两个与无穷级数有关的悖论

    我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 …。首先我们需要说明,这个无穷级数是收敛的。注意到,从1的后面开始,每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数,因此不管你加到哪儿,它的和始终不会超过1;另外,从1-1/2之后开始,每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数,因此无论加到什么位置,整个和始终大于1/2。这说明,这个级数是收敛的,并且它收敛到1/2和1之间的某个数(事实上这个数是ln(2) )。

    好了,令这个无穷级数为S,现在对S进行这样的变换:

S = 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + …
  = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …) – (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + …)
  = (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …) – (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …)
  = 0

    但刚才不是说了S是大于1/2的么?这怎么可能呢?


    刚看到这个问题后,立即想起Eagle Fantasy也提到过一个类似的问题。同样令

  S =   1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5 – 1/6 + 1/7 – 1/8 + …  ①

    ①式两边同时乘以1/2,有

S/2 = 1/2 – 1/4 + 1/6 – 1/8 + 1/10 – …  ②

    ①式和②式相加有:

(3/2)*S = 1 + 1/3 – 1/2 + 1/5 + 1/7 – 1/4 + 1/9 + 1/11 – 1/6 + …  ③

    比较①式和③式,它们的项竟是完全相同的,①中的所有项在③里都有,③里的每一个项也在①中出现过。你会惊奇地发现,仅仅是交换了项的顺序,整个无穷级数居然变成了原来的3/2倍!

    这两个例子告诉我们,在无穷级数里,加法的交换律和结合率是不能乱用的。无穷级数的“和”不是一个普通的和,本质上是一个极限,是一系列“部分和”S1, S2, S3, …, Sn, …的极限,这显然已经超出了交换律和结合率的适用范围。最近我们高数正好学到无穷级数,我仔细看了一下一些无穷级数基本性质的叙述和证明。整个体系是相当严密的,每一步证明过程都充分利用到级数和极限的定义。

35 条评论

  • greensea

    很高兴我在有穷的时间内坐上了沙发 ^ ^

  • ziliang

    具体数学有说过这个问题啊

  • pchu

    咳咳咳……结论是无比正确的,不能乱交换求和顺序……不过……
    开头是不严谨的,改变求和先后次序(加小括号)也不能随便的……
    如果可以像你这样审敛,那么 2 – 3/2 + 4/3 – 5/4 + 6/5 – … 也收敛了……不过呢,只要加个条件(一般项趋零),根据已被严格证明的莱布尼茨审敛,就没问题了。
    1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 +…也是个很好的例子呢

  • dahe_1984

    哦 以前学高等数学的时候还真没注意过.

  • rmq

    又学到了,居然以前学高数的时候都没注意过

  • Freeze

    第一次在您的blog上看到一篇我看过的东西……

  • tangbb

    数学分析里强调过条件收敛换顺序可能改变级数的和

    • Terry

      niin totta mitä turiset:)kun ulkona sataa kaatamalla on ihana polttaa kynttilöitä ja fiilistellä joulua.niin lyhyt on se aika vuodesta kun joulua juittiaanhlsellä ainakin se loppuu heti uudenvuoden jälkeen.:)

  • Satily

    啊~~~米见过滴说~~~Orz~~~

    • Tangela

      Caro Rui,Tenho acompanhado o seu trabalho a par dos seus colegas Silvio Fortunato e Jorge Salgado, e são de facto inspiradores. Não pertenço a nenhuma empresa de mmm e também não tenho site. Pretendo ganhar dinheiro com a internet e fazer um e-book. Sugere que comece por este seu ultimo trabalho ou deverei iniciar-me pelo magnet syeAsm?ttenciosamenteMafalda Augusto

  • sqybi

    什么是数学上似乎有类似的东西?

  • Freeze

    突然想到,这类收敛叫作条件收敛,和绝对收敛相对

  • hetong_007

    我初中就看过了……
    有一本好书 叫做 《数学魔法》
    上面有好多的东西 虽然浅了一点 但是我就是初中看了这本书从而喜欢上数学的~~

    • Kelli

      Not just the Netherlands. I live in NYC and recently some fuckng A-rab started talking about gas chambers while nodding his head in my direction while we were in line at Mcs0oaldD.&#822n;Looks like we have another one for the gas chamber. Better make room in the gas chamber, better shove the dead old lady aside to make room…”This was last year in NYC a mile from ground zero.This is NOT just happening n Europe.

  • kyant

    看来已经有人回答了,如果一个级数是绝对收敛的,则可以任意重排级数,它的和不变。但如果一个级数是条件收敛的,则我们可以重排级数使得它的和为一个任意的数

  • 3fen

    重排条件收敛级数可以在任意值收敛,也可使其发散——这东西第一次看到的时候非常惊奇,觉得有什么神秘的东西藏在“无限”里面…

  • hxl268

    中学几百年重大错误:y =x+1的定义域含一切实数

    ——推翻数学公理

    黄小宁

    通讯:广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631

    如[1]所述:“对于任何一个自然数n都有自然数y =n-1< n”是病句:有自然数y n”——自然数公理也是违反语文常识的重大病句:有自然数y>任何(所有)自然数n。起码数学常识:说

    y= n+1>n =1,2,3,…,…(y∈正整数集N)

    中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数,即说式中数列包含N的一切n,显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大,即说N内有数y > N的一切数——重大病句!关键是最起码数学常识:代表N内数的y可>式中数列的一切n。

