2007-03-14 2:38| 
22 Comments | 本文内容遵从 我喜欢各种各样的证明。有史以来我见过的最诡异的证明写在http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=34。人们很难想到这样一些完全找不到突破口的东西竟然能够证明得到。说“没有突破口”还不够确切。准确地说，有些命题多数人认为“怎么可能能够证明”却用了一些技巧使得证明变得非常简单。我看了五色定理的证明，定理宣称若要对地图进行染色使得相邻区域不同色，五种颜色就够了。没看证明之前，我一直在想这个玩意儿可以怎么来证明。直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且立即意识到四色定理基本上也是这种证明方法。还有，像“一个单位正方形里不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的小正方形”这样的命题竟然完全用初中学的那些平面几何知识证明到了，简单得不可思议。关键是，我们能够读懂证明过程，但只有牛人才能想到这个证明过程。
今天在OIBH上看到了这个帖子，帖子中哲牛分享的一篇文章The Power Of Mathematics恰好说明了这一点。文章中包含有一个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这一个一起写下来。
如何证明存在一种不能表示为两个整数之比的数？
古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“大自然的一切皆为整数之比”的思想统治了古希腊数学相当长的一段时间，许多几何命题都是根据这一点来证明的。当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表示为整数之比”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。直到有一天，毕达哥拉斯的学生Hippasus告诉他，单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。被人们公认的假设被推翻了，大半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学大厦轰然倒塌，数学陷入了历史上的第一次危机。最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。今天我们要看的是，为什么单位正方形的对角线长度不能表示为两个整数之比。
单位正方形的对角线长度怎么算呢？从上面的这个图中我们可以看到，如果小正方形的面积是1的话，大正方形的面积就是2。于是单位正方形的对角线是面积为2的正方形的边长。换句话说，Hippasus认为不可能存在某个整数与整数之比，它的平方等于2。
中学课程中安排了一段反证法。当时有个题目叫我们证根号2是无理数，当时很多人打死了也想不明白这个怎么可能证得到，这种感觉正如前文所说。直到看了答案后才恍然大悟，数学上竟然有这等诡异的证明。
当然，我们要证明的不是“根号2是无理数”。那个时候还没有根号、无理数之类的说法。我们只能说，我们要证明不存在一个数p/q使得它的平方等于2。证明过程地球人都知道：假设p/q已经不能再约分了，那么p^2=2*q^2，等式右边是偶数，于是p必须是偶数。p是偶数的话，p^2就可以被4整除，约掉等式右边的一个2，可以看出q^2也是偶数，即q是偶数。这样，p也是偶数，q也是偶数，那么p和q就还可以继续约分，与我们的假设矛盾。
根号2是无理数，我们证明到了。根号3呢？根号5呢？你可能偶尔看到过，Theodorus曾证明它们也是无理数。但Theodorus企图证明17的平方根是无理数时却没有继续证下去了。你可以在网上看到，Theodorus对数学的贡献之一就是“证明了3到17的非平方数的根是无理数”。这给后人留下了一个疑问：怪了，为什么证到17就不证了呢？一个俄国的数学历史家“猜”到了原因。
他猜测，当时Theodorus就是用类似上面的方法证明的。比如，要证明根号x不是有理数，于是p^2=x*q^2。我们已经证过x=2的情况了，剩下来的质数都是奇数。如果x是奇数且p/q已经不能再约分，那么显然p和q都是奇数。一个奇数2n+1的平方应该等于4(n^2+n)+1，也即8 * n(n+1)/2 + 1，其中n(n+1)/2肯定是一个整数。如果p=2k+1，q=2m+1，把它们代进p^2=x*q^2，有8[k(k+1)/2 - x*m(m+1)/2] = x-1。于是x-1必须是8的倍数。如果当时Theodorus是这么证明的，那么他可以得到这样一个结论，如果x-1不能被8整除，那么它不可能被表示成(p/q)^2。好了，现在3、5、7、11、13减去1后都不是8的倍数，它们的平方根一定不是有理数。在x=9时发生了一次例外，但9是一个平方数。而当x=17时这种证明方法没办法解释了，于是Theodorus就此打住。
