Matrix67: My Blog » Blog Archive » 满足xy恰有k个约数的(x,y)所组成的图形

2010-02-11 13:02| icon3

27 Comments | 本文内容遵从CC版权协议转载请注明出自matrix67.com

刚才在这里看到了如题所说的图像，立即想到用 Mathematica 验证一下。我选出了几个个人比较感兴趣的 k ，再用一句话便可输出所有对应 k 的图像：

kArray = {2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 36, 50}; For[i = 1, i <= Length[kArray], i++, Export["F:\\" <> ToString[kArray[[i]]] <> ".png", ArrayPlot[Table[Boole[Length[Divisors[x*y]] == kArray[[i]]], {x, 1, 400}, {y, 1, 400}], PixelConstrained -> {1, 1}, Frame -> False]]];

当 k=2 时，由于只有素数才有两个约数，因此所有点都是形如 (p, 1) 或者 (1, p) 的点，其中 p 为某个素数：

当 k=3 时，图像上的点大致成一条斜线，斜线上的点都是形如 (p, p) 的点，其中 p 为某个素数：

当k是更大一些的奇数时，情况类似，因此不再重复了。

当 k=4 时，图像上出现了很多竖直线和水平线，这些直线的位置与素数的平方相对应：

当 k=6 时，逐渐出现了一些乍看之下不好理解的元素：

当 k=8 时，出现了之前不曾见过的情况：图中有一些连续的直线段：

当 k=10 时：

当 k=12 时：

当 k=14 时：

当 k=16 时，更加怪异了：

当 k=18 时：

当 k=20 时：

当 k=36 时：

当 k=50 时：

研究这些图像各种有趣的模式产生的原因，无疑是一个有趣的课题。

27 条回复

楼层: 沙发 | 2010-02-11 13:15 | xxwzy 说：
sofa
楼层: 板凳 | 2010-02-11 15:22 | 呼吸说：
板凳！
楼层: 地毯 | 2010-02-11 15:29 | lifo 说：
这个跟欧拉公式有挺大关系
楼层: 地板 | 2010-02-11 15:57 | sss正和说：
建议：x、y可以取实数，但xy为正整数，这样的图像更连续一些，不知道是什么结果。
楼层: 地下室 | 2010-02-11 16:16 | 季陌,指尖冰凉说：
靠前,
楼层: 地基 | 2010-02-11 16:34 | biohu 说：
有意思
楼层: 地壳 | 2010-02-11 16:55 | yuan 说：
我是“地*”？
崇拜大牛有一段时间了
楼层: 地幔 | 2010-02-11 18:14 | maa04 说：
因数越多点越密？
楼层: 地核 | 2010-02-11 18:24 | 周说：
想问你个问题：无理数根号2，pi都可以用图形表示出来，那e可以吗？
楼层: 10楼 | 2010-02-11 18:59 | P.K. 说：
这个跟欧拉公式有挺大关系+1
楼层: 11楼 | 2010-02-11 23:08 | Skywayer 说：
能不能再试试其它的2^n,说不定更有趣...
楼层: 12楼 | 2010-02-11 23:25 | cat 说：
真的很有趣啊！！！变成圆的了^^
楼层: 12a楼 | 2010-02-12 0:01 | lifo 说：
12楼那个不是圆而是一个双曲线...
实际是对k是xy进行分解后所有质因子次数+1的乘积。之所以偶数图像有趣就是因为这意味着至少xy有一个偶重质因子，这保证了x与y不互质的出现，所以图像就好玩了。
楼层: 14楼 | 2010-02-12 0:06 | lifo 说：
sorry上边写错了，其实图像似乎和xy是否互质没什么关系
楼层: 15楼 | 2010-02-12 2:42 | morrowind 说：
Matrix67的Mathematica用的真实登峰造极啊
楼层: 16楼 | 2010-02-12 11:40 | 小楠说：
看了一上午介绍和12345，总算才知道一点。。。
楼层: 17楼 | 2010-02-13 1:54 | Fox 说：
2^n 似乎都有些奇怪得样子。
楼层: 18楼 | 2010-02-16 23:30 | h2feo4 说：
画成个立体图应该很有意思
把k作为竖坐标绘图
楼层: 19楼 | 2010-03-20 21:52 | dchneric 说：
64呢？128呢？256呢？
楼层: 20楼 | 2010-10-09 19:55 | Majesty 说：
把 k从小到大的几个图片连结成一个gif~~哈哈 ~
楼层: 21楼 | 2011-08-17 10:26 | orbea jersey 说：
蛮不错！
楼层: 22楼 | 2012-01-21 2:33 | ax_pokl 说：
你有没有发现，把斐波纳吉数列按照n进制排列，取出每个数个位数，另这些个位数排成的数列为a（n)，由（a(n),a(n+1)）组成的图像各不相同。
楼层: 23楼 | 2012-01-21 6:35 | ax_pokl 说：
program feibonaki;
uses graph,crt;

