一架客机上有100个座位,100个人排队依次登机。第一个乘客把机票搞丢了,但他仍被允许登机。由于他不知道他的座位在哪儿,他就随机选了一个座位坐下。以后每一个乘客登机时,如果他的座位是空着的,那么就在他的座位坐下;否则,他就随机选一个仍然空着的座位坐下。请问,最后一个人登机时发现唯一剩下的空位正好就是他的,其概率是多少?
当最后一个乘客登机时,最后一个空位要么就是他的,要么就是第一个乘客的。由于所有人选择座位时都是随机选择的,这两个位置的“地位”相等,它们所面对的“命运”是相同的,不存在哪个概率大哪个概率小的问题。因此,它们成为最后一个空位的概率是均等的。也就是说,最后一个人发现剩下的空位正好是他的,其概率为50%。
来源:cut-the-knot
不知不觉地,这已经是第400篇日志了
9 条回复
您也随便说几句吧:












不知道这是不是第400个沙发
问一下M67对clrs概率那章 最后一个题的看法( c 2.10 )我感觉跟mouty hall问题蛮象的 (c 2.09 就是羊与车问题吧)
回复:两道题实质上是一样的
...这个用递归考虑到50%的概率到不难,难的是想到:"当最后一个乘客登机时,最后一个空位要么就是他的,要么就是第一个乘客的。"...
回复:就是啊……
M67,很严肃地问一下:
为什么我上不了cut-the-knot ?老是转到
http://www.cut-the-knot.org/errors/blank.htm
回复:不会啊,我浏览起来很正常
你换个浏览器试试
由于所有人选择座位时都是随机选择的,这两个位置的“地位”相等,
这句话怎么理解,我想不通。
地下室的疑问有道理,我也觉得这个结论一点也不显然。我给出一个论证:把登机人的座位从第二个人开始依次排成一列,第一个人的座位排在最后。显然,第一个人选中倒数第二个或最后一个位置的概率是相等的。如果第一个人没有选中最后两个,则视为选择未结束;设他选中的是第k个,则后面紧接的k-1人没有选择(都坐自己的位置),选择权转交到第k人手中继续前面未结束的选择;第k人的地位此时与前面的选择者完全相当,余类推。最后两个位置被前面的选择者选中的概率始终相等,选择迟早会结束,因此轮到最后一个人时,倒数第二个位置有50%概率空着,那是他自己的正确位置。
我觉得这样想能更简单地理解,当最后一个乘客登机时,最后一个空位要么就是他的,要么就是第一个乘客的,这句话肯定是对的。
那么第一个坐了自己的,最后的人也坐了自己的;第一个坐了最后那个人的位子,那么最后那个人坐了第一个人的位子,这两个概率是一样的。
其他的情况就是第一人坐了剩下98个位子中一个,对于这98人来说,第一个人的位子和最后一个人的位子完全等价,并且选择是互斥的,各50%的可能选择。
综上,50%是正解。
为什么前面座位被占的人不会随机坐到第一个人的位置上?
啊,对的,一旦有人坐到第一个人位置上后面人都会坐到自己位置上了……