实际上，我们上面说的这么多，在古希腊当时的数学体系中是根本不可能出现的。毕达哥拉斯时代根本没有发展出代数这门学科来，它们掌握的只是纯粹的几何。因此，Hippasus当时的证明不可能像我们现在这样搞点什么奇数x偶数y之类的高科技东西。事实上，Hippasus当时完全运用的平面几何知识来证明他的结论。有人觉得奇怪了，既然当时没有代数，古希腊人是怎么提出“所有数都可以表示为整数之比”的呢？其实古希腊人根本没有提出什么整数之比，这是后人的一个误解。当时毕达哥拉斯学派提出的，叫做“公度单位”。
两条线段的公度单位，简单的说就是找一个公度量，使得两条线段的长度都是这个公度量的整倍数（于是这个公度量就可以同时作为两条线段的单位长度并用于测量）。寻找公度量的方法相当直观，就是不断把较长的那个线段减去短的那个线段，直到两个线段一样长。熟悉数论的同学一下就明白了这就是欧几里德的辗转相除算法求最大公约数。第一次数学危机的根结就在于，古希腊人理所当然地相信不断地截取线段，总有一个时候会截到两个线段一样长。后来，Hippasus画了这么一张图，告诉大家了一个反例：有可能这个操作会无穷尽地进行下去。
现在看他怎么解释，在图中的BC和BD之间进行辗转相除为什么永远不能停止。把BD减去BC，剩下一段DE。以DE为边做一个新的小正方形DEFG，那么显然DE=EF=FC（∵△EDF为等腰直角且△BEF≌△BCF）。接下来我们应该在BC和DE间辗转相除。BC就等于CD，CD减去一个DE相当于减去一个FC，就只剩下一段DF了。现在轮到DE和DF之间辗转相除，而它们是一个新的正方形的边和对角线，其比例正好与最初的BC和BD相当。于是，这个操作再次回到原问题，并且无限递归下去。最后的结论用我们的话说就是，不存在一个数x使得BC和BD的长度都是x的整倍数。于是，BD/BC不能表示为两个整数之比p/q（否则BD/p=BC/q，这就成为了那个x）。
有发现上面的代数证明和几何证明之间的共同点吗？它们都是这样的一个思路：假设我已经是满足这个性质的最小的那个了，那么我就可以用一种方法找出更小的一个来，让你无限循环下去，数目越来越小，永无止境。严格的数学证明中你或许会看到这样一句话：“不失一般性，设n为最小的满足……”
这种证明方法应用很广。比如，证明3^n不能表示为两个正整数的平方和。我假设存在一个最小的n使得x^2+y^2=3^n，那么x^2+y^2可以被3整除，于是x和y也应该能被3整除（一个正整数的平方除以3，要么除尽，要么余1）。假如x=3p，y=3q，那么(3p)^2+(3q)^2=3^n，即9(p^2+q^2)=3^n，那么。p^2+q^2=3^(n-2)，这和n最小的假设矛盾。换句话说，你永远找不到最小的，你必须一直递归下去。
对于根号2是无理数的问题，下面一个证明使用了与上例几乎相同的解决方法。
如果√N不是整数的话，假设√N=A/B（化到最简），那么NB/A=A/B。化成带分数后，NB/A和A/B的分数部分是形如a/A和b/B的形式，其中a<A且b<B。如果两个数相同，那它们的小数部分也应该相同，于是a/A=b/B。我们发现，a/b = A/B =√N，即我们找到了√N的更简的表达形式a/b。
接下来的两个证明才是我佩服的，真正的Very Simple & Very Tricky。
下面的这个证明曾经是我最喜欢的关于无理数的存在性的证明，它实在是太神奇了。
假设(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子（x^2的所有质因子就是把x的质因子复制成两份）。于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法（唯一分解定理）。
这个证明还有一种更加神奇的变化。p^2和2q^2的质因子中，因子2的个数肯定是一奇一偶。那么它们转化成二进制后，末尾0的个数肯定也是一奇一偶。因此，这两个数不可能相等。
今天，我见到了一个更加简洁的证明。它就来源于哲牛介绍的那篇文章。这个证明虽然与前面的证明有些类似，但它的简洁性足以让我打算写下今天这篇4000字的文章。看后我大为折服，这真的叫做the power of simple ideas in mathematics。
同样是证明不存在整数p, q使得p^2=2q^2，这个证明只需要一句话。假如p、q是最小的正整数使得p^2=2q^2，看图，两个边长为q的小正方形放在一个边长为p的大正方形里，那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和（面积守恒），于是我们就找到了具有同样性质的更小的整数p和q。仔细体会一下这个“面积守恒”，如果A+B=C，那么A和B重复计算了的必然是C里还没有算过的。很有意思。
2007.05.21更新第六种方法：http://www.matrix67.com/blog/article.asp?id=251
Matrix67原创
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22 条回复
您也随便说几句吧：
确实.初二数学书里面的证明太诡异了.
