Sierpinski-Mazurkiewicz悖论:一加一还是等于一

    大家或许知道 Banach-Tarski 悖论——把一个三维球分成有限多份并重新拼成两个和原来一模一样大的球——这个悖论告诉我们利用选择公理我们能够推出看上去多么不合逻辑的东西。今天我听说了另一个类似的悖论叫做 Sierpinski-Mazurkiewicz 悖论,它的结论在直观上同样令人难以接受,并且推导不依赖于选择公理。
    Sierpinski-Mazurkiewicz 悖论是说,存在平面上的一个点集 S ,我们能把它划分成两个子集 A 和 B ,使得 A 旋转 1 弧度后与 S 完全重合, B 平移一个单位后也与 S 完全相同。换句话说,存在这么一个点集,我们能把它分成两个与自身一模一样的子集!这听上去实在是不可思议,然而构造却极其简单。


    考虑所有系数为非负整数的多项式

      F = {a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + … + an*x^n | n, a0, a1, …, an ∈N}

    令每个多项式里的 x 等于 e^i ,我们就得到了复平面上的可数个点。注意,由于 e^i 是一个超越数,它不是任何一个整系数多项式的根,因此对任意两个不同的整系数多项式,令 x = e^i 后它们的结果都不可能相同(否则两式相减 e^i 就是整系数方程的根了)。这样的话,上述复平面上的点与 F 里的多项式就是一一对应的了。令这个点集为 S 。令子集 A 为 F 里所有不含常数项的多项式所对应的点,令子集 B 为 F 里所有常数项不为 0 的多项式所对应的点。显然, A 和 B 的交集为空集,并集为全集,它们是 S 的一个划分。
    把点集 A 顺时针旋转 1 弧度后,它就与 S 完全重合了。这是为什么呢?因为顺时针旋转 1 弧度相当于把一个复数乘以 e^(-i) ,而 e^(-i) 又等于 1/x 。而所有不含常数项的多项式乘以 1/x 后,显然就与 F 里的全体多项式一一对应了。
    把点集 B 向左平移一个单位后,它就与 S 完全重合了。这又是为什么呢?因为左移一个单位相当于把一个复数减去 1 ,而按照前面的定义, B 集合里的常数项都是正整数,减去 1 后常数项的取值就是一切非负整数, 正好就成了 F 里的全体多项式。
    于是,奇怪的事情产生了: A 等于 S , B 等于 S , A 加 B 还等于 S 。

 
    Sierpinski-Mazurkiewicz 悖论和这里提到的悖论相比,前者的点集是可数的,并且是分成有限多份,可惜这个点集是无界的;后者虽然有界,但整个点集是不可数的,需要被分为无限多份,并且用到了选择公理。在点集有界且可数,只分割为有限多份的条件下,还有没有类似的悖论?目前我们仍然不清楚。

参考:http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/30001.1-2-8.shtml

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