小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。 a × b 就表示 b 个 a 相加。初中时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方。 a ^ b 就表示 b 个 a 相乘。令人失望的是，到了高中时，我们并没有学到更牛 B 的运算符号；大学都快学完了，似乎也没见到乘方升级的苗头。乘方之上究竟是什么？下面，有请今天的主角——超级幂——登场！
很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把 b 个 “a 次方” 重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题： a ^ a ^ a 究竟应该等于 (a ^ a) ^ a ，还是 a ^ (a ^ a) ？。我们不妨来算一算，不同算法得到的结果相差多远：
(2 ^ 2) ^ 2 = 4 ^ 2 = 16
2 ^ (2 ^ 2) = 2 ^ 4 = 16
难道两种不同的计算顺序，得到的结果总是相同的吗？让我们换 a = 3 试试：
(3 ^ 3) ^ 3 = 27 ^ 3 = 19683
3 ^ (3 ^ 3) = 3 ^ 27 = 7625597484987
哇，这下可就差远了。可以想象，如果把 “a 次方” 再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示 b 个 a 构成的指数塔，这种运算的威力会多大。
1947 年，数学家 Goodstein 发现，不管初始时选取哪个自然数，按照某种预先定义好的规则进行迭代，数列最终将变成 0 。但是，数列收敛到 0 的速度极其缓慢，以至于 Goodstein 需要处理一些连乘方也无法表达出来的大数。于是， Goodstein 便正式提出了这种超越乘方的运算。他把 b 个指数 a 迭代的结果记为 ba ，也就是把 b 放在 a 的左上角。在国外的一些论坛上，有时也能看见 a^^b 的表示方法，便于在纯文本格式下的传播。不过，当时 Goodstein 并没有用超级幂 (superexponentiation) 一词，而是用的 tetration 一词。这是由前缀“四” (tetra-) 和迭代 (iteration) 一词合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四级运算。事实上， tetration 比 superexponentiation 更常用一些。网上甚至有一个 tetration 论坛，论坛里活跃着一群热爱 tetration 的数学 geek 。
超级幂是一个极为厉害的运算，它的增长速度非常惊人。在很小的数之间进行超级幂运算，就有可能得到一个巨大的天文数字。 32 等于 2 ^ (2 ^ 2) = 16 ，而 42 就等于 2 ^ (2 ^ (2 ^ 2)) = 65536 。那么， 52 等于多少呢？它应当等于 2 的 65536 次方，其结果是一个上万位的数。那 62 呢？ 100100 呢？大家自己去想象吧。
我们能轻松定义出超级幂的概念，但为什么这个东西却如此“小众”呢？当然，超级幂缺乏很多加减乘除和乘方运算具有的性质，这是一个重要的原因；不过，我想应该还有一个最基本的原因吧——超级幂本身没有什么实用价值。重复对折纸张、增长率的叠加、赌博游戏中的翻番，它们都可以用乘方来描述。实际生活中有什么事情正好能用超级幂来描述的吗？我想应该不会有吧。
人类的想象力是无止境的。即使超级幂已经大到无法用言语描述的地步，大家还是会问，再把 “a 次超级幂” 迭代 b 层（注意运算顺序仍是从最深那一层开始），又会得到什么？是否就得到了第五级的运算呢？或许你马上就意识到了，这样扩展上去是没有尽头的，每一级运算迭代之后都能产生更高一级的运算。虽然此时脑子已经有点乱了，但是数学语言的严格性和理想性告诉我们，利用某种清晰的数学符号和递归法则，我们一定有办法定义出等级越来越高的运算来。
Goodstein 牛就牛在这儿。他定义了 Goodstein 记号 G(n, a, b) ，来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算。当 n = 0 时，规定 G(0, a, b) = b + 1 。也就是说，第零级运算是一个一元运算——自然数的后继。当 n = 1 时，规定边界值 G(1, a, 0) = a ，并规定 G(1, a, b) 表示对 G(1, a, 0) 的值进行上一级操作（后继操作），并重复迭代 b 次，其结果也就是 a 加上 b 。⼀般地，有:
G(n, a, b) = G(n – 1, a, G(n, a, b – 1))
其中边界值为
G(1, a, 0) = a
G(2, a, 0) = 0
G(3, a, 0) = 1
G(4, a, 0) = 1
G(5, a, 0) = 1
…
这就形式化地给出了第 n 级运算的意思。
类似的东西不止一次地被提出过。两年前给大家介绍过世界上最大的数，当时就用到了 Knuth 箭头记号。这也是一种表示大数的方法，其思想与 Goodstein 记号几乎完全一样。 Ackermann 函数也是一个神速增长的函数，它的定义也有异曲同工之处。很多外文数学论坛则用 a [n] b 来表示 a 与 b 之间的第 n 级运算，是我比较喜欢的一种符号。
当然，有 a [n] b ，必然会有 a [a [n] b] b ，从而又会有 a [a [a [n] b] b] b ⋯⋯没有最大的数，只有更大的数。人脑和数学是两个神奇的东西，没有什么数大到人脑想不出来，也没有什么数大到数学表示不出来。仅仅在脑中试想一下 100 [100] 100 ，你的思想就已经超越了整个宇宙的大小了。
第一次抢到沙发？
再顶一下
M牛是否要开讲Goodstein定理了～
坐板凳欣赏。。。
果然够大。。。
好大！
