家的脑筋。作为一个很“正常”的组合游戏，天使与恶魔的问题竟然一直没能得到解决。目前已经有的结论是，如果天使每次只能移动一步，恶魔一定能获胜。不过，天使只要能每次飞两步，似乎就已经很无敌了。当然，魔鬼的优势也不小——它不用担心自己“走错”，每多挖一个坑对于它来说都是有利的。
话说回来， Conway 本人似乎仍然相信天使能赢——他悬赏了 1000 美元征求恶魔必胜的证明，但只悬赏了 100 美元征求天使必胜的证明。一些更详细的讨论可以见这里。
Update: 网友 yllan 评论到，这个问题已经被解开了，n ≥ 2 时天使贏。 详见 这里。
3x + 1 问题
从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。序列是否最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环？
这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从 3x + 1 问题的各种别名看出来： 3x + 1 问题又叫 Collatz 猜想、 Syracuse 问题、 Kakutani 问题、 Hasse 算法、 Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做 3x + 1 问题算了。
3x + 1 问题不是一般的困难。这里举一个例子来说明数列收敛有多么没规律。从 26 开始算起， 10 步就掉入了“421 陷阱”：
26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
但是，从 27 开始算起，数字会一路飙升到几千多，你很可能会一度认为它脱离了“421 陷阱”；但是，经过上百步运算后，它还是跌了回来：
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
随机 01 串的最长公共子序列
如果从数字序列 A 中删除一些数字就能得到数字序列 B ，我们就说 B 是 A 的子序列。例如， 110 是 010010 的子序列，但不是 001011 的子序列。两个序列的“公共子序列”有很多，其中最长的那个就叫做“最长公共子序列”。
随机产生两个长度为 n 的 01 序列，其中数字 1 出现的概率是 p ，数字 0 出现的概率是 1 – p 。用 Cp(n) 来表示它们的最长公共子序列的长度，用 Cp 来表示 Cp(n) / n 的极限值。
关于 Cp 的存在性，有一个非常巧妙的证明；然而，这个证明仅仅说明了 Cp 的存在性，它完全没有给计算 Cp 带来任何有用的提示。
即使是 C1/2 的值，也没人能成功算出来。 Michael Steele 猜想 C1/2 = 2/(1 + √2) ≈ 0.828427 。后来， V. Chvátal 和 D. sankoff 证明了 0.773911 < C1/2 < 0.837623 ，看上去 Michael Steele 的猜想似乎很可能是对的。 2003 年， George Lueker 证明了 0.7880 < C1/2 < 0.8263 ，推翻了 Michael Steele 的猜想。
更糟的是，“当 p 为 1/2 时 Cp 达到最小”似乎是一件很靠谱的事，但这个结论也无人能证明。
曲线的内接正方形
证明或推翻，在平面中的任意一条简单封闭曲线上，总能找到四个点，它们恰能组成一个正方形。
这样一个看上去如此基本的问题，竟然没有被解决！这个 Blog 上曾经证明过，任意凸多边形上总存在四个可以构成正方形的点；对证明方法进行改进，可以把结论扩展到凹多边形上。目前，对于充分光滑的曲线，似乎已经有了肯定的结论；但对于任意曲线来说，这仍然是一个悬而未解的问题。平面上的曲线无奇不有，说不准我们真能精心构造出一种不满足要求的怪异曲线。
环形跑道难题
有一个环形跑道，总长为 1 个单位。n 个人从跑道上的同一位置出发，沿着跑道顺时针一直跑下去。每个人的速度都是固定的，但不同人的速度不同。证明或推翻，对于每一个人，总会有一个时刻，他与其他所有人的距离都大于不小于 1/n 。
