一个实际问题：如何放本本使得其占地面积最小？

Brain Storm | 2009-07-02 17:30| 45 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

    我的书桌已经乱到一定的程度了，以至于每次把笔记本从包包里拿出来，准备把它放到桌子上去时，我都要在桌子上非常下功夫地寻找一块能够放得下本本的空地。久而久之，我开始思考：怎样放置笔记本才能使得它占据桌面的面积最小，而又保证它不会掉下去呢？

 

    直觉告诉我们，最优的放置法应该是让笔记本中心正好与桌角重合，且与桌面的直角边成45度角（如图1）。假设笔记本的宽度为1，则该方案占据了1/4个单位的面积。我们猜测这个解不可能更优了，毕竟这是最对称的一个解。证明这个结论很简单。我们先来考虑笔记本重心与桌角重合的情况。

 
 

    假如我们的本本是正方形的话，问题就直接解了：不管以什么角度放在桌子一角，只要重心与桌角重合，所占的面积必然是1/4个单位（图2）。

 
 

    对于长方形的本本，只需要考虑长方形内所含的正方形（如图3）。可以看到，1/4个单位的面积（蓝色区域）无论如何都不会消失；想要消除图3中多出来的那块红色区域，我们必需把本本像图4那样成45度角地放置。

 
 

    至于重心不在桌角的情况，道理和上面一样：用沿桌子直角边平行的线把本本区域里的那个正方形分成四等份，则左上角那块区域一定在桌子内，因此，无论如何本本占地面积都不会小于1/4。

 
 

    注意到，上面的这些证明都假设我的桌面足够大，或者说桌子有两条边靠墙。如果本本下面用的是床上小桌板呢？此时，如图6所示，上述的证明不再成立，因为桌面太小可能导致那1/4个正方形伸出桌面。下面我们说明，假设桌子的宽度至少也是1个单位，那么1/4这个解依然是最优的。

 
 

    如果桌子宽度至少有1个单位，那么不管本本的重心在哪里，它到桌子四条边的距离中至少有两个超过了1/2。因此，桌面内必然能容得下一个半径为1/2的90度扇形。不过，这个扇形的面积只有大约0.2的面积，离我们的目标还有一定的距离。为此，让我们考虑在正方形的内接圆中作一块面积恰为1/4的图形，如图7。红色和绿色区域的面积均恰为1/4，据计算可知超出中心的那部分宽度大约为0.1。这样，不管本本怎么放，桌面上几乎总能容下一块红色区域或其旋转、翻转后的图形，除非本本的重心和离它最近的两条边的距离都小于0.1（图8.2中的蓝色区域）。而在这种特殊情况下，之前的那种老的证明方法又管用了，因为1/4个正方形的“高度”或者“宽度”不会超过根号2的一半，约为0.7，它不可能超出桌面的另一端。

本文来源于这篇论文。原文中还有一些有趣的结论，感兴趣的话可以看看。

Posted in Brain Storm
Tags: 照片, 证明, 趣题, 几何, 图片
Trackback: http://www.matrix67.com/blog/archives/2085/trackback
我猜您可能还喜欢：

• Steffen可活动多面体
• （组图）模式、分形与混沌：数学无处不在
• 欧拉的一篇研究报告：关于整数因子和的一个非常奇特规律的发现
• 趣题：哪条线段最长，哪条线段最短
• 趣题：单位正方形内相互分离的两个小正方形，其边长和小于1
• 趣题：等腰直角三角形与勾股定理形式的条件
• 等高线模式：解决极大极小问题的另类策略
• 史上最难的初等几何问题？分享一个参考答案

45 条回复

• 
  楼层: 沙发 | 2009-07-02 17:39 | primenumber 说：

  不错.有点儿意思......

