2010-03-27 7:19| 
31 Comments | 本文内容遵从 大家或许知道 Banach-Tarski 悖论——把一个三维球分成有限多份并重新拼成两个和原来一模一样大的球——这个悖论告诉我们利用选择公理我们能够推出看上去多么不合逻辑的东西。今天我听说了另一个类似的悖论叫做 Sierpinski-Mazurkiewicz 悖论，它的结论在直观上同样令人难以接受，并且推导不依赖于选择公理。
Sierpinski-Mazurkiewicz 悖论是说，存在平面上的一个点集 S ，我们能把它划分成两个子集 A 和 B ，使得 A 旋转 1 弧度后与 S 完全重合， B 平移一个单位后也与 S 完全相同。换句话说，存在这么一个点集，我们能把它分成两个与自身一模一样的子集！这听上去实在是不可思议，然而构造却极其简单。
考虑所有系数为非负整数的多项式
F = {a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n | n, a0, a1, ..., an ∈N}
令每个多项式里的 x 等于 e^i ，我们就得到了复平面上的可数个点。注意，由于 e^i 是一个超越数，它不是任何一个整系数多项式的根，因此对任意两个不同的整系数多项式，令 x = e^i 后它们的结果都不可能相同（否则两式相减 e^i 就是整系数方程的根了）。这样的话，上述复平面上的点与 F 里的多项式就是一一对应的了。令这个点集为 S 。令子集 A 为 F 里所有不含常数项的多项式所对应的点，令子集 B 为 F 里所有常数项不为 0 的多项式所对应的点。显然， A 和 B 的交集为空集，并集为全集，它们是 S 的一个划分。
把点集 A 顺时针旋转 1 弧度后，它就与 S 完全重合了。这是为什么呢？因为顺时针旋转 1 弧度相当于把一个复数乘以 e^(-i) ，而 e^(-i) 又等于 1/x 。而所有不含常数项的多项式乘以 1/x 后，显然就与 F 里的全体多项式一一对应了。
把点集 B 向左平移一个单位后，它就与 S 完全重合了。这又是为什么呢？因为左移一个单位相当于把一个复数减去 1 ，而按照前面的定义， B 集合里的常数项都是正整数，减去 1 后常数项的取值就是一切非负整数， 正好就成了 F 里的全体多项式。
于是，奇怪的事情产生了： A 等于 S ， B 等于 S ， A 加 B 还等于 S 。
Sierpinski-Mazurkiewicz 悖论和这里提到的悖论相比，前者的点集是可数的，并且是分成有限多份，可惜这个点集是无界的；后者虽然有界，但整个点集是不可数的，需要被分为无限多份，并且用到了选择公理。在点集有界且可数，只分割为有限多份的条件下，还有没有类似的悖论？目前我们仍然不清楚。
参考：http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.1-2-8.shtml
sofa
看来数学还是很不完善的。
看不出是哪里出了问题啊...
终于挤进了前十……
留名.
这个……真是见鬼啊。。。
可数毕竟还是无限，无限就有可能吧？
mark再看
这个。。。把整数分成奇数和偶数。。。每个偶数除以2。。。每个奇数加1再除以2。。。
很奇怪吗
地核真相帝。
这个没什么嘛……
将整数分成奇数和偶数，然后奇数加一除以2，偶数除以2……不就完全一样了呗
一个可数集的子集有可能也是一个可数集啊，然后就一一对应了……
看起来似乎不是一个悖论呀……
注意，是“巴拿赫－塔斯基定理”不是悖论，原先通过不“保积”变换本来就可以把一个小球映射为任意多的“等大”小球，这个定理只是证明了不存在符合欧氏空间的体积概念的有限加性测度而已。
[...] This post was mentioned on Twitter by SRju690. SRju690 said: Sierpinski-Mazurkiewicz悖论：一加一还是等于一 http://bit.ly/8ZNuby [...]
我也觉得。。这没什么。。。特别是“不依赖于选择公理”让他必然没什么让人惊奇的。
不过那个奇数偶数的例子不太好，因为分出来和原集不全等。。。这个定理只是构造出了一个全等的而已。
看得我蛋疼。。。
对于超越数和无限序列这些应该不能用吧
无限集里已经见怪不怪了。。。
有点不懂
确实不够震憾。
平移和旋转是保积的，所以巴-塔悖论通过保积变换让体积加倍，有震憾性。而对于可数点积，面积或体积为零，在保积变换下加倍仍为零，不意外。
无限不能企及，人类的智力不能驾驭它。
看不懂这个谬论哦
paradoxical decomposition是一个很有趣的课题～～～
http://note.ssreader.com/show_topic.asp?Topicid=281957&forumid=7&page=5&IsLock=
所谓悖论，其实是原以为证明过的定理，实际上是错的，但是人们没办法知道错在哪里
http://note.ssreader.com/show_topic.asp?Topicid=281957&forumid=7&page=5&IsLock=
所谓悖论，其实是原以为证明过的定理，实际上是错的，但是人们没办法知道错在哪里。然后把这些定理当成书本知识教给下一代，一代代地传下来，就习非成是了。
同样的道理在文学也差不多。
毛泽东喜欢看红楼梦，所以把它捧到伟大的高度。
然后奉迎的人也跟着看，后来干脆成为专门学科，所谓的红学会。
其实就一本小说，没有电视和互联网的年代工作之余消磨时间的娱乐工具而已。
悖论“实际上”就是错的？笑而不语...
《红楼梦》和毛泽东的关系很大吗？在毛泽东出现之前就有红学了。
有趣，不过对于可数无穷多元素的集合，这倒也并不反直觉
这有什么，只不过就像(0,1)里的实数和(0,2)里的实数一一对应，而(1,2)里的实数也和(0,2)里的实数一一对应一样。“一一对应”不等于“等于”，这只是玩弄概念罢了。
证明的方式有很多种！