乍看上去，这个问题无异于其它各种非常巧妙的初等组合数学问题，但不可思议的是，这个问题竟然直到现在仍没解决。目前最好的结果是，当 n ≤ 6 时，结论是成立的。直觉上，对于更大的 n ，结论也应该成立，不过尚未有人证明。
排序问题加强版
有 n 个盒子，从左至右依次编号为 1, 2, …, n 。第 1 个盒子里放两个编号为 n 的小球，第 2 个盒子里放两个编号为 n – 1的小球，以此类推，第 n 个盒子里放两个编号为 1 的小球。每一次，你可以在相邻两个盒子中各取一个小球，交换它们的位置。为了把所有小球放进正确的盒子里，最少需要几次交换？
为了说明这个问题背后的陷阱，我们不妨先拿 n = 5 的情况做个例子。首先，如果每个盒子里只有一个球，问题就变成了经典的排序问题了：只能交换相邻元素，如何最快地把 5, 4, 3, 2, 1 变成 1, 2, 3, 4, 5 ？如果一个数列中前面的某个数反而比后面的某个数大，我们就说这两个数是一个“逆序对”。显然，初始情况下所有数对都是逆序对，n = 5 时逆序对共有 10 个。我们的目的就是要把这个数目减少到 0 。而交换两个相邻的数只能消除一个逆序对，因此 10 次交换是必需的。
不过，题目里面每个盒子里有两个球，那么是不是必须要交换 20 次才行呢？错！下面这种做法可以奇迹般地在 15 步之内完成排序：
55, 44, 33, 22, 11
54, 54, 33, 22, 11
54, 43, 53, 22, 11
54, 43, 32, 52, 11
54, 43, 32, 21, 51
54, 43, 21, 32, 51
54, 31, 42, 32, 51
41, 53, 42, 32, 51
41, 32, 54, 32, 51
41, 32, 42, 53, 51
41, 32, 42, 31, 55
41, 32, 21, 43, 55
41, 21, 32, 43, 55
11, 42, 32, 43, 55
11, 22, 43, 43, 55
11, 22, 33, 44, 55
第一次看上去似乎很不可思议，但细想一下还是能想明白的：同一个盒子里能够放两个数，确实多了很多新的可能。如果左边盒子里的某个数比右边某个盒子里的数大，我们就说这两个数构成一个逆序对；但如果两个不同的数在同一个盒子里，我们就把它们视作半个逆序对。现在让我们来看看，一次交换最多能消除多少个逆序对。假设某一步交换把 ab, cd 变成了 ac, bd ，最好的情况就是 bc 这个逆序对彻底消除了，同时 ac 、 bd 两个逆序对消除了一半， ab 、 cd 两个（已经消除了一半的）逆序对也消除了一半，因此一次交换最多可以消除 3 个逆序对。由于一开始每个盒子里的两个相同的数都会在中间的某个时刻分开来，最后又会合并在一起，因此我们可以把初始时两个相同的数也当作一个逆序对。这样的话，初始时每两个数都是逆序对， n 个盒子里将产生 C(2n, 2)个逆序对。自然，我们至少需要 C(2n, 2) / 3 步才能完成排序。当 n = 5 时， C(2n, 2) / 3 = 15 ，这就说明了上面给出的 n = 5 的排序方案是最优的。
这个分析太巧妙了，实在是让人拍案叫绝。就只可惜，这个下界并不是总能达到的。当 n = 6 时，上述分析得出的下界是 22 步，但计算机穷举发现没有 23 步交换是不行的。于是，这个问题又变成了一个诱人的坑，至今仍未被填上。
多面体的展开
证明或推翻，总可以把一个凸多面体沿着棱剪开，展开成一个简单的平面多边形。
这是一个看上去很“自然”的问题，或许大家在玩弄各种纸制包装盒的时候，就已经思考过这个问题了。现在，人们已经找到了不满足条件的凹多面体，也就是说存在凹多面体使得无论怎样展开它都会不可避免地得到与自身重叠的平面多边形。同时，确实也存在一些凸多面体，按照某种方式展开它后，会得到与自身重叠的平面多边形。不过，对于某个凸多面体，任何一种方法都不能把它展开到一个平面上，这听上去似乎不大可能；然而，在数学上这一点却一直没被证明。
用平面镜拼成的多边形
证明或推翻，对于任意一个内壁全是镜面的多边形，总能在里面找到一个点，使得位于这个点的光源可以照亮整个多边形内部。
