趣题:能否把长方形分成奇数个全等的非长方形小块?

1969 年, David Klarner 提出了这样一个问题:能否把一个长方形划分成奇数个全等的小块,并且这些小块不能是小长方形?如果把问题改为偶数个小块,这件事情是很容易做到的,如下图所示。对于奇数个小块的情况,问题显然就没有那么简单了。继续阅读下去之前,你不妨先想一想。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

答案是肯定的。 David Klarner 自己给出了两个这样的例子:

我是在 Unsolved Problems in Geometry 一书里看到这个问题的。

31 条评论

  • xrc1998

    奇妙!

  • minglingmaster

    赞!

  • reiyawea

    就这样,没有拓展了吗?

  • pai

    拓展一下,小块能不能是凸多边形。我感觉不能

    • 天赐

      我发现上图中连着三条线的交点是偶数个,为什么?如果必须如此,那凸多边形就够呛。如果是凸多边形,那就一定只能是三角形的拼图,因为长方形内角和是360度,偶数个含有奇数条线的交点内角和也是360的倍数,那奇数个三角形肯定不成。

  • cloudmouse

    有没有详细的做法啊?

  • 天赐

    我想到了彭罗斯的那个铺展。

  • checheng

    是唯一的吗?

  • DL

    Unsolved Problems in Geometry 亚马逊 1269/本,199页,给跪了。

  • zyy

    感觉跟插头DP的题的思想很像

  • 自诩为大哲学家

    ┏━┯┯━┯━┯━┓
    ┃┌┘├┐│┌┤┌┨
    ┠┴┬┘├┼┘├┘┃
    ┃┌┼┬┘├┬┼─┨
    ┠┘│└┬┘│└┐┃
    ┗━┷━┷━┷━┷┛

  • 自诩为大哲学家

    貌似刚才的排版乱了,重发一遍
    ┏━┳┳━┳━┳━┓
    ┃┏┛┣┓┃┏┫┏┫
    ┣┻┳┛┣╋┛┣┛┃
    ┃┏╋┳┛┣┳╋━┫
    ┣┛┃┗┳┛┃┗┓┃
    ┗━┻━┻━┻━┻┛

    • Leah

      这个不行
      横向小块宽处a,窄处b
      这个方案得保证4a+b=a+7b=2a+5b
      不是平凡解

    • so_what

      我觉得没问题啊,只要a=2b.就可以。 为什么要求4a+b=a+7b=2a+5b?

  • 8piano8

    题面中,“不能是小长方形”建议改写为“不能是小矩形”,因正方形不包含于长方形,1:3的矩形可分为3个小正方形。
    只要长方形的长和宽能分别划分为等基的奇数份或奇数倍份,就可能找到满足题意的全等块,此块为小矩组合块。

  • 青猫1986

    一定要用直线划分?如果可以用曲线的话不是很简单了么。

  • GLX

    21个第二种小块的图形也可以拼成9*7的矩形
    应该还有很多种解~

  • 清晰度

    这个表示看得头疼

  • ccrs

    很感谢David Klarner提供的解,我看到这个解的想法是这样的:以第二个解为例,我们可以把三个全等的解二拼在一起,就像汉字“目”一样,是不是就得出了这样一系列的解呢?这是肯定的,可以说是“同族”的解。那么按照这个思路,我们应该要寻找各种不同的“元素解”,特别是分块数量较少的解。。。此外,用这种嵌套的方法能够得到分块数目庞大的解,这样就能使得“像素”逐渐变细变多,那么是不是更容易会得出别的形状的小块,或者我们把细密的小块铺满平面,构造一些相连且数目形状相等的“像素群”作为可能的分块,再用这些分块去凑出一个大的可能的矩形。。。我想第一步应该可以是【五个最小正方形组成的单位】

  • ccrs

    把全等的解或元素块相同的解拼的时候可以随意颠倒拼,甚至可以不同元素块数目的几个解拼,只需要保证元素块是一样的,并且最后元素块共奇数个。(如果元素块是奇数个小正方形/小矩形组成的话,比如David Klarner的解就是三个最小正方形/矩形组成的元素块,那么,以面积法来论证是比较快捷的,所以可以先考虑奇数个小正方形/小矩形组成的元素块)

  • do_die

    发生什么了0.0

  • sangiovese

    M67平时都是从哪里找到这么多有趣的书看的呀?

  • nihao

    如果是要分一个正方形,是否有方法?

  • 翼瑾

    如果把题目再改一下:能否把一个长方形划分成n个全等的小块(n为奇数且n>11)
    因为图中是11块啦,最少会是多少呢……
    能否数学上证明一下呢?

回复给 GLX 取消回复