一条直径可以把圆面积二等分。两条互相垂直的直径可以把圆面积四等分。不过,对于任意的N,将圆面积等分为N个部分并不容易,因为圆周上的N等分点并不总是能用圆规和直尺做出来。1801年,Gauss证明了当n为2的幂和若干Fermat素数的乘积时,正n边形可以用尺规作出图来,同时他猜想这也是必要条件。1837年,Pierre Wantzel证明了这个条件的必要性。第一个无法用尺规完成作图的正多边形是正七边形,也就是说你永远无法仅用直尺和圆规找出圆周上的七等分点。
不过,这并不意味着我们不能将圆面积分成面积相等的七份。事实上,有一种方法可以将圆分成N个面积相等的部分,其中N可以为任意正整数。你能想到这种方法吗?如果我们还要求各部分周长也相等呢?
上图就是一种将圆面积等分为七块的示意图。这些同心圆的半径分别为√1/7, √2/7, …, √6/7。注意这些值都是可以用尺规作出来的。注意两直角边分别为1和√a的直角三角形,斜边为√a+1。从a=1开始出发不断迭代,我们可以依次作出√2、√3、√4等值,再利用相似三角形即可完成除法操作。
不过,这个分法并不算一个“正统”的分割方法。如果我们要求每个线条都必需从圆周上出发,并且落脚于圆周上的另一点呢?
存在很多等分圆面积的切分方案,但我们却不能用尺规作出来。例如,用N-1根平行的直线总能把圆面积等分为N份,可惜每根直线的位置在哪里需要用到微积分计算,其结果是一个超越方程,无法用尺规作图完成。当然,能用尺规作图完成的分割方法还是有的,不过要想到这种方法并不容易。我们首先作出直径上的七等分点(注意尺规N等分给定线段是可以办到的——可以利用前面的相似三角形做法得到1/N的长度),然后像图中那样依次作出12个半圆弧。做一些简单的计算就可以验证,这些半圆弧形成的七个区域的面积确实是相等的。
另外,值得一提的是,这个切分方法还有一个神奇的性质:它的每一部分的周长都是相等的。
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求Fermat素数才能作正多边形的必要性证明
问matrix67一个小问题,你的博客上的这些几何图使用什么工具制作的?
不知这种灯笼形的该怎么作
http://www.5cchina.com/vipcom/A3-6008A/20071217145858.jpg
忽然又想起
怎样把椭圆用尺规作图n等分??
同问是用什么做的,有没有能结合几何画板和cad的功能,还能在linux里运行的?
我的要求似乎有点高,呃
趁楼层还能在地球上, 留句话先.
地壳下边也还在地球上吧呵呵
= = 尺规作图很强大的
这图很强大 很有原理又美观,赞一个
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