趣题:圆内接八边形的面积

一个圆内接八边形,各边长度依次为 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3 。求这个八边形的面积。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

假设圆的半径为 R 。整个八边形是由 4 个三边分别为 3, R, R 的三角形和 4 个三边分别为 2, R, R 的三角形组成。如果我们重新摆放这 8 个三角形,让这两种三角形交替出现的话,整个图形的面积是不会变的。然而,新的八边形相当于是一个边长为 3 + 2√2 的正方形去掉了 4 个直角边为 √2 的等腰直角三角形以后所得的图形。它的面积是 (3 + 2√2)2 – 4 = 13 + 12√2

这是 1978 年 Putnam 数学竞赛的 B1 题。我是在 Proofs Without Words II – More Exercises in Visual Thinking 一书里看到的题目及其解法。

33 条评论

  • FancyCoder

    板凳。

  • 洛刃

    猜到了相间摆放,然后画出来的瞬间就了解了答案。

  • woqu

    终于更新啦啦啦

  • lancezhange

    虽然笨办法解也不会太困难,但这种巧妙别致的解法总是更让人赏心悦目

  • Paper-Tiger

    很喜欢这个Blog!

  • 闲人一个

    确实巧妙。

  • godultimate24

    一个月中最开心的日子

  • 罗一刀流

    在看答案之前,有一个关键点要注意到: 就是对称性. 解法的巧妙是基于这一前提的: 我们注意到4个2 和3 都是连续分布的,所以在中间引一条直线,该直线会必经过圆心,同时也说明了它是直径. 接下来就由了题中的做法. 赞一个!

  • cui

    正方形的边长可不可以等于2*√3 + 2呢

  • tough guy

    在右图的8边形中, 第1个顶点与第3个连接,第3个顶点与第5个连接,第5个顶点与第7个连接,第7个顶点与第1个连接,就是一个正方形了,小三角形的两条边是2,3,夹角是135度,直接 2^2 + 3^2 – 2*2*3*cos(135) 就是中间正方形的面积了,小三角形的面积 0.5 * 2 * 3 * sin(135)

  • wangchenhuigcs

    好精妙啊,自己想了半天没想出来

  • 约定不美

    好问题,

  • coolaser

    I was very close! I had the same idea with the triangles, but my answer was 26. I got the answer wrong because I assumed that the radii were 2 and 3 . This caused my final answer to be close to the original. Nonetheless I still got it wrong; good question.

  • ACH.

    无话可说。

  • 城南旧事

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    祛痘小妙招
      

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  • 城南旧事

    快速祛痘小妙招一: 保持良好的 祛痘小妙招 生活习惯

      1、注意脸部清洁。

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      2、 5招轻松祛痘重塑无暇 保证充足的睡眠。

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  • 城南旧事

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      Step 2
      挤痘痘前,可以先在 妙招让你轻松祛痘 痘痘的地方擦柔软角质化妆水,这样挤起痘痘来更容易。而对付那些顽强的粉刺时,柔软性角质化妆水同样能起到软化作用,而且这样在挤的时候疼痛感会稍稍减弱些。
      Step 3
      可能

  • 城南旧事

    春季万物复苏,也是皮肤容易出现问题的时候,对于青春期的少 祛痘小妙招藏宝教你这些祛痘妙招,轻松拥有嫩白美肌 少女来说,一定要知晓一些祛痘的妙招:

      

      一、祛痘小妙招第一古方:莹肌如玉散。

      目前中药里面祛痘的古方中最火的要算莹肌如玉散了,莹肌如玉散出自《普济方》,莹肌如玉散是以楮实、白芨、升麻、甘松、白芷、白丁香、砂仁、糯米末、皂角原料。将这些药材一起研磨成粉,混合均匀后,每天取少量涂脸,即可祛除 祛痘产品 痘痘,,令颜面光洁如玉,因而得名莹肌如玉散。莹肌如玉散配方中不含绿豆,因为绿豆只清表面毒素,而不清皮下痘毒。而是采用了升麻等物,升麻不但能像绿豆一样有清热下火的效果,还能升发痘毒,所以祛痘之后一般不复发。莹肌如玉

  • 城南旧事

    快速祛痘小妙招一: 保持良好的生活习惯 祛痘小妙招

      1、注意脸部清洁。

      长痘痘很多时候都是因为油脂分泌过多堵塞毛孔造成的,因此做好清 藏宝教你怎么祛痘 洁工作就十分必要啦!首先要选择弱酸性的肥皂或刺激性小的洗面奶,在低于体温的温水手中揉搓起泡后捧起来洗脸,轻柔的螺旋式按摩一分钟之后,即可用稍热(比体温高一点)的水冲洗干净了。每天洗2-3次,别忘了洗脸后上点化妆水,可以保湿并收缩毛孔哦!

      2、保证充足的睡眠。

       男士祛痘妙招让你远离痘痘 睡眠不足会导致肝功能下降,体内毒素无法及时排出,自然也就给了痘痘疯长的机会。想要消灭他们最好在十一点之前睡觉,实在不行也别熬过十二点,而且要睡饱八小时哦!特别是第二

  • 白下

    高中的时候见过这道题, 在图书馆里一本吃灰已久的里面

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