令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像
icon2 Brain Storm | icon4 2009-12-09 17:46| icon338 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    Dan Christensen发现，把所有次数不超过5的、系数在-4到4范围内的整系数多项式的所有根描绘在同一个复平面上，你会看到一个异常壮观的画面。图中的每个灰色点代表某个二次多项式的一个根，蓝色点代表三次多项式的根，红色代表四次多项式的根，黑色代表五次多项式的根。水平线代表实轴，0和±1的地方有很明显的空洞；竖直方向是虚轴，每个单位根处也都有明显可辨的空洞。


 
 
    受到上述实验的启发，Sam Derbyshire决定画一张更一般的、分辨率更高的多项式复根图。考虑每个系数要么为1要么为-1的全体24次多项式，它们总共将产生24*2^24——约等于4亿——个根。他让Mathematica运行了四天四夜才算出所有这些根的位置，得到了大约5个G的数据。最后，他用一个Java程序画出了这些根在复平面上的分布图，奇迹出现了：

 
 
 
下面是一张局部放大图：

 
 
 
这是位于1附近的局部放大图：

 
 
 
这是位于4/5附近的局部放大图：

 
 
 
这是位于(4/5)i 附近的局部放大图：

 
 
 
最美的地方还是(1/2)*Exp(i/5)附近的局部放大图：

 
 
 
查看更多：http://math.ucr.edu/home/baez/roots/
 

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38 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2009-12-09 17:51 | Dai 说：

    = =难道是传说中的沙发？

  • 楼层: 板凳 | 2009-12-09 18:06 | pal_tongtong 说：

    数学的美丽！奇妙！

  • 楼层: 地毯 | 2009-12-09 19:48 | Aule 说：

    太漂亮啦！
    可不可以实现在空间里呢？

  • 楼层: 地板 | 2009-12-09 20:22 | Tweets that mention Matrix67: My Blog » Blog Archive » 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像 -- Topsy.com 说：

    [...] This post was mentioned on Twitter by PigheadX and YCF.name, netson. netson said: 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像 http://j.mp/6eAk3F [...]

  • 楼层: 地下室 | 2009-12-09 20:24 | hss 说：

    不错!
    我绘制的一个开3次方根的图,颜色由跌入根的速度等决定:
    http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb00.PNG
    一张五次的: http://p.blog.csdn.net/images/p_blog_csdn_net/housisong/280093/o_kb01.PNG

  • 楼层: 地基 | 2009-12-09 20:40 | crazylamb 说：

    最后一张好漂亮

  • 楼层: 地壳 | 2009-12-09 21:02 | P.K. 说：

    超神了

  • 楼层: 地幔 | 2009-12-09 21:21 | 天意 说：

    有点像fracture?

  • 楼层: 地核 | 2009-12-09 21:21 | vole 说：

    神！

  • 楼层: 10楼 | 2009-12-09 21:27 | 令人敬畏的数学：整系数多项式的根在复平面上的图像 at 男单 618 说：

    [...] 令人敬畏的数学：整系数多&#39... via Matrix67: My Blog by Matrix67 on 12/9/09 [...]

  • 楼层: 11楼 | 2009-12-09 21:44 | CpyPrefersYou 说：

    惊叹.

  • 楼层: 12楼 | 2009-12-09 22:07 | Магсн 说：

    比mandelbrot还强

  • 楼层: 12a楼 | 2009-12-09 22:23 | dutor 说：

    这难道是真的吗？

  • 楼层: 14楼 | 2009-12-09 22:50 | 3WATER 说：

    不会解方程，飘走

  • 楼层: 15楼 | 2009-12-09 22:52 | Righthand 说：

    整系数多项式确实有很多性质，黄金分割数(golden number)就是二次多项式的一个特殊的根。而其他的整系数二次多项式系数的根组成了所谓的metal number

  • 楼层: 16楼 | 2009-12-09 22:54 | cgy4ever 说：

    也许六次多项式会更美~
    可惜我们没有机会看到了...

  • 楼层: 17楼 | 2009-12-09 23:22 | biohu 说：

    赞叹………………
    地下室的也很好。

  • 楼层: 18楼 | 2009-12-10 0:44 | 3.1415926 说：

    不错,震惊. 地下室的比较漂亮~~~

  • 楼层: 19楼 | 2009-12-10 7:19 | multiple1902 说：

    太美了！

  • 楼层: 20楼 | 2009-12-10 8:50 | www.28.com 说：

    ps都弄不出的效果

  • 楼层: 21楼 | 2009-12-10 9:56 | ykzls 说：

    能提供源程序吗?我也运行几天试试.

  • 楼层: 22楼 | 2009-12-10 10:10 | gnaggnoyil 说：

    这个图像有什么特殊意义呢

  • 楼层: 23楼 | 2009-12-10 18:29 | 白左 说：

    exp(iπ/4) 这个点周围的根的密度分布好像电子云，切面分布还像粒子在一维有限势阱的薛定谔方程的常态解。。。。这里面有什么深层次的联系么。。。。太美妙了。。。

    话说M大牛很敏感啊~比松鼠会快了近18小时~

  • 楼层: 24楼 | 2009-12-10 20:10 | NirViaje 说：

    很明显这和某个复动力系统的分形轨有关.. .能找到这个动力系统会是很有意思的事

    btw - Carl Sagan的Contact里有这么段意思，也许改掉一点会更美妙:

    在最后它透过外星人说了一个“事实”(对我们而言可以说是个预言吧)。他说，每个超越数 (例如pi) 的数字，如果你算得够久，而且选对了基底 (3 进位、16 进位， ... 之类的)，你将会得到一连串的0和1。而这些0和1就是某种密码。这是内建在宇宙之中的固有讯息。书中的女主角“发现”了如果用11进位去算pi，算得够久之后，果然出现了0和1的讯号。把这些讯号用某种方式印在纸上(加上一些line feed)，那些1就形成一个圆，很动人的故事吧。

  • 楼层: 25楼 | 2009-12-10 22:30 | Eagle_Fantasy 说：

    美妙..

  • 楼层: 26楼 | 2009-12-10 22:45 | Phil 说：

    OMG...

  • 楼层: 27楼 | 2009-12-11 0:50 | zzz 说：

    好漂亮~~~数学果然充满着神奇

  • 楼层: 28楼 | 2009-12-11 9:38 | zenyhi 说：

    现在才明白数学是最美丽的这句话的意思，呵呵，还真的是美丽啊，呵呵

  • 楼层: 29楼 | 2009-12-11 18:36 | SixSheep 说：

    单位根上为什么会有空洞呢？

  • 楼层: 30楼 | 2009-12-11 23:22 | inothacker 说：

    太美了！只有赞叹！

  • 楼层: 31楼 | 2009-12-12 11:25 | charme 说：

    你这个博客是个什么版本?在哪里可以注册到？

  • 楼层: 32楼 | 2009-12-12 23:23 | xr 说：

    beautiful!!

  • 楼层: 33楼 | 2009-12-13 15:26 | digiter 说：

    从松鼠会转过来的?呵呵

  • 楼层: 34楼 | 2009-12-13 23:45 | morrowind 说：

    复杂的只是表象，宇宙是最简单的。

  • 楼层: 35楼 | 2009-12-14 22:52 | yh 说：

    5楼的图颜色调整一下貌似就可以当桌面了

  • 楼层: 36楼 | 2010-01-06 17:31 | 海藻 说：

    好神奇啊！

  • 楼层: 37楼 | 2010-02-20 2:59 | gypsy 说：

    好看

  • 楼层: 38楼 | 2010-03-29 1:10 | 浪潮网摘 说：

    太震撼了

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