物理方法解决数学问题(五):一个与椭圆有关的性质

    上一次写这玩意儿已经是两个月前的事了,今天突然想起这一系列的东西我还没有写完。和上次一样,我们将对另一个几何问题作出光学和力学两种解释。由于前面已经有了不少铺垫,很多东西这里就不再重复了。

  
    椭圆是平面上到给定两点的距离之和为定值的点的集合。那两个定点就叫做椭圆的焦点。椭圆有一个神奇的性质:选定椭圆上的任意一点P,把它和两个焦点A、B相连,则PA和PB与椭圆在P点处的切线有相同的夹角。换句话说,PA和PB与法线的夹角相等,即入射角等于反射角。这样的话,任意一条从A出发的光线,经过椭圆壁的反射后总会经过另一个焦点B。假如有一个餐厅是椭圆形的,你的位置恰好位于椭圆的一个焦点上。这时你突然听到不知哪里传出的一男一女谈情说爱的声音,其肉麻程度不堪入耳,并且声音格外清晰。不用怕,这是因为那对男女正好坐在另一个焦点上,他们谈话的声音再小你也听得见,因为这些声音经过房间墙壁的反射后全汇聚到你这里来了。
    你可以用解析几何证明这一结论,不过其复杂程度令人望而生畏。这是我上学期做的最恶心的一道高数题。有趣的是,这个结论用Fermat原理(光总是沿着所花时间最短的路径传播)来解释的话,根本不需要运算,几句话就说清楚了。我们需要证明这样一个几何命题,椭圆上一点P与焦点A、B的连线到过P点的切线的夹角相等。把过P点的切线作出来后,我们可以一眼看出这个论断是正确的:从点A出发的光线经切线反射后过点B,则反射点一定就是点P,因为切线上所有其他的点P'都在椭圆外,折线A->P'->B都比A->P->B长。

  
    后来,我在《数学与猜想》中看到了另外一种物理证明方法,非常神奇。这个结论的正确性可以通过一个非常简单的力学模型揭示出来。看上图,我们在两个焦点间连接一条长度为2a的绳子,绳子上挂一个重物。注意到重物是挂在绳子上的,绳结处P是可以活动的。显然,P点的轨迹形成了一个椭圆。重物有不断下落的趋势,此时重力势能转化为动能;当整个力学系统静止时,重力势能达到最小,因此最终绳结P应该位于椭圆的最低点,该点处的切线正好是一条水平线。此时绳结P受到了三个力:重物M所产生的垂直向下的力,以及左右两边的绳子的拉力。由于物体保持平衡,两个拉力的合力必须竖直向上才行。但绳子内部的张力处处相等,两个方向上的拉力大小应该一样;如果它们的合力竖直向上,那么这两个力的方向与竖直方向的夹角必然相同。于是我们得到了和上面的讨论相同的结论:椭圆上的点与两焦点的连线到法线的夹角相等。

12 条评论

  • dahe_1984

    沙发

  • pchu

    数学证明也是很简单的嘛
    先证P(x,y)处法线交x轴于((1-b^2/a^2)x,0),不难
    然后证AP=a+ex,BP=a-ex,很简单
    然后说明角平分线交x轴也在那点,就完了

  • blueraincoat

    不知道美国总统一般坐在椭圆办公室的哪个位置。。。
    另外如果发明一张椭圆形的台球桌,那一定很好玩儿

  • 析理灵童

    用calculus解决这个问题很方便的,椭圆的切线乃是割线的极限情况,求出椭圆上任一点的导数,然后证明对应该点的角分线与此切线垂直即可。

  • atreess

    有一个场论梯度的证明方法,是我到目前为止看过的最简洁的证明方法,不过矢量、微分在这里很难打出,大家可以去看《工程数学•矢量分析与场论(第3版):学习辅导与习题全解》这本小册子。

  • cervelo jersey

    不知道美国总统一般坐在椭圆办公室的哪个位置。。。
    另外如果发明一张椭圆形的台球桌,那一定很好玩儿

  • 晓风

    顾森我真是爱死你了

  • MVP

    有一个只用高中的知识就可以的证明:椭圆的外部点到两焦点F1、F2的距离大于2a,由于过P的椭圆的切线l只有切点P在椭圆上,其他都在椭圆外,于是P点是l上到l同侧两定点F1、F2的距离和最小的点,于是由初中平面几何的一个典型例题有:设F3是F1关于l的对称点,则P、F2、F3共线,从而命题成立

  • q68257962

    一定能听到吗?声波的相位问题有考虑?

  • ABS

    椭圆台球桌在《斯坦因豪斯问题》中有涉及

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