趣题:同时等分三角形周长和面积的直线

    求证:对于任意一个三角形,一定存在一条直线,它把这个三角形的周长和面积同时分成了两等分。

 
 
    大家知道,三角形的三个内角的角平分线一定交于一点,这个点就是三角形的内心,它到三角形三边的距离是相等的。一个令人吃惊的结论是,经过内心的直线如果平分了三角形的面积,就一定平分了三角形的周长!

      

    如图, I 是三角形 ABC 的内心, ID 、 IE 、 IF 是 I 到三角形三边的垂线段,它们的长度是相等的,不妨把这个长度值记作 r 。假设直线 PQ 经过点 I ,并且平分三角形的面积。这说明, PA · r / 2 + AQ · r / 2 = PB · r / 2 + BC · r / 2 + CQ · r / 2 ,也就是 PA + AQ = PB + BC + CQ 。因此,直线 PQ 也平分了三角形 ABC 的周长。


      

    如果对于任意一个三角形,都存在一条经过内心并且平分面积的直线的话,我们的问题就解决了。事实上,对于任意一个三角形,以及三角形内的任意一个定点,都存在一条经过该点并且平分面积的直线的。这很容易看出来。首先,过该定点随便作一条直线。如果这条直线正好平分了三角形的面积,问题就直接解决了。否则,将这条直线绕着定点旋转 180 度,你会发现它回到了原来的位置,但是直线左侧的面积和直线右侧的面积却颠倒了过来。这意味着,假设最开始的时候,直线左侧的面积小于整个三角形面积的1/2,转完之后,直线左侧的面积就将大于整个三角形面积的1/2;反过来,假设最开始的时候,直线左侧的面积大于整个三角形面积的1/2,转完之后,直线左侧的面积就将小于整个三角形面积的1/2。然而,在旋转过程中,直线左侧的面积始终在发生连续的变化,因此必然有一刻,直线左侧的面积正好等于三角形面积的1/2。这就是一条平分三角形面积的直线。根据前面的结论,它也就同时平分了周长。

 
    我们不妨把一个三角形中,既平分周长又平分面积的直线叫做“均分线”。有的读者或许会很快发现,在一个三角形中,这样的均分线很可能不止一条。如下图,假如 PQ 是一条均分线,那么把 PQ 沿着图中所示的角平分线翻折到 P’Q’ ,容易证明三角形 PIQ’ 和 P’IQ 是全等的,于是线段 PQ’ 和线段 P’Q 的长度相等,并且两个三角形的面积相等。因此,原来 AP + AQ 是三角形周长的一半,现在 AP’ + AQ’ 仍然是三角形周长的一半;原来三角形 APQ 的面积是整个三角形面积的一半,现在三角形 AP’Q’ 的面积仍然是整个三角形面积的一半。可见, P’Q’ 也将是一条均分线。因此,这个三角形至少有两条均分线。

      

    对于一些更特殊的三角形来说,均分线可能还会更多,例如在一个等边三角形当中,均分线至少有三条(它们也就是等边三角形的三条对称轴)。1997 年, George Berzsenyi 曾经猜想,一个三角形最多只能有三条均分线。这个猜想是正确的吗? 2010 年 4 月, Dimitrios Kodokostas 在 Mathematics Magazine 上发表了一篇题为 Triangle Equalizers 文章,完美地解答了这个问题。

 
    刚才我们证明了,经过内心的直线如果平分了三角形的面积,就一定平分了三角形的周长。根据同样的道理,经过内心的直线如果平分了三角形的周长,就一定平分了三角形的面积。事实上,我们可以证明,三角形的均分线是一定经过内心的。假如下图中的直线 PQ 是一条不过 I 点的均分线,由于 BP + BQ 等于三角形周长的一半,因而三角形 BPI 的面积加上三角形 BQI 的面积就是整个三角形面积的一半,这与三角形 BPQ 的面积是一样的,可见 I 一定在直线 PQ 上。

      

    因此,为了计算均分线的数目,我们只需要考虑过内心的直线就行了。受到前面“旋转法”的启发,我们尝试着去确定,在直线绕着内心旋转的过程中,直线两侧的面积究竟将会经历怎样的起伏变化?