• 
  楼层: 板凳 | 2009-07-02 17:46 | Robbin 说：

  哇 沙发！！！！！

• 
  楼层: 地毯 | 2009-07-02 17:46 | Robbin 说：

  那个证明在旋转过程中面积始终是1/4的问题是我们的期末考试题

• 
  楼层: 地板 | 2009-07-02 18:06 | iceberg 说：

  哇……此图可还原M同学的工行帐号……:D

• 
  楼层: 地下室 | 2009-07-02 20:14 | andy 说：

  分辨率有点不够

• 
  楼层: 地基 | 2009-07-02 22:39 | flyink 说：

  有意思～挺实用的～～推导思路挺好玩～

• 
  楼层: 地壳 | 2009-07-02 23:38 | 午夜客 说：

  放在地上或站着放！

• 
  楼层: 地幔 | 2009-07-03 0:48 | 心神不宁 说：

  汗……把桌子清理下不就完了。。。。

• 
  楼层: 地核 | 2009-07-03 3:20 | roof 说：

  你这样子本身就是极端错误的，杂乱的桌子会浪费你很多宝贵的时间，收拾下桌子有那么难吗？

• 
  楼层: 10楼 | 2009-07-03 7:33 | Leeroy 说：

  类似内存管理的桌面风格，我喜欢……
  其实把屏幕翻开可以占用更少的面积:p

• 
  楼层: 11楼 | 2009-07-03 8:19 | multiple1902 说：

  赞，生活中的数学

• 
  楼层: 12楼 | 2009-07-03 8:25 | glacjay 说：

  那样放就不要想用了

• 
  楼层: 12a楼 | 2009-07-03 9:01 | q 说：

  难道不是立起来放么？挂在墙上=。=

• 
  楼层: 14楼 | 2009-07-03 9:06 | crazylamb 说：

  我的桌子也有这么乱...同病相连

• 
  楼层: 15楼 | 2009-07-03 9:07 | Superwyh 说：

  是不是不敲键盘了？

• 
  楼层: 16楼 | 2009-07-03 9:22 | 爱思鱼 说：

  哥们只放那不用呀，手一放上本本掉下来了。如果单纯为了放下的话，立起来更省，比1/4还省。

• 
  楼层: 17楼 | 2009-07-03 10:00 | cuiaoxiang 说：

  把它当作一个纯粹的智力游戏还是有趣的。不过想减小桌面占用面积可以在本本上再压一本牛津高阶字典

  前几天我帮导师改卷子的时候想到了一个问题，卷子改完以后导师要求按分数排序，现在有4个学生，100份卷子。怎么分派任务效率最高。问题这里和计算机不太一样，计算机实现起来很方便，人工实现如果把卷子摆放的到处都是就不好，所以一般都是把“数组”垒起来的，而不是展开放，所以你不能类似计算机的random access，卷子垒起来以后访问某张卷子是类似一个跳跃表的链表。
  ps: 最后我们是用了桶排序的方法，对每个桶自己乱插卷子

• 
  楼层: 18楼 | 2009-07-03 10:54 | GHawk 说：

  当你打开屏幕，可以利用杠杆原理进一步减少本子与桌面的接触面积。

• 
  楼层: 19楼 | 2009-07-03 11:33 | Izual_Yang 说：

  把笔记本翻开，像书本一样立起来。

• 
  楼层: 20楼 | 2009-07-03 14:58 | Matrox 说：

  问题是你要以多大的可靠性保证它不会掉下来

• 
  楼层: 21楼 | 2009-07-03 15:21 | redswallow 说：

  ft...太无解了

• 
  楼层: 22楼 | 2009-07-03 15:39 | 天津培训招生 说：

  分析的不错

• 
  楼层: 23楼 | 2009-07-03 15:40 | 3G手机网 说：

  真正的理论联系实际

• 
  楼层: 24楼 | 2009-07-03 15:41 | 天津培训招生 说：

  很不错的文章

• 
  楼层: 25楼 | 2009-07-03 16:09 | ykzls 说：

  桌上的小P借我玩两天.

• 
  楼层: 26楼 | 2009-07-03 17:07 | jayhaizeizai 说：

  把笔记本竖立，详见PS2的竖立方法

• 
  楼层: 27楼 | 2009-07-03 17:22 | multiple1902 说：

  什么形状的桌面上放笔记本，本子的重心必然在桌面上？什么样的可以不这样？临界条件是什么？

• 
  楼层: 28楼 | 2009-07-03 22:49 | 六只会飞的羊 说：

  17楼：排卷子我一般倾向于使用二分插入排序，尤其是卷子比较多而桌面空间不够的时候。

• 
  楼层: 29楼 | 2009-07-03 23:42 | Keon 说：

  加一层

• 
  楼层: 30楼 | 2009-07-04 2:46 | fengzee 说：

  为什么此文第一张图，我乍看上去像是写实风格的动漫截图而不像是照片，那质感，尤其是P、银行卡和本本的表面联合起来更有那种感觉……M67用PS调过吗？

• 
  楼层: 31楼 | 2009-07-04 7:37 | multiple1902 说：

  @fengzee
  当然调过，难道让你看出他银行卡账号吗？^_^

• 
  楼层: 32楼 | 2009-07-04 11:27 | gnaggnoyil 说：

  M67您的本怎么和我的一样......

• 
  楼层: 33楼 | 2009-07-04 11:40 | NULL 说：

  我骤然发现那张牡丹贷记卡我也有……
  不过是MasterCard不是VISA……

• 
  楼层: 34楼 | 2009-07-04 15:53 | 纳米黑客 说：

  前提是笔记本的质量均匀吧...

• 
  楼层: 35楼 | 2009-07-04 16:48 | LXME 说：

  創意非常帥……但是本本那樣放貌似會壞掉……

• 
  楼层: 36楼 | 2009-07-05 17:46 | gnokuw 说：

  我也是用Thinkpad
  而且我用和你一样的水性笔！！！
  很便宜也很好写！

• 
  楼层: 37楼 | 2009-07-05 20:28 | 1mojim 说：

  有钱且幸福着。。

• 
  楼层: 38楼 | 2009-07-05 23:33 | yayv 说：

  您这种放法必然是非工作状态了，不然重心肯定会在打开的屏幕一边。既然是非工作状态，何不立起来放呢？

• 
  楼层: 39楼 | 2009-07-06 6:34 | multiple1902 说：

  @楼上的太聪明了

• 
  楼层: 40楼 | 2009-07-06 9:58 | VioletDream 说：

  38楼先说了。。。 我的本子不用的时候就经常立着

• 
  楼层: 41楼 | 2009-07-07 23:13 | XD 说：

  还是不够实际,碰一碰就掉下去了.
  既然是实际问题就应该考虑多种情况,比如地震..

• 
  楼层: Answer to Life, the Universe, and Everything | 2009-07-07 23:15 | XD 说：

  ..以及能造成简谐振动的各种运动

• 
  楼层: 43楼 | 2009-07-12 17:47 | xcjzj 说：

  突然发现我有一张跟你一样的工行信用卡。当然，那几个数字和后面的签名肯定是不一样的哈~~

• 
  楼层: 44楼 | 2009-09-18 17:59 | XeCycle 说：

  难道不是放在腿上么？要知道laptop本来就是这意思啊。
  其实就放笔记本来说，没有任何实际意义，至于放其他物品的时候，就难说了。能实现的平衡当然一定是稳定的，只是稳定范围的差别了。这种稳定……我认为这不过是道几何题。

• 
  楼层: 45楼 | 2009-10-07 19:13 | stlyx 说：

  其实可以试试吊起来

您也随便说几句吧：