《新知客》趣题专栏 2010.07

从本月起,我开始在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后,我将在 Blog 上同步更新。

 
推理:
1. 老王熬夜工作到凌晨 2 点多时,实在不行了,倒在床上就开始呼呼大睡。睡觉前他看了一下闹钟,发现了一件有趣的事情——时钟上的时针和分针正好重合在了一起。早晨 8 点多时,老王被闹钟闹醒。他看了一下闹钟,又发现了一件有意思的事——此时时钟上的时针和分针正好指向完全相反的方向。老王究竟睡了多久呢?不足 6 个小时, 6 个多小时,还是正好 6 个小时?

2. 小 A 、小 B 和小 C 竞选推理协会的会长,有 99 个人参与了投票(当然,三位候选人是不能参与投票的)。唱票后,三位候选人惊奇地发现,每个人各得了 33 票。为了分出胜负,小 A 提议,每个投票人都选出自己心目中的“第二人选”。巧合的是,第二轮投票之后,三个人又是各得 33 票。接下来该怎么办呢?小 A 注意到了投票的人数是奇数,于是想到了一个一定能决出胜负的投票方案:所有投票人先在小 B 和小 C 当中进行投票,获胜者再和小 A 进行 PK 。这时,小 B 突然站出来反对:这种方案是不公平的,这对小 A 明显更有利一些。小 B 的说法对吗?


计算:

1. 周长相等的正三角形和正六边形,面积之比是多少?

2. 平面上有 n 个红点和 n 个蓝点,你需要把它们一红一蓝地配成 n 对,并用线段把每一对点连接起来。证明,总存在一种配对方案,使得所有连线都不交叉。

填图:

1. 把图中的棋盘划分为一个一个的矩形,使得每个矩形中恰好包含一个数字,而这个数字恰好等于这个矩形中的小方格数。

2. 把 1 到 9 这九个数字填入方格中,使得每行三个数之和等于这一行右边的数,每列三个数之和等于这一列下方的数。

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

推理:
1. 老王熬夜工作到凌晨 2 点多时,实在不行了,倒在床上就开始呼呼大睡。睡觉前他看了一下闹钟,发现了一件有趣的事情——时钟上的时针和分针正好重合在了一起。早晨 8 点多时,老王被闹钟闹醒。他看了一下闹钟,又发现了一件有意思的事——此时时钟上的时针和分针正好指向完全相反的方向。老王究竟睡了多久呢?不足 6 个小时, 6 个多小时,还是正好 6 个小时?

答案:正好 6 个小时。在这 6 个小时里,时针转了一个半圈,分针转了 6 个整圈,因此两针正好指向了相反的方向。

 
 
2. 小 A 、小 B 和小 C 竞选推理协会的会长,有 99 个人参与了投票(当然,三位候选人是不能参与投票的)。唱票后,三位候选人惊奇地发现,每个人各得了 33 票。为了分出胜负,小 A 提议,每个投票人都选出自己心目中的“第二人选”。巧合的是,第二轮投票之后,三个人又是各得 33 票。接下来该怎么办呢?小 A 注意到了投票的人数是奇数,于是想到了一个一定能决出胜负的投票方案:所有投票人先在小 B 和小 C 当中进行投票,获胜者再和小 A 进行 PK 。这时,小 B 突然站出来反对:这种方案是不公平的,这对小 A 明显更有利一些。小 B 的说法对吗?

答案:小 B 是对的——在新的方案下,小 A 将必胜!为了说明这一点,我们把投票人的偏好分成六类:

(1) A > B > C
(2) A > C > B
(3) B > A > C
(4) B > C > A
(5) C > A > B
(6) C > B > A

    由于第一轮投票是平局,因此 (1) (2) 的总人数、 (3) (4) 的总人数、 (5) (6) 的总人数各占 1/3 。也就是说,如果要在小 B 和小 C 之间进行 PK 的话,就全看 (1) 和 (2) 的人数谁多谁少了。不妨假设 (1) 的人数比 (2) 多(这样的话小 B 将在 PK 中获胜,并与小 A 对决),那么 (4) 的人数就一定比 (3) 多,否则 (2) (4) 的总人数将不足 1/3 ,小 C 不可能在第二轮投票中与小 A 和小 B 战平。类似地, (5) 的人数就一定比 (6) 多,否则 (3) (5) 的总人数将不足 1/3 ,小 A 不可能在第二轮投票中与小 B 、小 C 战平。既然 (5) 的人数比 (6) 多,那么在小 A 和小 B 之间进行最后的角逐,小 A 一定会获胜。
    对于 (2) 的人数比 (1) 多的情况,类似的分析可以推出同样的结果来。

 
 
计算:

1. 周长相等的正三角形和正六边形,面积之比是多少?

