为什么以向量 (a, b) 和 (c, d) 为邻边，构成的平行四边形的面积正好是 ad – bc 呢？下图是一个非常漂亮的无字证明。
这是我在阅读 The Mathematical Mechanic: Using Physical Reasoning to Solve Problems 一书时受到启发并制作完成的。
动画
高度对称的多面体和它们的对偶多面体
正四面体、正方体、正八面体、正十二面体、正二十面体，这是古希腊人就发现的五种正多面体，它们拥有最高标准的对称性。这五种正多面体又叫做 Platonic 体，它们在古希腊的哲学观念中占据着至关重要的地位。 Leonhard Euler 发现，多面体的顶点数 V 、棱数 E 和面数 F 一定满足公式 V – E + F = 2 ，这叫做 Euler 多面体公式。利用这个公式，我们可以证明正多面体只有五种。假设一个正多面体的每个面都是正 p 边形，那么所有 F 个面一共就有 p · F 条边；每两条边拼在一起形成了一条棱，因而总的棱数就是 E = p · F / 2 。反过来， F 就应该等于 2 · E / p 。不妨再假设每个顶点处都汇集了 q 条棱，那么总的棱数似乎应有 q · V 个；但这样计算的话，每条棱都被重复算了两次，因而总的棱数实际上应该是 E = q · V / 2 。反过来， V 就应该等于 2 · E / q 。另外， Euler 的多面体公式告诉我们， V – E + F = 2 始终成立。
把上面几个式子合在一起，于是得到：
2 · E / q – E + 2 · E / p = 2
整理可得：
1/p + 1/q – 1/2 = 1/E
因此， 1/p + 1/q 一定大于 1/2 。但是，正多面体每个面至少都有三条边，每个顶点也至少汇集了三条棱，因此 p 和 q 都是大于等于 3 的整数。要想 1/p + 1/q > 1/2 ，只有以下五种可能：
- p = 3 ， q = 3
- p = 3 ， q = 4
- p = 4 ， q = 3
- p = 3 ， q = 5
- p = 5 ， q = 3
这正好对应于那五种正多面体。最近 Localhost-8080 沉迷于折纸，我也因此学习了不少与多面体相关的东西。想不到，这些看似老生常谈的东西，里面的水可深着呢。这五种正多面体表面上只是问题的五个不同的解，但互相之间却有着出人意料的联系。我们再列一个更加完整的表格，有意思的东西会慢慢呈现出来：
| 名称 | 面数 F | 顶点数 V | 棱数 E | 每个面的边数 p | 每个顶点处的棱数 q |
| 正四面体 | 4 | 4 | 6 | 3 | 3 |
| 正方体 | 6 | 8 | 12 | 4 | 3 |
| 正八面体 | 8 | 6 | 12 | 3 | 4 |
| 正十二面体 | 12 | 20 | 30 | 5 | 3 |
| 正二十面体 | 20 | 12 | 30 | 3 | 5 |
将立方体绕其体对角线旋转一周后会得到什么图形？
多边形外角和等于 360° 的一种直观解释
两两接触的等粗且无限长的圆柱体
大家在吃饭喝酒时是否注意到了这样的事情：三个人碰杯时，每个人的杯子都能同时和其他两个人的杯子相接触，很完美；但是四个人碰杯时，任一时刻总会有两个人碰不到杯，非常尴尬。有一次和三个好朋友吃饭，四人碰杯时又发生了这种尴尬的情况，突然有一个人异想天开，把他的杯子放到了另外三个杯子的上面，从而实现了四个杯子两两接触！我们自然引出了这样一个问题：如果 n 个全等的圆柱体两两相接触，则 n 最大是多少？
对于不同形状的圆柱体，答案可能是不一样的。 Martin Gardner 在 Hexaflexagons and other mathematical diversions 一书中提到，我们可以精巧地摆放 5 枚硬币，使得它们两两相接触，如上图所示（注意，最底下还藏着一枚硬币）。同时， Martin Gardner 问到，能否摆放 6 支香烟让它们两两接触？一个经典的答案如下：