这是一个非常有创意的问题，只可惜问题最早的出处已经不得而之了。问题有趣就有趣在，“多边形”这个条件是必需的：如果允许有曲线的话，我们就能构造出一个由镜面构成的平面图形（左图），里面的每个点都不能照亮整个图形。
对于多边形的情况， 1995 年 Tokarsky 给出了一个 26 边形房间（右图），把光源放在其中一个点上，它将无法照到另一个点（假设顶点处不反射光线）。因此，问题就只剩下一个了：有没有什么多边形，任意位置的光源都无法照亮整个图形？
在与之相关的领域中，还有很多很帅的未解问题，大家可以参见这份 ppt 。
Thrackle 猜想
如果一个图中，每条边都与其它所有边相交恰好一次（顶点处相接也算相交），这个图就叫做一个 thrackle 。问，是否存在边数大于顶点数的 thrackle 图？
给你一次机会，让你猜猜这个猜想是谁提出来的！没错，又是 John Conway 。这明显又是一个坑，看到这个问题谁都想试试，然后就纷纷崩溃掉。 Conway 悬赏 1000 美元征解，可见这个问题有多么不容易。目前已知的最好的结果是，一个 thrackle 的边数不会超过顶点数的两倍减 3 。
遍历所有的“中间子集”
证明或推翻，你可以通过每次添加或者删除一个元素，遍历集合 {1, 2, …, 2n + 1} 的所有大小为 n 或 n + 1 的子集。
看完上面的这一行字，我可以想象你已经有一种克制不住的冲动，拿起铅笔、草稿纸和电脑，开始寻找 n 不大时的规律。这可以说是本文的所有问题中最大的一个坑了——这个问题极具诱惑性，每个人第一次看到这个问题时都会认为存在一种对所有 n 都适用的构造解，于是众人一个接一个地往坑里跳，拦都拦不住。
没有人认为这个猜想是错误的，简单的计算机枚举显示，随着 n 的增加，遍历这些子集的方案数不但也随之增加，而且增长得非常之快。到了某个 n ，方案数突然跌到了 0 ，这明显是一件极不可能发生的事。但是，几十年过去了，却没有人能够证明它！
关于 Venn 图
画惯了三个集合的 Venn 图，很多人都会认为，四个圈画成一朵花一样的形状就是四个集合的 Venn 图了。其实这是不对的——四个圆只能产生 14 个区域，而四个集合将会交出 16 种情况。如果把四个圆圈像中间那幅图一样排列，就少了两个区域：只属于左下角的圆和右上角的圆的区域，以及只属于左上角的圆和右下角的圆的区域。
那么，是不是四个集合的 Venn 图就没法画了呢？也不是。如果你不是一个完美主义者，你可以像右图那样，把三个集合的 Venn 图扩展到四个集合；虽然看上去非常不美观，但是站在拓扑的角度看上去，只要逻辑上正确无误，谁管它画得圆不圆呢。
大家会自然而然地想到一个问题：右边这个图是否还能继续扩展成五个集合的 Venn 图呢？更一般的，是否随便什么样的 n 个集合的 Venn 图都可以扩展到 n + 1 个集合呢？
令人难以置信的是，这个问题竟然还没被解决！事实上，对满足各种条件的 Venn 图的研究是一个经久不衰的话题，与 Venn 图相关的猜想绝不止这一个。
出现次数超过一半的元素
令 U 是一个有限集，S1 , S2 , … , Sn 都是 U 的非空子集，它们满足任意多个集合的并集仍然在这些集合里。证明，一定能找到某个元素，它出现在了至少一半的集合里。
不可思议，即使是最基本最离散的数学研究对象——有限集——里面，也有让人崩溃的未解问题。
1999 年， Piotr Wojcik 用一种非常巧妙的方法证明了，存在一个元素出现在了至少 n/log2n 的集合里。不过，这离目标还有很大一段距离。
沙发！！！！！！！！！！！！
太不可思议了
原来除了哥德巴赫猜想，还有这么多看起来这么简单的猜想就是破解不掉啊。
学习下
好多坑啊..好多坑啊…
天使與惡魔已經被解開了，k≥2 天使贏。 http://home.broadpark.no/~oddvark/angel/
不排除天使落下那个点刚刚好是恶魔挖的坑，因为恶魔的范围是无线大，所以这个几率是无限小，无限接近于0，但还是有可能的
天使和恶魔问题（Angel problem）06年已获解决，见《令你苦思冥想的数学趣题》 http://book.douban.com/subject/3783784/ 或者维基百科
http://en.wikipedia.org/wiki/Angel_problem .