答案:把它们都剖分成完全相同的小正三角形,很快就能看出它们的面积比是 2:3 。

 
 
2. 平面上有 n 个红点和 n 个蓝点,你需要把它们一红一蓝地配成 n 对,并用线段把每一对点连接起来。证明,总存在一种配对方案,使得所有连线都不交叉。

答案:考虑所有可能的配对方案,选择所有连线的长度总和最小的那一种方案。下面我们证明,这种方案是满足要求的。假如在这种方案中有某四个点 A 、 B 、 C 、 D ,其中红点 A 和蓝点 B 相连,红点 C 和蓝点 D 相连,两条连线交于点 O 。那么,把它们改成 A 与 D 相连, B 与 C 相连,则由三角形两边之和大于第三边, AB + CD = (AO + DO) + (BO + CO) > AD + BC,说明连线的总长度变得更短了,由此产生矛盾。


(图已更正)

 
 
填图:

1. 把图中的棋盘划分为一个一个的矩形,使得每个矩形中恰好包含一个数字,而这个数字恰好等于这个矩形中的小方格数。

答案:

 
 
2. 把 1 到 9 这九个数字填入方格中,使得每行三个数之和等于这一行右边的数,每列三个数之和等于这一列下方的数。

答案:

31 条评论

  • Jollwish

    “从本月起,我开始在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。”

    膜拜。。

  • mobilexu

    红点 C 和蓝点 D 相连,图配错了。。

  • Jollwish

    不过题目貌似都很简单。。

  • Chan

    借地方求问,想DIY生日礼物送给geekBF,求这个blog上的geek们帮忙出主意,除了分形三角形手机链……谢谢-_-b

  • xxwzy

    怎么让我想起了马丁加德纳

  • ppwwyyxx

    这个杂志的销量绝对会因为你的第一句话大增。。

  • 掌柜的马甲

    我就喜欢玩推理题…

  • maa04

    真的很有趣nia~

  • Phil

    这就是您很久之前说的给杂志投稿么…

    这也太慢了… – -|||

  • struldburg

    开始买杂志…

  • jc

    填图第一题叫作shikaku,是日本人发明的谜题好像。
    M67牛玩数独吗?欢迎来百度数独吧逛逛。

    jcvb

  • 史蒂芬

    你好,我订阅你的博客很长时间了,非常喜欢。我也写过一些谜题相关的文章,不仅有谜题,还融合了故事性,而且是原创(谜题是部分改编,部分原创,故事情结是完全原创)。
    有兴趣可以给我发邮件,我会把作品发给你。如果觉得还行,你也可以把我推荐到新知客,嘿嘿~

  • Voldemort

    回地基:

    哪种Geek?
    如果是数学Geek,买件纯白体恤正面印上纯黑色e^(iπ)+1=0,记住字母要斜体,指数是上标型。整件体恤上只能有一个公式。背面印上下图中中间那个。
    [IMG]http://www.i3721.com/cz/tbjak/bnj/hsdb8njsx/200605/%D3%C3%B9%B4%B9%C9%B6%A8%C0%ED%D3%EB%CD%E2%D0%C7%C8%CB%C1%AA%CF%B5.files/image002.jpg[/IMG]
    啊啊啊,受不了了,我自己都好想要……做两件给我一件吧。 -_-|||

  • Chan

    回LS:

    谢谢回复T_T
    其实是工科geek,然后,链接打不开呀打不开。。
    不过还是谢啦:)

    继续等回复,这个BO上的geek们你们在哪里啊在哪里……

  • 3214668848

    红点蓝点那题不是巨人与鬼那题吗

  • alreadydone

    连线那题不是很简单吗,只要不出现闭曲线是不可能把平面分成两部分的,所以每次连接两个点都能成功。

  • cherkhang

    很喜欢3人投票的题目。
    我在想,如果照那样的提议投票,第2轮的成绩,是不是一定是A得到2/3(66)票,另一个得到1/3(33)的票呢?
    空会想不会证明!

  • cartman

    周长相等的正三角形和正六边形,面积之比是多少
    我小学升初中的考试题。。。记得当时算对了然后写反了

  • weixingl888

    我在这里看到这个杂志后,第一时间去Google了一下,结果,我好想买

  • 香蕉派

    哇哇哇哇~~~~~我有一直在买《新知客》诶! 。。。只是暑假了,停了一个月。。。 好!开学了再去买。。还是订阅好了,实惠些。

  • xiaoz

    计算第二题可以用归纳法证明吗.

  • 喝水小熊

    选举这一题,我的第一反应是,设想三个候选人是剪刀、石子、布的相克关系,这样淘汰任何一人,都是对剩下的一对造成不公平。
    这样立刻发现答案的证明中用到了隐含的假设,选举人对候选人的偏好满足传递关系,而这是题中没有交代的。

  • wogan

    计算第二题好像有问题。
    假设有四个点,在同一条直线上,其中两个红的在左边,两个蓝的在右边。这种情况无法实现不相交。

  • orbea jersey

    有时候的数学题目就是这样的

  • 仌琞 

    膜拜

  • cervelo

    很有趣的图案。。。

  • 刘艺

    投票人都拿了枪,BC冲出去了,有人向他们开枪,回来了一个,A和回来的这个一起出去,又被干掉了一个,A只出去了一次,所以有优势。

  • 刘艺

    面积比那个,不需要画图。直接设周长为3

    1.毫无疑问三角形的面积是0.5(简单点想,旋转180看成漏斗那样,下沉就是个菱形了,但是面积扩大了1倍)
    2.同样的正6边形就是3菱形,0.5*0.5*3(0.5是3/6正六边形的边长)

    就是 0.5:0.75 ,我写的比较啰嗦,但人脑基本上是秒证。

    周长换成x就是这样的:
    x/3 * x/3 /2 (3是边的数量,/2 是因为扩大了还回去)
    x/6 * x/6 /3 (6是边的数量,/3 是看作三个菱形构的)

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