以至于我们伟大的数学老师直接忽略..
Simple Is The Best!
好帖 你的做事风格和我一样啊 能不能交个朋友啊
我的qq号:544803007
期待
回复：188932899，QQ多年不上，建议用MSN联系
p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。
This is not actually true. p^2 actualy has odd Prime numbers, so as q^2. and you cannot directly decide the odd/even prime numbers of 2q^2.
If q=2, 2q^2 also has even prime numbers; If not, then odd..
PS: 1 is not a prime number
回复：nope. when talking about numbers of prime factors, duplicates need to be counted, so the fundamental theorem of arithmetic can be applied
Contact with me:
Space: http://michelle32251988.spaces.live.com
MSN: michelle3225@hotmail.com
Sorry. Below statement is a little bit wrong..
If q is even, 2q^2 also has odd prime numbers; If not, then even..
“那么图中深灰色正方形的面积就等于两个白色正方形面积之和（面积守恒），于是我们就找到了具有同样性质的更小的整数p和q。”
c的面积是整数，可能还不能直接说c的边长就是整数。
回复：p-q和2q-p一定是整数
[...] 下面将提到的一个定理也是看上去非常显然的。算术基本定理是说，任意一个大于1的正整数都能表示成若干个质数的乘积，且表示的方法是唯一的。换句话说，一个数能被唯一地分解成质因数的乘积。因此这个定理又叫做唯一分解定理。唯一分解定理是数论中最最基本的定理之一，如果连这个定理都错了，那整个算术也就不存在了。很多结论的证明过程都用到了这一事实，例如我们可以用这个定理来证明根号2是无理数： 假设(p/q)^2=2，那么p^2=2q^2。我们将要证明，一个数的平方等于另一个数的平方的两倍是根本不可能的。如果对一个平方数分解质因数，它必然有偶数个因子（x^2的所有质因子就是把x的质因子复制成两份）。于是，p^2有偶数个质因子，q^2有偶数个质因子，2q^2有奇数个质因子。等号左边的数有偶数个质因子，等号右边的数有奇数个质因子，大家都知道这是不可能的，因为同一个数只有一种分解质因数的方法（唯一分解定理）。 [...]
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[...] 相关文章：五种方法证明根号2是无理数，又一种证明根号2是无理数的方法 Posted in Brain Storm Tags: 证明, [...]
我觉得不能因为"这个操作会无穷尽地进行下去。"就说明这个数不存在.
极限便是一个很好的例子.
大牛……
膜拜已久，这篇帖子看了N遍，很受启发。
打算写一篇小论文关于这个，会不会涉及版权啊、呵呵，。
无穷递降法：
p^2=2q^2推出(2q-p)^2=2(p-q)^2
[...] 古希腊的大哲学家 Pythagoras 很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一—— Pythagoras 学派。 Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。 第一个无理数 √2 的发现者就是一位 Pythagoras 学派的学者，他叫做 Hippasus 。据说，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题：边长为 1 的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗？ Pythagoras 自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条，因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。 利用勾股定理可知，这个数是方程 x^2 = 2 的唯一正数解，我们通常就记作 √2 。 √2 可能是最具代表性的无理数了，我们之前曾经介绍过很多 √2 的无理性的证明。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些轰然倒塌。 无理数虽说无理，在生产生活中的用途却是相当广泛。例如，量一量你手边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的比值就约为 1.414 。这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来一样。因此，如果原来的长宽比为 x : 1 ，新的长宽比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。 [...]