the number is 9992 : 4996 2498 1249 3748 1874 937 2812 1406 703 2110 1055 3166 1583 4750 2375 7126 3563 10690 5345 16036 8018 4009 12028 6014 3007 9022 4511 13534 6767 20302 10151 30454 15227 45682 22841 68524 34262 17131 51394 25697 77092 38546 19273 57820 28910 14455 43366 21683 65050 32525 97576 48788 24394 12197 36592 18296 9148 4574 2287 6862 3431 10294 5147 15442 7721 23164 11582 5791 17374 8687 26062 13031 39094 19547 58642 29321 87964 43982 21991 65974 32987 98962 49481 148444 74222 37111 111334 55667 167002 83501 250504 125252 62626 31313 93940 46970 23485 70456 35228 17614 8807 26422 13211 39634 19817 59452 29726 14863 44590 22295 66886 33443 100330 50165 150496 75248 37624 18812 9406 4703 14110 7055 21166 10583 31750 15875 47626 23813 71440 35720 17860 8930 4465 13396 6698 3349 10048 5024 2512 1256 628 314 157 472 236 118 59 178 89 268 134 67 202 101 304 152 76 38 19 58 29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
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the number is 8010 : 4005 12016 6008 3004 1502 751 2254 1127 3382 1691 5074 2537 7612 3806 1903 5710 2855 8566 4283 12850 6425 19276 9638 4819 14458 7229 21688 10844 5422 2711 8134 4067 12202 6101 18304 9152 4576 2288 1144 572 286 143 430 215 646 323 970 485 1456 728 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
the number is 8011 : 24034 12017 36052 18026 9013 27040 13520 6760 3380 1690 845 2536 1268 634 317 952 476 238 119 358 179 538 269 808 404 202 101 304 152 76 38 19 58 29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
the number is 8012 : 4006 2003 6010 3005 9016 4508 2254 1127 3382 1691 5074 2537 7612 3806 1903 5710 2855 8566 4283 12850 6425 19276 9638 4819 14458 7229 21688 10844 5422 2711 8134 4067 12202 6101 18304 9152 4576 2288 1144 572 286 143 430 215 646 323 970 485 1456 728 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
the number is 8013 : 24040 12020 6010 3005 9016 4508 2254 1127 3382 1691 5074 2537 7612 3806 1903 5710 2855 8566 4283 12850 6425 19276 9638 4819 14458 7229 21688 10844 5422 2711 8134 4067 12202 6101 18304 9152 4576 2288 1144 572 286 143 430 215 646 323 970 485 1456 728 364 182 91 274 137 412 206 103 310 155 466 233 700 350 175 526 263 790 395 1186 593 1780 890 445 1336 668 334 167 502 251 754 377 1132 566 283 850 425 1276 638 319 958 479 1438 719 2158 1079 3238 1619 4858 2429 7288 3644 1822 911 2734 1367 4102 2051 6154 3077 9232 4616 2308 1154 577 1732 866 433 1300 650 325 976 488 244 122 61 184 92 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1
the number is 8014 : 4007 12022 6011 18034 9017 27052 13526 6763 20290 10145 30436 15218 7609 22828 11414 5707 17122 8561 25684 12842 6421 19264 9632 4816 2408 1204 602 301 904 452 226 113 340 170 85 256 128 64 32 16 8 4 2 1
the number is 8015 : 24046 12023 36070 18035 54106 27053 81160 40580 20290 10145 30436 15218 7609 22828 11414 5707 17122 8561 25684 12842 6421 19264 9632 4816 2408 1204 602 301 904 452 226 113 340 170 85 256 128 64 32 16 8 4 2 1
the number is 8016 : 4008 2004 1002 501 1504 752 376 188 94 47 142 71 214 107 322 161 484 242 121 364 182 91 274 137 412 20
算了几个大数，看来有点意思
这些绝大部分都是组合数学的问题……
有可能是因为这门数学相对边缘，致力于研究这些的数学家少，
也有可能是确实太难……
我估计以上两个理由都有，而且相辅相成……
楼上没必要吧…
话说 3x+1 问题我是在我初中数学书上看过的，华师大出版社。
3x+1那个好像叫——冰雹猜想
意思是数字忽大忽小，就好像冰雹一样。
这种东西是最难受的，说对吧？给个证明很困难；说不对？给个反例也不简单。很纠结啊。
You’ve hit the ball out the park! Inicedrble!