      

    除了三处例外点以外,这条直线通常会把整个三角形分成一个小三角形和一个四边形。一个非常有用的结论是,若这条直线与任意一条角平分线垂直时,小三角形的面积会达到极小值,四边形部分的面积会达到极大值。为什么呢?看上面这个图,假设 AD 是三角形的一条角平分线, PQ 垂直于 AD 。如果把 PQ 旋转到 XY 的位置,三角形 APQ 就变成了三角形 AXY ,下面我们来说明,这样变了之后,面积一定变大了。过点 P 作 AC 的平行线,与 XY 交于点 Z 。容易证明,图中的两个红色三角形全等,因此三角形 AXY 的面积比三角形 APQ 的面积更多,多了图中蓝色三角形那么大的面积。事实上,蓝色三角形的面积为 (1/2) · PX · PZ · sin∠XPZ = (1/2) · PX · YQ · sin∠BAC ,随着直线的继续转动,这是会不断增加的。当然,如果让 PQ 逆时针旋转,结果也是一样的:与 A 点构成的三角形面积会单调递增,与 B 、 C 两点构成的四边形面积则会单调递减。

      

    因此,在直线绕着内心 I 旋转 180 度的过程中,一共会经过上图所示的六个关键节点:三条角平分线(红色表示),以及三条与角平分线垂直的线(蓝色表示)。假设直线从 X1Y1 出发,按照 X1Y1 → BE → X2Y2 → DA → X3Y3 → CF → Y1X1 的顺序旋转 180 度。如果我们把刚开始直线的上方叫做它的左侧,那么在旋转的过程中,左侧的面积会怎么变化?刚开始的时候,直线左侧的面积是图中黄色部分的面积。从 X1Y1 到 BE ,直线左侧的面积不断增大;从 BE 到 X2Y2 ,直线左侧的面积继续增大,并且达到极大值;从 X2Y2 到 DA ,直线左侧的面积开始缩小;从 DA 到 X3Y3 ,直线左侧的面积继续缩小,并且达到极小值;接下来,直线左侧的面积又重新开始变大,最后变成图中的绿色面积。

    因此,一个典型的面积变化曲线如下图所示,其中横轴表示直线旋转过的度数,纵轴表示直线左侧面积占整个三角形面积的比例。由于这条曲线只有三个单调区间,因此这条曲线与 y = 1/2 最多只有三个交点。换句话说,最多只有三个时刻,直线左侧的面积等于整个三角形面积的一半。这说明,三角形的均分线最多只有三条。 Berzsenyi 的猜想是正确的。

      

    前面我们已经说过,事实上,三角形的均分线确实是有可能达到三条的,等边三角形就是最简单的例子。那么,是否每个三角形都有三条均分线呢?不见得。有些三角形就只有两条均分线。如果刚开始的时候,直线左侧的面积恰好是 1/2 ,那么面积变化曲线将会从 1/2 开始,上升,下降,再回到 1/2 。于是,整条曲线和 y = 1/2 只有两个交点,三角形就只有两条均分线了。

        

    为了给出一个确凿的例子,我们需要找出一个满足要求的三角形。比方说上图中的等腰三角形,如果三角形 APQ 和三角形 ABC 的相似比是 1 : √2 ,那么刚开始直线左侧的面积就是 1/2 了。这要求 AI : AD = 1 : √2 ,即 AI : ID = 1 : (√2 – 1) ,即 AI : IE = 1 : (√2 – 1) 。此时, ∠IAE = arcsin(√2 – 1) ,三角形 ABC 中的 ∠A 则是 2 arcsin(√2 – 1) 。根据前面的讨论,这个三角形就只有两条均分线。

    现在,保持 AB = AC 不变,继续缩小 ∠A 的度数,此时 ∠IAE 的正弦值会进一步缩小,从而让 AI 与 IE 之比(也就是 AI 与 ID 之比)进一步扩大,其结果就是,三角形 APQ 的面积大于整个三角形面积的 1/2 。这样的话,面积变化曲线将会从某个大于 1/2 的值出发,上升后再下降,最后再上升到一个小于 1/2 的、与初始值对称的位置。这条曲线将会仅与 y = 1/2 相交一次,因而三角形就只有一条均分线了。

    最终,我们得到了一个完整的结论:一个三角形里至少有一条均分线,最多有三条均分线,并且实际数目有可能是 1 条、 2 条或者 3 条中的任意一个。
 

Dimitrios Kodokostas 还细致地讨论了三角形的均分线数量的判别条件,有兴趣的朋友可以查阅一下。如何用尺规作图作出三角形的均分线,这也是一个很有挑战性的问题。对这个问题感兴趣的读者可以看看这里: http://goo.gl/ZOpQH

21 条评论

发表评论