2010-06-19 18:53| 
14 Comments | 本文内容遵从 这一系列文章的最后，我们将证明：任意凸多边形内均存在内接正方形。事实上，这几乎是“任意凸多边形内均存在内接菱形”这一命题的直接推论。在这篇日志中，我们实际上证明了这样一个结论：在任意凸多边形中，任选一个方向 u ，总能找到一个内接菱形，它的其中一条对角线与所选方向平行。
现在，慢慢旋转方向 u ，则所得菱形的两条对角线将连续地变化。当方向 u 旋转了 90 度后，原来的两条对角线交换了位置，换句话说两条对角线的长度之差变号了。因此，在方向 u 旋转的过程中，必然有一个时刻两条对角线的长度恰好相同，此时内接正方形也就得到了。
可能有的读者想问了，去掉“凸多边形”这一条件，任意多边形内都存在内接正方形吗？答案是肯定的。 Square Peg 定理告诉我们，对于任意一个简单多边形，总能在上面找到四个点，使得它们恰好是一个正方形的四个顶点。定理的证明需要用到很多之前提到的类似的方法，不过更加复杂一些，这里就不再叙述了。
最后还有一个有趣的话题想与大家分享一下。大家看到了，在一个多边形内内接等边三角形、矩形、菱形甚至正方形都是没有问题的，那么这类问题的极限在哪里？有什么图形是一个多边形内不能内接的吗？肯定是有的。下面我们证明，存在一个多边形，它不能内接正七边形。
事实上，任何三角形内都不能内接正七边形。考虑一个正七边形的外接圆，它与三角形最多只有六个交点（因为一条线段和一个圆最多只能产生两个交点），因此正七边形显然是不能内接于三角形内的。
sofa
有趣。
一天两更，楼主NB……
一更就俩……
总算盼到新文了……
好哏儿……
我没猜对。。。
一个问题写四篇文章自重
嘿嘿 说的没错~
最后一句话很雷人。。
想起来以前在这里看到的：椭圆不存在内接正n>4边形。也是这样证得
[...] 这样一个看上去如此基本的问题，竟然没有被解决！这个 Blog 上曾经证明过，任意凸多边形上总存在四个可以构成正方形的点；对证明方法进行改进，可以把结论扩展到凹多边形上。目前，对于充分光滑的曲线，似乎已经有了肯定的结论；但对于任意曲线来说，这仍然是一个悬而未解的问题。平面上的曲线无奇不有，说不准我们真能精心构造出一种不满足要求的怪异曲线。 [...]
您能把 Square Peg 定理的过程粘贴到我的邮箱吗
谢谢了 我曾经考虑过这个问题 也给出过任意四边形情况的证明，但是检索不到 Square Peg 定理，不知是不是证明相同。
邮箱为 935379638@qq.com
很有规律呀
不错的博客