哈哈 Matrix67神牛也看了这本书了啊~
我也看过这本书 曾经也被这些问题着迷过。。。
曾经搞MO时发现的一个东西
对任意n>=12，都存在1..n的一个排列{a_i}使得i+a_i均为完全平方数
我的程序验证到70左右是对的
不知是否能证明。不过我从网上搜不到相关资料(不知道keywords是啥)
m牛搜题目的本领好像很强。。有空研究下
我记得那个叫做角谷猜想- –
好像有个什么数会脱离这个循环来着的，还是另外一个循环，记得不太清楚了，有人知道的能告诉我吗
回12a楼：北京市西城区2010高三二模题。
天使與惡魔已經被解掉了。兩步以上天使就會贏。
Hi Matrix67,
I am curious about the open problem to list all subsets of size n or n+1 by deleting or adding one element in each step. Could you please list a few references of this conjecture? (e.g. who posted it and any partial result about it)
Thank you,
Richard
@richard
This may be useful for you:
http://mathworld.wolfram.com/BipartiteKneserGraph.html
http://garden.irmacs.sfu.ca/?q=op/middle_levels_problem
And you can search for “middle two levels problem” on Google. A bunch of useful things should show up.
环形跑道难题到现在还没有被解决么？
3x+1问题还有个对应的3x-1，在3x-1中除了1-2循环还有个5-7循环，从17出发也会回到17的循环，但是似乎也没有走向无限大的序列，不知道还有没有其他的循环。
基本上都是很难的题, 而且多半属于组合数学
54, 31, 43, 32, 51
43应为42。
回复：谢谢提醒，已改正
啧啧……可以说混沌在其中插了一脚么
话说哥德巴赫猜想才是最大的坑，首先这个坑的门槛很低……可以想象只要能理解啥是质数啥是合数的楼道办事处大妈也可能入坑……
某日老张碰见大妈：“哟，这么高雅，在玩数独呢”
大妈：“没，在证哥的八货猜想呢”
关于Venn图，我记得《具体数学》某道习题中有这个的呢。？ 还有答案 = =|
“3x + 1 问题” 的批处理（*.bat）
@echo off
color a
title 【3x + 1 问题】
set var=
set /p var= 请输入数字（不要超过8位!）:
cls
echo 请稍等……
set name=%var%
>>Ans_%name%.txt echo 从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以 2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的 3 倍后再加 1 。序列是否最终总会变成 4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环？
>>Ans_%name%.txt echo.
>>Ans_%name%.txt echo 从 %var% 开始，执行 3x + 1 问题：
:do
>>Ans_%name%.txt echo %var%
2>nul set/a1/(%var:~-1%%%2)&&set /a var=3*var+1||set /a var=var/2
if %var%==1 >>Ans_%name%.txt echo 1&&exit
goto do
wikipedia就提供了符合美观要求的3~6集合A. W. F. Edwards韦恩图
http://en.wikipedia.org/wiki/Venn_diagram#Edwards.27_Venn_diagrams
google还能搜到他的7集合论文，不过美观性差了点。
我真的很好奇。。你从哪里找到这些东西的。。。
四个集合的韦恩图需要在三维空间内画四个互相相交的球，N个集合时需要N-1维空间
两个集合：一条直线内有公共部分的两条直线
三个集合：二维平面内两两相交的三个圆
四个集合：三维空间内两两相交的四个球
N个集合：N-1维空间内两两相交的N维物体
平面上的韦恩图就是这些对象在二维平面上的投影
关于Venn图，这本书有介绍《心灵的嵌齿轮：维恩图的故事》，有任意集合venn图的作法，很多对称美丽的图，还有相关的问题（如格雷码的生成）
那个最后一题是不是要求 i≠j => si≠sj ？
如：{1000*{a},1000*{b},1000*{c}}∪P({a,b,c})
那个最后一题是不是要求 i≠j => si≠sj ？
否则：{1000*{a},1000*{b},1000*{c}}∪P({a,b,c})
3x+1 candidates.
