Buffon投针实验:究竟为什么是pi?

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    数学学习真正悲哀的就是,记住了某个神奇而伟大的定理,看懂了其最严密的推导过程,但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的,直观理解往往是不准确的,但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释,这不但是一件很酷的事,而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助。我惊奇地发现,国内的每一本高数课本上都严格地讲解了微积分基本定理的证明,但几乎没有任何一个课本上讲过积分等于函数下方的图形面积究竟是为什么。事实上,这几乎是显然的,但还是有不少人学完微积分后仍然没有意识到。每当谈到这个问题时,我更愿意首先提出一个非常有启发性的事实——圆的周长是2·pi·r,圆的面积就是pi·r^2,后者的导数正好就是前者。这个现象是很容易理解的,因为圆的半径每增加一点,面积增加的就是周长那么一圈,换句话说面积的变化就等于周长。类似地,如果你能找到一个函数g(x),它的导数正好就是f(x),那么当x每增加一点,g(x)就增加了一条小竖线段,显然g(x)就应当是f(x)下方的面积。看清了这一点之后,我们才能欣赏到微积分基本定理真正牛B的地方。原先大家都是用分割求极限的办法来求函数下方的面积,但Leibniz却把面积看作一个可变的整体,用一种办法“一下子”就把它求了出来。有趣的是,这种现在看来如此自然的神奇办法,一千多年来居然没有任何人想到。

 
 
  

    数学中有很多直观上看很不可思议的东西。比如,神秘的常数pi就经常出现在一些貌似和它毫无关系的地方,其中最经典的例子莫过于Buffon投针实验。Buffon投针实验是说,假设地板上画着一组间距为1的平行线。把一根长度为1的针扔到地上,则这根针与地板上的平行线相交的概率为2/pi。很多概率论课本上都会用微积分计算可行范围的方法求解Buffon投针问题,计算过程显得相当麻烦。我一直觉得,这个问题一定有一个异常直观、一目了然的解释,不过我还从来没见到过,自己也没有想到过。今天,我偶然看到了这个网页,猛地一下恍然大悟。

 
 
  

    期望值的一个最引人注目的性质就是,E(A+B)=E(A)+E(B),不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝,不管它被弯成了什么形状,扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的,并且这个值是和L成正比的。这是因为,我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成;而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的,那么由期望值的线性关系,整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L,其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少,我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到,把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆,则把它扔到地上之后,它与这组平行线总有两个交点。这就是说,pi的c倍就等于2,即c等于2/pi。自然,一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi;而由于这根针与平行线要么没有交点,要么就只有一个交点,因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。

 
 
Update 1: 有人问到了关于圆的周长与面积关系的普适性问题。当边长增加时,正方形的面积变化应该是两个边长,而不是整个周长——边长增长的过程是线段的其中一个端点的移动过程,不是两个端点同时移动或者与中心的距离增加的过程。因此,正方形的面积x^2和两倍边长之间就有导数关系。这对于等边三角形又不再适用了,是因为等边三角形的面积变化不直接等于一个边长——由于边长增加的方向与面积扩展的方向并不垂直,这个面积变化应该缓于一个边长的扩张,具体地说应该等于√3/2个边长。
 
Update 2: 网友Wei分享了一个非常不错的网页供大家延伸阅读。他自己写了一篇介绍Buffon投针实验与定宽曲线的日志,相当强大。

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