呵呵，还能说点啥呢？真够牛B！
那个Goodstein记号真牛B！
G(0, a, b) = b + 1
应该是
G(0, a, b) = a + 1
吧
哇，这下可就差远了。
我每次都没有看内容。。我每次都能看到这种句子。。
越来越sunjj了
曾经想过一件事情：log ab=log a+log b
那么乘方应该定义成a^b=exp(ln a*ln b)
然后可以继续往上搞。。
曾经想过一件事情：log ab=log a+log b
那么乘方应该定义成a^b=exp(ln a*ln b)
然后可以继续往上搞。。。
这个纯粹是思维游戏吧。。。
G(n, 2, 2)=4
是这样吧
大脑结构真是神奇
实际生活中有什么事情正好能用超级幂来描述的吗？//分形数学是不是就是这样的迭代的？
lim
#11/12 cartman:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperoperation#Commutative_hyperoperations
这个会对你胃口……
那個 Goodstein 和 Ackermann 函數有相似的地方呢
这些都只是可计算的数（Turing Machine 意义下可计算）
还有一些不可计算数，比如busy beaver function 它的增长速度超过任何一种可计算的数
仿照Sigma和Pi創造出“連乘方”或者“連超乘方”……？
支持一下！不错！
noip复赛到了，每当烦躁的时候都会看看M牛的blog！虽然看的一头雾水吧！
人的认识是无限的。
我还以为这个就是ackermann函数，这个名字还在当年学并查集的时候见过。话说你现在在干什么？还在写书吗？
我还以为这个就是ackermann函数也。你现在在干什么？还在写书吗？
出来吃饭我请客，都没得联系了
说来也真是巧妙，这几个星期我也在想同样主题的东西。
今年IMO的Problem5(http://www.imo-official.org/problems.aspx)
里面的那个简单的装置，从右向左数，每一个box似乎就相当于一个运算级。
顶一下楼主
第0级运算会有一些矛盾。
这个一般是理论上的探索研究，不过日常可用不到这么庞大的数据。
“不管初始时选取哪个自然数，按照某种预先定义好的规则进行迭代，数列最终将变成 0”
是在说Goodstein定理么？
那个数列确实很慢，记得好像证明要用到集合论
M牛，我昨天看到关于0乘以任何数是否为0的问题，希望您能帮忙说明下，里面牵扯到无穷大以及无穷大的级别，那么无穷小有级别吗？谢谢
相比之下无穷反而亲切多了……
@34楼 无穷也是有势的。但是无论多么大的势的无穷，被0乘都为0.可以说0的势是无穷小——所以0最牛逼
tetration的一些性质很有意思。比如它的对数一般可以用Lambert W表示。
我很奇怪…这些“四次以上“的运算为什么不能有实际作用？好像也没有多少人考虑过这个问题。
谢谢楼上的指教
显然“第一个用20个汉字无法表达出来的数”就大到人脑想不出来。。。
这个零级运算不对吧
10^80就已经超越了整个宇宙的大小了。
宇宙中大约有原子10^80个
原子不是最小的，原子半径最小大概是10⁻¹¹米（10皮米）级别。如果到原子核，质子，中子等这些亚原子粒子的话可以到10⁻¹⁵米（1飞米）级别。而这还不够，目前人类所能测量的最小的长度大约在10⁻¹⁸m（1阿米）级别，比如最近的探测引力波的工作就需要达到这种精度的探测。不过目前有物理意义的最小长度叫做普朗克长度，大概是1.6×10⁻³⁵米（10皮幺米）。以这个作为单位计算：可观测宇宙体积 = 8.71×10¹⁸⁴ 立方普朗克长度。相比之下10⁸⁰就太小了。
曾经多次思考此问题, 看了楼主的文章才清晰的理清逻辑; 在理清逻辑过程中, 发现一点小bug;
当 n = 0 时，有 G(0, a, b) = b + 1。
个人认为是 :
当 n = 0 时，有 G(0, a, b) = a + 1。
也就是 a[0]b = a + 1; 在 a [n] b 中, 当n = 0时, 忽略b, 对应的 a[0]b = a + 1, 即是 [0]b == + 1
a[1]b = a[0]a[0]a[0]…[0]a (b次运算), 根据 [0]b == + 1, 即是
a[1]b = a + 1 + 1 + … + a (b次+1运算), 即a[1]b = a + b
a[2]b = a [1] a [1] a [1] … [1] a = a + a + a + … + a = a * b
还有不定级运算，非整数级常数运算，这是我的论文稿件中的，但论文或还未写完。
超级幂在实际生活中有运用，例如：有a个人，要去a个地方，且无任何限制，则结果为2^^a,即a^a;若有a个人，可以选择另外a个人与他们结伴，到a个不同的地方，则结果为3^^a,即a^a^a,如果把a个人可以与另外a个人结伴而行这句话重复n次，则结果为(n+2)^^a，即a^a^a^……^a^a,共有n+1个^。所以作者说实际生活中用不到超级幂是错误的。
你这只是理论条件，根据你的说法，别说超级幂，不管多高级的运算都能用到。因为我可以无限往上加变数。a个人找a个人结伴在a个不同的日子去a个不同的地方这句话重复n次，或重复n次：a个人找a个人结伴在a个不同的日子带a数量的现金去a个不同的地方与a个人聚会讨论了a件不同的事……这么说不管几级运算都能在现实生活中用上？
R_3{x=3;x=3^x}=3^^4
呵呵 猜一下 是除方吗
(a ^ a) ^ a ，还是 a ^ (a ^ a) ？
这是个问题……应该是第一种吧。
我一直想用这个来计算宇宙的发展概念，一直苦于值数不明确，无法进行测量。空间维度也可以用这个算量。
我一直想用这个算宇宙的发展，只是苦于无法得到准确的值数，用这个还可以算维度空间。用这个算量是非常精确的，比玛雅算法更准。
超乘方可不可以用来表示大数字，就像科学记数法一样？
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