const
x1=52; y1=2;
x2=2; y2=2;
x3=20; y3=8;
color=white;
density=2000;{2<=density<=2000}
timestep=2;{2<=timestep=i then a[n]:=a[n]-i;
if (a[n]=0) and (a[n-1]=1) then over:=true;
n:=n+1;
until over=true;
bar(x1,y1,i+x1,j+y1);
for j:=1 to n do
putpixel(a[j-1]+x1,a[j]+y1,color);
str(n-1,str1);
str(i,str2);
bar(x2,y2,x2+x3+x3,y2+y3+y3);
outtextxy(x2,y2,str2);
outtextxy(x2,y2+y3,str1);
outtextxy(x2,y2+i*y3,str2);
outtextxy(x2+x3,y2+i*y3,str1);
delay(timestep);
end;
readln;
CloseGraph;
end.
楼层: 24楼 | 2012-01-21 6:40 | ax_pokl 说：
漏东西了。

program feibonaki;
uses graph,crt;

const
x1=52; y1=2;
x2=2; y2=2;
x3=20; y3=8;
color=white;
density=2000;{2<=density<=2000}
timestep=2;{2<=timestep=i then a[n]:=a[n]-i;{取个位数}
if (a[n]=0) and (a[n-1]=1) then over:=true;{判断是否已循环}
n:=n+1;
until over=true;

bar(x1,y1,i+x1,j+y1);
for j:=1 to n do
putpixel(a[j-1]+x1,a[j]+y1,color);
str(n-1,str1);
str(i,str2);
bar(x2,y2,x2+x3+x3,y2+y3+y3);
outtextxy(x2,y2,str2);
outtextxy(x2,y2+y3,str1);
outtextxy(x2,y2+i*y3,str2);
outtextxy(x2+x3,y2+i*y3,str1);
delay(timestep);
end;
readln;
CloseGraph;
end.
楼层: 25楼 | 2012-01-21 6:41 | ax_pokl 说：
var
gd,gm:integer;
i,j,n:integer;
a:array[0..42000] of integer;
over:boolean;
str1,str2:string;

begin
gd:=detect; {
gd:=D8bit;
gm:=m640x480;}
InitGraph(gd,gm,'');
Assert(graphResult=grOk);

for i:=2 to density do
begin
over:=false;
a[0]:=0;
a[1]:=1;
n:=2;
repeat
a[n]:=a[n-1]+a[n-2];{斐波纳吉数列生成}
if a[n]>=i then a[n]:=a[n]-i;{取个位数}
楼层: 26楼 | 2012-01-21 6:42 | ax_pokl 说：
for i:=2 to density do
begin
over:=false;
a[0]:=0;
a[1]:=1;
n:=2;
repeat
a[n]:=a[n-1]+a[n-2];{斐波纳吉数列生成}
if a[n]>=i then a[n]:=a[n]-i;{取个位数}
if (a[n]=0) and (a[n-1]=1) then over:=true;{判断是否已循环}
n:=n+1;
until over=true;

bar(x1,y1,i+x1,j+y1);
for j:=1 to n do
putpixel(a[j-1]+x1,a[j]+y1,color);
str(n-1,str1);
str(i,str2);
bar(x2,y2,x2+x3+x3,y2+y3+y3);
outtextxy(x2,y2,str2);
outtextxy(x2,y2+y3,str1);
outtextxy(x2,y2+i*y3,str2);
outtextxy(x2+x3,y2+i*y3,str1);
delay(timestep);
end;
readln;
CloseGraph;
end.
楼层: 27楼 | 2012-01-21 7:21 | ax_pokl 说：
program sushuxy; {本素数xy程序}
uses graph,crt;

const
color=white;
density=800;
display=250;
timestep=10;
clean=false;
colorchange=true;

var {本素数xy程序}
gd,gm:integer;
i,j,k,color1,p:integer;
a:array[0..density,0..density] of integer;
str1,str2:string;

begin {本素数xy程序}
gd:=detect; {
gd:=D8bit;
gm:=m640x480;}
InitGraph(gd,gm,'');
Assert(graphResult=grOk);

p:=(density div 2);
color1:=color;
for i:=1 to density do
begin
str(i,str1);
bar(p,p,p+30,p+10);
outtextxy(p,p,str1);
for j:=1 to density do
begin
for k:=1 to round(sqrt(i*j))-1 do
if (((i*j) mod k)=0) then a[i,j]:=a[i,j]+2;
if ((i*j) mod round(sqrt(i*j))=0) then a[i,j]:=a[i,j]+1;
end;
end;
for k:=1 to display do {本素数xy程序}
begin
if clean then bar(0,0,density,density);
for i:=1 to density do
for j:=1 to density do
begin
if colorchange then color1:=k;
if a[i,j]=k then putpixel(i,j,color1);
end;
str(k,str2);
bar(p,p,p+30,p+10);
outtextxy(p,p,str2);
delay(timestep);
end;
readln;
CloseGraph;
end.

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