玩转内接多边形(六):任意凸多边形内均存在内接正方形

    这一系列文章的最后,我们将证明:任意凸多边形内均存在内接正方形。事实上,这几乎是“任意凸多边形内均存在内接菱形”这一命题的直接推论。在这篇日志中,我们实际上证明了这样一个结论:在任意凸多边形中,任选一个方向 u ,总能找到一个内接菱形,它的其中一条对角线与所选方向平行。
    现在,慢慢旋转方向 u ,则所得菱形的两条对角线将连续地变化。当方向 u 旋转了 90 度后,原来的两条对角线交换了位置,换句话说两条对角线的长度之差变号了。因此,在方向 u 旋转的过程中,必然有一个时刻两条对角线的长度恰好相同,此时内接正方形也就得到了。

    可能有的读者想问了,去掉“凸多边形”这一条件,任意多边形内都存在内接正方形吗?答案是肯定的。 Square Peg 定理告诉我们,对于任意一个简单多边形,总能在上面找到四个点,使得它们恰好是一个正方形的四个顶点。定理的证明需要用到很多之前提到的类似的方法,不过更加复杂一些,这里就不再叙述了。

    最后还有一个有趣的话题想与大家分享一下。大家看到了,在一个多边形内内接等边三角形、矩形、菱形甚至正方形都是没有问题的,那么这类问题的极限在哪里?有什么图形是一个多边形内不能内接的吗?肯定是有的。下面我们证明,存在一个多边形,它不能内接正七边形。
    事实上,任何三角形内都不能内接正七边形。考虑一个正七边形的外接圆,它与三角形最多只有六个交点(因为一条线段和一个圆最多只能产生两个交点),因此正七边形显然是不能内接于三角形内的。

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