http://www.allprojectstats.com/collatz/
曲线的内接正方形那个，如果是一个茄子那样的不就找不出来了
本来想说Venn图，不过ls几位都说完了。。
看了这个突然庆幸自己没有学任何纯理科专业，对这些抓破头的问题果然还是不感兴趣啊。
两个人抛硬币，一人一次，A先抛，如果A先抛出M次正面，A赢，如果B先抛出N次反面，B赢，问M、N是多少，这个游戏是公平的？
高中看课外书时想到的，一直放在心里，虽然现在不学数学了。正好在这看到这篇贴，估计楼主是个数学牛人，或者来这看贴的中有牛人（当然是相对我来说的牛人），不知道能不能给个答案~~
我发现在 n^2 和 (n+1)^2 间一定存在一个素数，但证不出来……是不是这也是未解之谜呢？还是用类似证n和2n之间必有素数的方法就能搞定？
Veen图。。。四个的话可不可以用四个球体 = =
然后，如果四个可以用四个球体经典表示的话，N个集合的Venn图是否总可以用N个N-1维（超）球体的经典排列（两点，三角形，四面体，等等依次按维度类推）所表示呢。。。。事实上两个集合用两条互相交叠的线段就可以表示
天使恶魔问题解出来了……
数学一直不好呢
…怎么书签啊。。。
3x+1那个能不能这样？
归纳法：
假设小于等于K时可以，看K+1
若K+1为偶数，显然可以。
若为奇数，在4K+1时可以；
进而讨论4K+3，发现在8K+3时可以，8K+7时不行；
然后说如果2^n+p(p不等于2^n-1)可以，则2^(n+1)+q(q不等于2^(n+1)-1)可以
证明方法：3（2^(n+1)+q）+1=3*2^(n+1)+3+q
除以2得3*2^n+(q+3)/2
当且仅当q=2^(n+1)-1时(q+3)/2模2的n次方余-1；
这样不行的数总会被排除完。
无穷归纳法，感觉可行，还能诞生新的数学归纳定理，我也和你想的类似
…哎呀居然有个我搞了半年的问题……好开心……虽然我没搞出什么东西就是了……
一直往一个方向飞
第一题的话 参见围棋就明白了
…3x+1真厉害，1000000内最多次数才收敛的是837799，需要524步。
如果真那么一天能数学研究透 估计是我疯了那天了
如果真那么一天能把数学研究透 估计是我疯了那天了
如果真那么一天能把数学研究透 估计我都疯了
其实数学的未解之谜实在太多了！
比如围棋就是一个超级复杂的数学问题。总是期待一个判断局部死活的数学公式（而不是穷尽搜索）。但就是这个问题都是极其困难的。
数学之谜太多了，想都想不完吧！
@ppwwyyxx 我建议用 zero-based 排列，这样可以去掉 “n >= 12” 这一条件。另外，你的程序是不是在 n = 69 （“70 左右”）跑不出来啦？我猜也许 n = 69 是无解的。正在进一步研究中……
never mind…经过一个多小时的搜索，n = 69 和 n = 70 都是有解的
貌似Conway的thrackle问题下限已经提高到了3(n-1)/2了
http://hi.baidu.com/%C1%F5%D3%E6%E9%D4/blog/item/553fd6dfe428970663279889.html
数学是好玩的、、我已深深的陷入其中
3x+1一定会得421，因为奇数乘3一定得奇数再加1就得偶数了，所以不可能不得421的“陷阱”
@ppwwyyxx 其实这个命题显然是成立的……
http://www.springerlink.com/content/r83l363q4g72u527/fulltext.pdf
请问最后一个问题具体叫什么名字 有人证出来了么
那个，3x+1问题，貌似5x+1,7x+1…（2n+1）x+1都成立。
好吧我承认不行。。。
Thrackle猜想 跟 四色猜想 有点像
47楼的证法看上去很巧妙，但有个小问题，即(3n+1)/2＞n，落不到已证的范围内。而又不能保证3n+1是4的倍数。
最后一个看上去蛮简单的
—–F，这是不是落坑的前兆？
马克马克
@41楼..你是libojie么..? 这个问题你可以搜一下prime between consecutive squares, 是个unsolved的..