最后一个证明，如果q太小以至于q边长的两个正方形不相交，中间深灰色正方形不存在，则证明不成立.
不相交则2*q^2 < p^2
回复14楼ppmm:
如果不相交,那么两个小正方形的面积的和就不等于大面积啦
[...] 古希腊的大哲学家 Pythagoras 很早就注意到了数学与大千世界的联系，对数学科学的发展有着功不可没的贡献。他还创立了在古希腊影响最深远的学派之一—— Pythagoras 学派。 Pythagoras 学派对数字的认识达到了审美的高度。他们相信，在这个世界中“万物皆数”，所有事物都可以用整数或者整数之比来描述。 第一个无理数 √2 的发现者就是一位 Pythagoras 学派的学者，他叫做 Hippasus 。据说，一日 Hippasus 向 Pythagoras 提出了这样的问题：边长为 1 的正方形，对角线长度能用整数之比来表示吗？ Pythagoras 自己做了一些思考，证明了这个数确实无法用整数之比来表示。由于这一发现触犯了学派的信条，因此 Pythagoras 杀害了 Hippasus 。 利用勾股定理可知，这个数是方程 x^2 = 2 的唯一正数解，我们通常就记作 √2 。 √2 可能是最具代表性的无理数了，我们之前曾经介绍过很多 √2 的无理性的证明。无理数的出现推翻了古希腊数学体系中的一个最基本的假设，直接导致了第一次数学危机，整座数学大厦险些轰然倒塌。 无理数虽说无理，在生产生活中的用途却是相当广泛。例如，量一量你手边的书本杂志的长与宽，你会发现它们的比值就约为 1.414 。这是因为通常印刷用的纸张都满足这么一个性质：把两条宽边对折到一起，得到一个新的长方形，则新长方形的长宽之比和原来一样。因此，如果原来的长宽比为 x : 1 ，新的长宽比就是 1 : x/2 。解方程 x : 1 = 1 : x/2 就能得到 x = √2 。 圆周率 π ≈ 3.1415926535897932385 [...]
[...] matrix67大牛的blog今天三周年了~~这是他推出的三周年的精选回顾全是精华阿 看看下面的这些文章，谁能看出这是个文科生(传说中去北大中文系泡妞?!)原文的地址: http://www.matrix67.com/blog/archives/5581. 原创科普说明文：递归假期的一篇作文，叫我们写任一说明文。我把这篇作文发到了我的Blog上。这可能是我Blog最早的技术文章，它确定了我以后类似文章的写作风格。2. 非常奇妙的证明：图形必在格点之外翻译的cut-the-knot上的一篇文章。这是我所见到的最elegant的证明之一，在饭桌上提到证明问题时我经常会举这个例子。几个好友很早就开始阅读我的Blog，他们一致认为这是最令人难忘的一篇日志。3. 几个把平面几何问题的辅助线做到空间去的数学趣题也是翻译的cut-the-knot上的系列文章，当时觉得确实非常神奇。后来的学习发现，其实射影几何中有更多有趣的例子。4. 追溯羊与车：Monty Hall Dilemma问题的故事我们数学老师提到了Monty Hall问题，他的说法是错误的，因此才写下这篇文章。当时写这篇文章主要是给我的同学看，因为那时这个Blog几乎只有我们同学才上。5. 几个很强的数列这是我在The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences找到的，非常强。不是经常有考什么数列找规律的么？从这里面随便挑一个来，不查数列百科全书的话别人几乎不可能找出规律来。6. 爱的方程式惊奇函数图像系列文章的第一辑。后来渐渐有了3D桃心函数、阴阳图函数、公式生成的色情图片等一系列的东西。7. 什么是P问题、NP问题和NPC问题这可能是我写的最长的一篇原创文章了。