趣题：以无理点为圆心的圆周上最多有多少个有理点？
icon2 Brain Storm | icon4 2009-10-02 11:28| icon328 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    由于勾股数组有无穷多个，因此以原点为圆心的单位圆上有无穷多个有理点。例如，(3,4,5)是一组勾股数，因此(3/5, 4/5)就是单位圆上的一个有理点。将这个圆的半径放大有理数倍，则原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点；将这个圆的圆心平移至一个有理点，则同样地，原来圆周上的有理点现在显然仍是有理点。于是我们得到这样一个结论：在平面直角坐标系内，任意一个以有理点为圆心，有理数为半径的圆周上总存在无穷多个有理点。我们不由得想到这样一个有趣的问题：如果一个圆的圆心是无理点（两个坐标中至少有一个不是有理数），那么圆周上的有理点个数还可能是无穷多个吗？若不是的话，最多能有多少个？


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    一个圆心位于无理点上的圆，其圆周上最多有2个有理点，例如圆心在(0,√3)，半径为2的圆将经过(1,0)和(-1,0)。但是，你绝对不可能构造出某个圆心为无理点的圆，它的圆周经过了两个以上的有理点。为了证明这一点，我们先来复习一下下面这些基本常识：
     1. 两个有理点的连线所在直线的方程一定是一个有理系数方程；
     2. 两个有理点的连线的中点也是一个有理点；
     3. 与斜率为α的直线垂直的直线，斜率为-1/α，两个斜率值要么同为有理数，要么同为无理数；
     4. 两个有理系数方程的公共解也一定是一个有理数。

    结合前面三点，我们立即可知，两个有理点的连线的垂直平分线，其对应的方程也一定是一个有理系数方程。现在假设我们的圆周上有三个有理点A、B、C。做出AB的垂直平分线，做出BC的垂直平分线，两条垂直平分线将交于圆心。但是，由上述第四条我们知道，这个交点一定是一个有理点，与题目的前提条件矛盾。

来源：http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/RationalPointsOnCircle.shtml

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28 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2009-10-02 12:17 | maxint64 说：

    哇 第一次沙发 对67牛膜拜以久了:)

  • 楼层: 板凳 | 2009-10-02 12:57 | 6V 说：

    沙发？

  • 楼层: 地毯 | 2009-10-02 13:54 | 4ever 说：

    沙发。。。

  • 楼层: 地板 | 2009-10-02 13:56 | hhdllhflower 说：

    sofa~
    Orz~

  • 楼层: 地下室 | 2009-10-02 13:56 | wecing 说：

    有意思～

  • 楼层: 地基 | 2009-10-02 14:02 | xxwzy 说：

    没搞到沙发。。。。

  • 楼层: 地壳 | 2009-10-02 14:09 | 神奇的西德尼 说：

    ...刚刚看了ctk上的这个更新也想写篇blog.

  • 楼层: 地幔 | 2009-10-02 16:11 | crazylamb 说：

    漂亮的证明

  • 楼层: 地核 | 2009-10-02 16:18 | 木子日匀 说：

    不错

  • 楼层: 10楼 | 2009-10-02 16:31 | Магсн 说：

    好强！

  • 楼层: 11楼 | 2009-10-02 19:32 | EnKa 说：

    this is a problem in last year's Putnam

  • 楼层: 12楼 | 2009-10-02 20:44 | A13 说：

    好帅～

  • 楼层: 12a楼 | 2009-10-02 21:23 | Laurence 说：

    这个证明不错

  • 楼层: 14楼 | 2009-10-02 22:31 | funphy 说：

    M牛家的沙发真多~

  • 楼层: 15楼 | 2009-10-03 6:59 | wuzhengkai 说：

    原来如此，很好很强大

  • 楼层: 16楼 | 2009-10-03 7:01 | wuzhengkai 说：

    不知道M牛对这个月IBM的题有没有研究

  • 楼层: 17楼 | 2009-10-03 15:36 | Tweets that mention Matrix67: My Blog » Blog Archive » 趣题：以无理点为圆心的圆周上最多有多少个有理点？ -- Topsy.com 说：

    [...] This post was mentioned on Twitter by cwyalpha. cwyalpha said: 趣题：以无理点为圆心的圆周上最多有多少个有理点？ http://www.matrix67.com/blog/archives/2390 [...]

  • 楼层: 18楼 | 2009-10-04 1:21 | A13 说：

    我发现无论什么时候伤心失恋了过来看一看就会好起来。。。。

  • 楼层: 19楼 | 2009-10-06 14:32 | vêtements femmes 说：

    我总结了一句话：世上没有谁会离开谁会活不了。！只是不习惯而已，久了日子照样过。。。。

  • 楼层: 20楼 | 2009-10-06 21:27 | A13 说：

    @vêtements femmes ：嗯嗯～今天和一个喜欢的男生出去玩。。。结果还帮他GF挑礼物= =||。。。

  • 楼层: 21楼 | 2009-10-06 23:40 | mathematics 说：

    哈哈，借地求教一个题：
    0.9×0.99×0.999×0.9999×……
    求极限

  • 楼层: 22楼 | 2009-10-06 23:42 | aestheticism 说：

    求教一个题：

    求0.9×0.99×0.999×0.9999×……的极限

  • 楼层: 23楼 | 2009-10-07 15:18 | A13 说：

    @aestheticism： 0.89吧

  • 楼层: 24楼 | 2009-10-07 15:57 | mayao11 说：

    无理数性质什么的，不懂。证明很精彩

  • 楼层: 25楼 | 2009-10-07 18:15 | A13 说：

    娘失恋了>_<///////.....哇。。。。。哭。。。。。

  • 楼层: 26楼 | 2009-10-08 12:30 | 白左 说：

    数论是一个坑

  • 楼层: 27楼 | 2009-10-09 12:44 | 白左 说：

    昨天搜索素数来着。。

  • 楼层: 28楼 | 2009-10-28 16:08 | Tough Guy 说：

    圆心在有理点, 半径是无理数的圆周上有多少个有理点呢 ?
    还是要看 半径是一个什么样的无理数 来定?

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