趣题:内切圆与最大内接矩形

      
    看图,DEFG为直角三角形ABC的内接矩形,三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。证明:当内接矩形的面积达到最大时,r1^2 + r2^2 = r3^2。

      
    四个直角三角形ABC, EDC, AEF, DBG显然相似,内切圆半径与边长一样对应成比例。因此,我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。这里,我们重点观察四个三角形斜边长的关系。
    如果△ABC的三边BC, AC, AB长度分别为a, b, c,那么对于某个相似比k,其余三个三角形的对应边长度如下:

△ABC     a      b      c
△EDC    ka     kb     kc
△AEF    …    …  (1-k)b
△DBG    …    …  (1-k)a

    现在,我们要证明的是,当矩形DEFG面积达到最大时,有:
  [(1-k)a]^2 + [(1-k)b]^2 = (kc)^2

    也即
  (1-k)^2 * a^2 + (1-k)^2 * b^2 = k^2 * c^2

    同时,我们还知道a^2 + b^2 = c^2。等式两边同时乘以k^2后与上式相减,我们就得到:
  (1 – 2k) * (a^2 + b^2) = 0

    显然,只有k=1/2时上式才有可能成立。
    接着看,由△DBG ∽ △ABC,可知 DG/AC = BD/AB,因此DG = (1-k)ab/c。另外,我们还知道DE=kc,那么矩形DEFG的面积就可以这样表示:
  S = DG x DE = (1-k)k * ab

    S取最大等价于函数f(k)=(1-k)k达到最大值。这个函数是一个以0和1为根的上下颠倒的抛物线,显然在k=1/2时达到最大值。

来源:cut-the-knot新文
Matrix67原创翻译

2 条评论

  • Dannelfyx

    沙发,膜拜matrix67牛

  • Freeze

    我建议您在这面再贴一下那个图吧,因为这样看着真的很麻烦,我几乎看一句都要滚上去看下图,麻烦死了…
    PS:那个MM照片没看到提示,我是一点头绪都没有啊…

    回复:好建议,已经改了

发表评论

7  ×  1  =