记得初三物理竞赛的一道经典题目就是，给你N本大小相同的书（不同的版本：砖头、多米诺骨牌），问你在书桌的边沿处重叠起来最多可以伸出桌面多远。这是典型的杠杆原理题目，只是没有把杠杆原理发挥到极致罢了。
    下面的所有图片都来自这个站点。

    我们立即会提出一系列有趣的问题，比如按照某种规则最多可以重叠多少硬币，可以伸出桌面多远，搭出给定长度的桥至少需要多少硬币等等。正巧前不久看到了一篇讨论此问题的论文，这里做一个链接：pdf文件, 1.20MB, 英文

    
    等腰直角三角形ABC，斜边BC上有两点M、N 满足BM^2 + NC^2 = MN^2。求证：∠MAN为45度。这个图形最早出现在2001年罗马尼亚数学奥赛的一道题目中。
    看答案前我先说点别的事……有多少网友住在北京？这次清北还在那个地方么？假期我没事干，想和大家一起聚一聚，吃个饭，喝个夜啤酒什么的……不知道为什么，最近酒瘾特别大。
    答案在下面。

    
    证明：将整个图形绕A点逆时针旋转90度。显然∠MAM'为90度，BCC'也为90度。连接M'N，则BM^2 + NC^2 = M'C^2 + NC^2 = M'N^2，于是MN = M'N。又AM = AM', AN = AN，由SSS可知△AMN≌△AM'N，这样∠MAN和∠M'AN都是45度。

来源：cut-the-knot新文
Matrix67原创翻译

      
    看图，DEFG为直角三角形ABC的内接矩形，三个内切圆的半径从小到大依次为r1, r2和r3。证明：当内接矩形的面积达到最大时，r1^2 + r2^2 = r3^2。

      
    四个直角三角形ABC, EDC, AEF, DBG显然相似，内切圆半径与边长一样对应成比例。因此，我们可以把研究对象转换到任意一个对应边上。这里，我们重点观察四个三角形斜边长的关系。
    如果△ABC的三边BC, AC, AB长度分别为a, b, c，那么对于某个相似比k，其余三个三角形的对应边长度如下：

△ABC     a      b      c
△EDC    ka     kb     kc
△AEF    …    …  (1-k)b
△DBG    …    …  (1-k)a

    现在，我们要证明的是，当矩形DEFG面积达到最大时，有：
  [(1-k)a]^2 + [(1-k)b]^2 = (kc)^2

    也即
  (1-k)^2 * a^2 + (1-k)^2 * b^2 = k^2 * c^2

    同时，我们还知道a^2 + b^2 = c^2。等式两边同时乘以k^2后与上式相减，我们就得到：
  (1 – 2k) * (a^2 + b^2) = 0

    显然，只有k=1/2时上式才有可能成立。
    接着看，由△DBG ∽ △ABC，可知 DG/AC = BD/AB，因此DG = (1-k)ab/c。另外，我们还知道DE=kc，那么矩形DEFG的面积就可以这样表示：
  S = DG x DE = (1-k)k * ab

    S取最大等价于函数f(k)=(1-k)k达到最大值。这个函数是一个以0和1为根的上下颠倒的抛物线，显然在k=1/2时达到最大值。

来源：cut-the-knot新文
Matrix67原创翻译

    Flatland是一部巨经典的科学幻想小说，小说里构造了一个全新的世界──这个世界是二维的！整个小说分成两个部分，前一部分系统地描述这个二维世界，包括自然状况、居民生活、政治历史等等。真正有趣的事情发生在后一部分里，这里不同维度的世界之间发生了碰撞——二维世界中的主人公拜访了一维世界，同时又接触到了一个全新的三维世界。当他在他的世界传播三维思想时，整个世界大乱，哥白尼时代的那段故事再次发生。
    Flatland: The Movie是由此改编的一个动画短片，整个电影大约30分钟。官方网站上已经放出了电影的预告片，看起来非常有意思：

下面是一个两分多钟的片段：

原版小说：http://xahlee.org/flatland/index.html
陈忱译《神奇的二维国》：http://www.matrix67.com/data/flatland.html
官方网站：http://flatlandthemovie.com/
imdb链接：http://www.imdb.com/title/tt0814106/

现在，你可以在官方网站上订购学校教育专用的特别版DVD，价格是120美元；30美元的个人版DVD还要过几个月才能订购。

    今年的解谜游戏设计比赛(Puzzle Design Competition)作品目录已经出炉，我从里面挑选了一些比较有意思的玩意儿和大家分享一下。更多的作品（共55个）可以在上面的那个链接里看到。

Baby Duck Case

要求把五只鸭子全部放进盒子里。

Cheese and Mouse

把老鼠（一个圆形）和奶酪都放进盒子里。谜题的构造很容易让人产生定势思维，能想到解法（右图）的人并不多。

Cubature of the Ball

    这个谜题在一个透明的立方体里进行。立方体的内部空间分成了八等份，里面有六个可以滑动的小立方体，有一个直径稍大一点的钢珠，另外还有一块与小立方体大小相同的空白区域。钢珠是嵌在小立方体表面上的沟槽里的，游戏的目标就是把这个钢珠取出来。你可以把小立方体滑动到那个空白的空间，但每一次移动小立方体后，可供钢珠滑动的轨道都会发生变化。

Digits in a Box

把十块积木放进盒子里，然后盖上盒子的盖子。

Forest Puzzle

游戏目标：把环取下来，再上回去。

Magnetic Super Dice

    把27个小骰子拼接成一个大骰子，大骰子的每个面上必须都是9个相同的点数。有些小骰子的面上有磁铁，拼接时必须满足对接面上的磁极异性，最后得到的大骰子就是靠磁力粘起来的。

Void Cube

另类魔方，一看就明白，不用多解释了。