《新知客》趣题专栏 2010.08

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推理
1. 下一个图形是什么?

 
2. 小 A 和小 B 玩游戏。小 A 取出一副扑克牌并去掉大小王,剩下红色的牌和黑色的牌各 26 张。洗好牌后,小 A 依次翻开每一张牌,让小 B 看到牌的颜色。小 B 可以在任意时刻打断小 A ,并打赌“下一张牌是红色”。如果下一张牌真是红色,小 A 给小 B 一块钱;如果下一张牌是黑色的,小 B 输给小 A 一块钱。注意,小 B 必须要在某个时刻下赌注,并且机会只有一次;如果他一直没打断小 A ,则默认他赌最后一张牌是红色。
小 B 的最佳策略是什么?在这种策略下,他有多大的概率获胜?


 
计算
1. 一张长 10 厘米、宽 9 厘米的长方形纸张可以裁剪成两个宽 1 厘米的、一模一样的螺旋形纸带。那么,每个螺旋形纸带的周长是多少厘米?

 
2. 广场上站着 99 个间谍,间谍与间谍之间的距离互不相等。每个间谍都盯着离自己最近的那个间谍看。证明:总存在一个没被人盯着的间谍。

 
 
填图
1. 24 根火柴棒摆成了如图所示的形状。这些火柴棒组成了大大小小一共 14 个正方形。请您:

(1) 去掉两根火柴棒,使得图中只剩下 7 个正方形
(2) 去掉三根火柴棒,使得图中只剩下 4 个正方形
(3) 去掉四根火柴棒,使得图中只剩下 2 个正方形

 
2. 像左图中的示例那样,只用两种不同长度的线段,把图中的 14 个点两个两个一对地连接起来。
    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

推理

1. 下一个图形是什么?

 
答案:

这些图形分别是字母 A 到 J 的“轮廓”——假设我们在从 A 到 J 的每个字母外面拉上一圈橡皮筋,松手之后橡皮筋就依次变成了图中的这些形状。

 
 
2. 小 A 和小 B 玩游戏。小 A 取出一副扑克牌并去掉大小王,剩下红色的牌和黑色的牌各 26 张。洗好牌后,小 A 依次翻开每一张牌,让小 B 看到牌的颜色。小 B 可以在任意时刻打断小 A ,并打赌“下一张牌是红色”。如果下一张牌真是红色,小 A 给小 B 一块钱;如果下一张牌是黑色的,小 B 输给小 A 一块钱。注意,小 B 必须要在某个时刻下赌注,并且机会只有一次;如果他一直没打断小 A ,则默认他赌最后一张牌是红色。
小 B 的最佳策略是什么?在这种策略下,他有多大的概率获胜?

答案:乍看上去,小B似乎有很多方法能保证他的获胜概率大于 50% 。比方说,他可以等到黑牌都翻完了时赌下一张牌是红色。不过别忘了,黑牌先翻完不是总能发生的。如果红色的牌先翻完,他就必输无疑了。因此,采取这种策略并不会增加小 B 获胜的概率。
事实上,这是一个完全公平的游戏,小 B 没有所谓的“最佳策略”。小 B 的任何一种策略效果都完全一样—— 50% 的概率获胜, 50% 的概率输掉。为了证明这一点,让我们来考虑这场赌博游戏的一个修改版:小 A 把牌一张一张地翻开,小 B 可以在任何时候打断小 A ,并赌最后一张牌是红色。显然,在剩下的牌里面,第一张是红色与最后一张是红色的概率完全相同。因此,把原游戏中的策略应用到新的游戏中来,获胜的概率不变。但很容易看出,新规则下的游戏是一个非常无聊的游戏,因为不管小 B 用什么策略,获胜的概率总是 50% ——最后一张牌是红色,小 B 就赢;最后一张牌是黑色,小 B 就输。

 
 
计算

1. 一张长 10 厘米、宽 9 厘米的长方形纸张可以裁剪成两个宽 1 厘米的、一模一样的螺旋形纸带。那么,每个螺旋形纸带的周长是多少厘米?

 
答案: 92 厘米。

我们可以用剪拼法把纸带的拐角“扳直”,并且保持它的周长和面积不变。这样的话,整个螺旋形纸带就可以看作是一个宽为 1 厘米的长条形纸带。既然整个长方形的面积是 90 平方厘米,那么其中一个纸带的面积就是 45 平方厘米,因而它的周长就是 (45+1)×2=92 厘米。

 
 
2. 广场上站着 99 个间谍,间谍与间谍之间的距离互不相等。每个间谍都盯着离自己最近的那个间谍看。证明:总存在一个没被人盯着的间谍。

答案:考虑距离最近的两个间谍,显然他们俩正互相盯着。如果还有别人盯着他们俩中的任何一个,就表明有人同时被两个人盯着,因此必然存在另一个人没被人盯着;如果没有别人在盯这两个人,那么我们就可以去掉这两个人,这对其他人不会产生任何影响。注意到广场上的总人数是个奇数,因此如此继续下去,要么我们能在某一步找到一个没被盯着的人,要么最终就只剩下一个人,而他显然没有被任何人盯着。

 
 
填图

1. 24 根火柴棒摆成了如图所示的形状。这些火柴棒组成了大大小小一共 14 个正方形。请您:

(1) 去掉两根火柴棒,使得图中只剩下 7 个正方形
(2) 去掉三根火柴棒,使得图中只剩下 4 个正方形
(3) 去掉四根火柴棒,使得图中只剩下 2 个正方形

答案:
     
(答案不唯一)

 
 
2. 像左图中的示例那样,只用两种不同长度的线段,把图中的 14 个点两个两个一对地连接起来。
    

答案:

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