很多网友都说，在类似的文章中这一篇是讲解最清楚、最通俗易懂的。8. KMP算法详解可能是这个Blog最经典的文章了。不少朋友最初都是找KMP算法找到这个Blog来的。9. 位运算讲解系列文章应该是这个Blog里第二经典的文章了。10. 无限小却无限大的集合 & 阶梯状的连续函数前段时间我和一帮人在饭桌上提到了诡异的函数，比如处处连续处处不可导的函数、除常函数外没有最小正周期的周期函数、导数为正却找不出单增区间的函数、平面上任意小的范围内均能找到一点的单值函数、在有理点处处不连续在无理点处处连续的函数（俗称爆米花函数）。但处处连续的阶梯函数，很多人可能还是第一次听说。挺好玩的。11. 令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数牛！这个牛！想看一些精妙的证明，体会到数学证明的神奇之处的话，从这里开始是一个不错的选择。12. 从零开始学算法：十种排序算法介绍（上）这个也牛！同样地，如果想看一些精妙的算法和复杂度的分析证明，体会CS的乐趣，从这里开始是一个不错的选择。13. 从零开始学算法：十种排序算法介绍（中）这篇日志里讲了快速排序的平均复杂度的分析和证明，很强大很科学。初学算法的人经常会忽略复杂度分析这一步，学过一段时间后回过头来看看经典算法的复杂度分析是很有益的。14. 从零开始学算法：十种排序算法介绍（下）没啥好介绍的……以后有些没什么特别背景的日志我就不附加文字介绍了，不然写着好累。15. 无题 于2007年5月16日现在我已经很少在自己的Blog里写我的感情生活了。这是我在19岁生日那天写的。16. 数论部分第一节：素数与素性测试17. 神奇的分形艺术（一）：无限长的曲线可能围住一块有限的面积分形艺术系列的开篇。分形这个东西其实挺好玩的。18. 十大另类程序语言（上）19. 十大另类程序语言（下）哈哈，这个好玩！！有几个语言相当搞笑，挺佩服老外的想象力的。20. 令人敬畏的十维空间出人意料的结论。对应的几何图像太难以想像了。我一直想写一篇描述四维几何形状的文章，至今仍未动键盘。21. 十个有趣的英文文字游戏（上）22. 十个有趣的英文文字游戏（下）很早就对英文文字游戏感兴趣，看到过不少，记了各种性质独特的英文句子。有一天突然想整理出来写一下，于是有了这两篇日志。中文其实也有很多好玩的东西，比如对联啊，灯谜啊，拆字啊，断句啊，回文句啊等等。23. 神奇的分形艺术（四）：Julia集和Mandelbrot集还是在饭桌上，每次提到数学神秘得令人恐惧时我都会讲起这个。真是太神奇了，一个如此简单的过程竟然可以生成这般复杂玄妙的分形图形。24. Tupper自我指涉公式：图象里竟然包含式子本身数学中的魔术，非常有意思。本以为非常神奇，揭秘之后恍然大悟——不过如此。25. 编辑距离、拼写检查与度量空间：一个有趣的数据结构26. Poincaré圆盘模型：一个神奇的双曲世界进北大时恰逢数学文化节十周年，数院开了一系列精彩的讲座。我去听了其中三个讲座，这是我听过的最精彩一次。看《什么是数学》时看到了相关的内容，再结合这里的一些东西仔细品味了一下，真是科学得无与伦比。以后我还将引用到这篇日志。27. 等高线模式：解决极大极小问题的另类策略Pólya的《数学与猜想》确实是一本好书。我在这本书里学到了好多东西，其中一个最主要的收获就是这套诡异的极大极小问题解决办法。28. 趣题：直觉 VS 理性思考 经典概率问题29. 另类搞笑：自我指涉例句不完全收集AboutMe里就提到，我喜欢带有递归和自我指涉的句子。一直收集着很多这样的句子，终于决定整理出来和大家分享。30. 物理方法解决数学问题（二）：Archimedes与球体积公式31. 