趣题：椭圆焦点到两切线交点的连线平分焦点对两切点的张角
icon2 Brain Storm | icon4 2008-12-20 3:06| icon313 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

   如图，椭圆上A、B两点处的切线相交于S，E是椭圆的一个焦点。求证，线段ES平分∠AEB。


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    椭圆有一个神奇的性质：从一个焦点射出的光线，经过椭圆曲线的反射后，总会到达另一个焦点。换句话说，两个焦点分别与切点相连，这两条连线与切线夹角相等。再换句话说，将F沿切线AS反射，对称点M恰好落在EA的延长线上；同样地，令N为F关于BS的对称点，则N、B、E三点共线。又由椭圆的定义，EA+FA=EB+FB。于是，我们有：

EM = EA + AM
    = EA + FA
    = EB + FB
    = EB + BN
    = EN

    这说明△EMN是等腰三角形。为了说明ES为角平分线，只需说明点S也在MN的垂直平分线上即可。这是显然的，因为S是FN和FM的垂直平分线的交点，这立即说明S是△FMN的外心，它当然也应该在MN的垂直平分线上。

    几何画板画椭圆及其上的切线很不方便，因此改用GeoGebra了。一个很好的软件，自变/应变元素管理得很好，属性界面用起来非常舒适，命令行操作功能很强大。以后这个Blog讲到几何问题时就靠它来画图了。

题目来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/AngleBisectorsInEllipse.shtml

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13 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2008-12-20 3:15 | 小精灵 说：

    焦点貌似就是这么定义的吧。。。
    还是椭圆就是这么定义的？

  • 楼层: 板凳 | 2008-12-20 11:15 | manson 说：

    密码什么时候出下啊？

  • 楼层: 地毯 | 2008-12-20 13:50 | 燕仰 说：

    哈~是Chain那天说的那道题？

  • 楼层: 地板 | 2008-12-20 18:44 | bobye 说：

    这个很常见啦，椭圆的几何性质是很丰富的。

  • 楼层: 地下室 | 2008-12-20 19:29 | 笑笑 说：

    挺好玩儿的，刚一看到图时以为证明过程会很复杂，原来还好啦~~

  • 楼层: 地基 | 2008-12-20 21:22 | R 说：

    再换句话说，将F沿切线AS反射，对称点M恰好落在EA的延长线上
    ————————
    应该是将F沿切线AS对称吧？

  • 楼层: 地壳 | 2008-12-20 22:21 | XD 说：

    我有意愿把这个BLOG贴到我们学校的交流贴吧里..
    不知道M有没有意见..我觉得先问下比较好..
    我们那学校的人太颓了.

  • 楼层: 地幔 | 2008-12-21 11:46 | 秋水无涯 说：

    可以用这个推彭赛列定理的：
    角ASE＝角BSF

  • 楼层: 地核 | 2008-12-27 17:44 | duolon 说：

    @XD
    “不知道M有没有意见”

    囧囧囧

  • 楼层: 10楼 | 2009-01-04 18:16 | ZFAUSTK 说：

    真的很快
    一般都是列式求解，不会想到这种方法

  • 楼层: 11楼 | 2009-01-06 21:54 | attention 说：

    用物理方法解数学问题我也很关注，尤其是它所预示更广阔的运用领域。。。。很可能会成为超越逻辑的最有力工具。。。你对人工智能有兴趣么。。

  • 楼层: 12楼 | 2009-01-22 17:58 | Qcumber 说：

    我用代数做,结果式子有几米长……

  • 楼层: 12a楼 | 2011-10-01 15:43 | phylixal 说：

    我第一印象是结合多普勒三定律。
    但这条路我没走通，谁有兴趣可以试试。

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