>>Ans_%name%.txt echo %var%
2>nul set/a1/(%var:~-1%%%2)&&set /a var=3*var+1||set /a var=var/2
if %var%==1 >>Ans_%name%.txt echo 1&&exit
最后一个问题Piotr Wojcik是怎么处理的？
查不到诶。。
恶魔胜，，恶魔在天使要走10000000000次1000步的地方挖坑，在天使挖要走210000000000次1000步的地方一直挖坑，挖出1000步厚的坑后，在1000个坑里继续挖，直到天使无路可走，被困在坑群中，就赢了。
恶魔胜，，恶魔在天使要走10000000000次1000步的地方挖坑，在天使挖要走10000000000次1000步的地方一直挖坑，挖出1000步厚的坑后，在1000个坑里继续挖，直到天使无路可走，被困在坑群中，就赢了。
The puhreascs I make are entirely based on these articles.
Prelude> let ttt x = if even x then div x 2 else (+) (3*x) 1 in takeWhile (/=1) (iterate ttt 9992)
虽然很久以前就看过这篇文章，但这次看到最后一题时，发现
我做过一个什么前苏联教委推荐题，那个题用二进制把集合伪装起来
让证|U|=6的情况，当时我以为对所有的U都成立就数归
归了半天也没证出来，回去一看答案根本不是一般性的
哦呵呵呵呵呵呵呵呵，坑人不带这么坑的。。。！！！
有關随机 01 串的最长公共子序列的問題，想請問一下Cp(n)/n的極限值是什麼意思？兩串01串不是隨機產生的嗎?還是說這個極限值指的是平均值?
那个3x+1的题跟一个游戏很像：随机选一篇很长的文章，然后在文章尾部随机选一个字，然后用这个字的笔画数往前数，定位下一个字，这样反复操作，最终文章越长，首选的字越接近尾部，那么最终操作完后，最后定位的字是同一个字的概率越高！不信你就拿这段评论试试！
我 chejiamao@163.com 设计了1111的数学模型：1111ABCDEFGH······1111。1、 ABCDEFGH中的各个字母都是代表某个数字；2、应该有某种计算方法，由1111开始，按照这种计算方法一直计算下去，就会得出后面的数字，直到再现1111；3、在互联网上查阅，没有看到对应于上述数学模型的计算方法；由此产生一种猜想：对于任意的一串数字（不能为零），用某种计算方法进行计算，最终又会再现这一串数字。上述的某种计算方法也许能够提供一种创新思路，为其它数学猜想的最终证明提供帮助。 请数学爱好者指点，存在上述的计算方法吗，如果存在，计算方法如何，又该如何去证明？
喜讯，愿共同分享。车家茂 chejiamao@163.com 所在的团队设计了以1234为例子的数学模型：1234ABCDEFGH······1234。 ABCDEFGH中的各个字母都是代表某个数；猜想：对于任意的一串数（不能为零），用某种计算方法进行计算，最终又会再现这一串数。可喜的是，车家茂所在的团队对上述的数学模型猜想的计算方法及其证明已经探索出来了；用笔直接验证了九百九十九串数，每串数都符合上述的数学模型；用逻辑推理的方法也证明了：由趋近于无穷的数字组成的一串数，同样符合上述的数学模型。由1234开始，计算产生出了数千串的数，才又再现1234，这数千串的数叫做1234的数谱。9876543210产生的数谱则有数十亿串的数，足以为所有中国人编码。看来，数谱在实际生活中有它的用武之地，值得专家学者社会团体政府国家研究开发数谱的潜在的应用价值。
3n-1的推导出错了啊，1336➗2不是668啊
顾森你好，我证明了历遍所有“中间子集”这个问题，我不知怎么联系你，我希望你能够联系我。我会将证明发给你。QQ:794936235
曲线内正方形已经被证明了