趣题：n为奇数时，正n边形的三角形剖分内有且仅有一个锐角三角形从EagleFantasy那里挖来的，是我目前最喜欢的“一句话证明”。跟别人提到“一句话证明”时我必然会拿它当例子。32. 物理方法解决数学问题（四）：Fermat-Torricelli问题33. 证明实数区间不可数的新方法我喜欢讲课，喜欢听每次揭晓“谜底”后下面的人恍然大悟的感叹声，喜欢从基本结论出发一步步推出不可思议的结论。在所有科学的东西里，我最爱讲的，最具悬念，最有戏剧性，结论最令人惊讶，最能颠覆传统观念就是对无穷集合势的分析了。从有限到无限，从可数到不可数，以及直线和平面上的点一一对应等等，每一个证明都令人拍案叫绝。这里提到了实数区间不可数与博弈游戏的关系，从一个全新的角度来看连续统，分析证明过程实在巧妙。34. 趣题：一个与Hamilton回路有关的问题35. 100囚犯问题、100囚犯问题加强版与选择公理（上）36. 100囚犯问题、100囚犯问题加强版与选择公理（下）37. 趣题：构造函数使得平面上任意小的圆内均包含函数上的点有一天突发奇想，到豆瓣的数学小组去逛了一圈，然后发现了这个神奇的东西。38. 很诡异的博弈问题分析方法39. 趣题：猜帽子游戏与Hamming编码40. 趣题：构造游戏初始状态使得后行者必胜41. 物理方法解决数学问题（五）：一个与椭圆有关的性质42. 趣题：量子计算机、另类编程语言和幂函数的解释43. 趣题：对数字进行编码使其按字典序排列后仍然有序这两篇日志是相当科学的算法题。很长时间没看到这么经典有趣的题目了，特别是前面那篇。44. 神奇的锈规作图：单用一个只能画单位圆的圆规如何作等边三角形这个精彩，强烈推荐一下。45. 矩阵、随机化与分形图形某留学Stetson大学的MM一次在校内上发日志链接到了我的Blog，我回访回去时认识了她。我和Stetson MM网恋了一段时间，发国际短信花了我不少钱。后来Stetson MM有了男朋友了，这段故事就此告终。这告诉我们：建网站来吸引MM终究是不可靠的。Stetson MM是我所见过的最适合我的MM，其思维的相似程度达到了令人惊讶的地步，世界上居然有一个如此像我的异性真是不可思议！这篇日志与Stetson MM在线性代数课上的一个课题研究有关。Stetson MM告诉我，她一个同学看到这篇日志后问她我Blog里的Stetson MM是不是指的她，她惊呼“你也订阅了这个Blog”呀。Small world。当时这篇日志在抓虾上的推荐数很是让我吃惊。46. 分享一些有趣的面试智力题（上）47. 分享一些有趣的面试智力题（下）48. 20年的时间里你可以做些什么？今年我20岁生日时写下的一篇特别的日志。神奇的是，这篇日志的ID正好也是我的生日——516。49. 趣题：空间四边形外切于给定球，求证四切点共面50. 趣题：直尺不够长时如何作出连接两点的直线？《什么是数学》中与射影几何相关的一个习题。当时我曾经在古汉课上大叫“太科学了”。 M12 Puzzle 传Google2亿美元收购Digg [...]
大哥，证明根号2是无理数，如果不用4m而用4m^2,一直推下去，推到p^2有无穷个2因子，变成无穷了是不是也能说明不可能，也就是说要精确表示根号2，分子分母都必须以一定规律趋于无穷，而实际是不存在的，呵呵！
期待回复哟！
[...] 还不会在WordPress里面怎么作图，此部分略过。不过可以参考Matrix67的文章令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数 [...]
[...] 还不会在WordPress里面怎么作图，此部分略过。不过可以参考Matrix67的文章令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数 [...]