    可见如[1]所述y= n+1>n=1,2,3,…的定义域D(D各元n都有对应数y= n+1∈N)之外必至少还有一自然数n使其后继n+1不∈N。

    代数,就是用字母代表数。“任何实数x”与“x=任何实数”都表示x可取任何(一切)实数,任何实数都可由此x代表。

    y=y(x)<x=任何正数一目了然地直接表达y必可x中的x代表任何实数,那就是说此式所代表的内容之一:有实数y>任何实数——重大病句。

    当然,缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的,从而只会鹦鹉学舌根本不能学懂数学。

    有傻瓜相机也有傻瓜数学:据语文常识,实数公(定)理“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x”非常明确地表示有实数y>任何(所有)实数x;说y=x+1>x中的x可取1,2,3这3个数就是说y可>这3个数,说x可一个不漏地遍取一切实数即y 的定义域包含一切实数,就是说代表实数的y必可一个不漏地遍比任何实数都大——重大病句。要害是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。这纯粹是一个语文常识的问题。

    因此不论是文科生还是理科生,凡稍有一点头脑的人都能一教就明上述事实:自有直线函数概念几百年来一直公认的“y=x+1>x的定义域含一切实数” 即实数公(定)理,其实是几百年重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。

    获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了:变量与变量之间也是有大小数量关系的,y(x)>(一切整数的序号数n

  • Palmtenor

    Riemman引理……不值得叫什么悖论
    话说你今天对校内的感觉如何?

  • Fox

    个人认为这个证明并不是正确的(针对第一悖论)
    诚然该无穷级数的确收敛
    但是1+1/3+1/5+1/7+…与1/2+1/4+1/6+…并不是收敛的
    那么你所写的等式其实是
    s=1-1/2+1/3-1/4+…(运用极限的唯一性)
    =limit(sum(1/(2*i-1),i=1..k)-sun(1/(2*i),i=1..k),k=infinity)
    =limit(sum(1/i,i=1..2*k)-2*sum(1/(2*i),i=1..k),k=infinity)
    =limit(sum(1/i,i=1..2*k)-sum(1/i,i=1..k),k=infinity)
    =limit(sum(1/i,i=(k+1)…2*k),k=infinity)
    何悖论之有?

  • Harok

    居然有妇科医院的广告,晕了

  • pchu

    to Fox:
    求和上界k有问题哈,有一步要变成k/2的……

    to 黄小宁:
    强人找到这里来了,这么多年了真是毫不气馁兼冥顽不灵啊……

  • 一个喜欢闲逛的

    回 #19,当年也看过这个…… 实在是想让他好好看下数学所有公理……

    回 #地毯,一般项趋0 似乎也不能保证…… 1 + 1/2 + 1/3 + …… 就是一个例子…… 难道说我理解错了?

  • 高斯二代

    数学这么菜还好意思在这说是悖论?这个方法我也研究过,我知道错在哪里,问题就出在求和以后偶数的个数和整个的个数是不同的,这个一样可以得出答案是In2,数学没学好就不要来这丢脸了。

  • 高斯二代

    数学这么菜还好意思在这说是悖论?这个方法我也研究过,我知道错在哪里,问题就出在求和以后偶数的个数和整个的个数是不同的,这个一样可以得出答案是In2,数学没学好就不要来这丢脸了。

  • iceberg

    火星的东西容易招惹火星人……
    不过……“因此不管你加到哪儿,它的和始终不会超过1;另外,从1-1/2之后开始,每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数,因此无论加到什么位置,整个和始终大于1/2”这句话貌似不严谨。有一些级数的部分和可以在两个有限数之间振荡的。

  • supersnowbird

    位置是不能随便交换的……

  • sunchy321

    @高斯二代

    你亮了

    整数的数量和偶数的数量是一样多的

  • 4

    S
    =1-1/2+1/3-1/4+…i1
    =(1+1/3+1/5…i1)-(1/2+1/4+…i1)
    =(1+1/3+1/5…i1)-(1/2+1/4+…i1)+(1/2+1/4+…i1)-(1/2+1/4+…i1)
    =(1+1/2-1/3…i1)-(1+1/2-1/3…i0.5)
    =(1/i0.5+1/i0.5+1/i0.5+…+1/i1)

  • cervelo jersey

    数学分析里强调过条件收敛换顺序可能改变级数的和

  • UnderControl

    大错特错!倒数第二个式子应该写成:
    (1+1/2-1)+(1/3+1/4-1/2)+(1/5+1/6-1/3)+(1/7+1/8-1/4)+……计算可得Sn=ln2
    知道区别了么,一个数乘以无穷还是无穷,所以级数的交换律和结合律必须要一项一项的对应好来交换和结合,就不会有问题了,我经常做这样的变换,十分直观!楼主别误导了大家啊!

  • 20130925

    初级四则运算 不能用于无穷数计算吧?

  • 没有悖论

    根本就不是同一个级数,因此也就谈不上交换。
    在任意有限的范围内相同,不意味着在无限的范围内也相同。

  • Buck

    OH MY GOODNESS!!!! I must acquire one of those Q&A books for myself! There are few things in this world I must have, and that is one of them. So glad yoga is going so well, Miss Appearing Advanced.And Panera – oh, how I love that place. It’s partly the food, partly the beverage, and mostly the atHeophers.mave a great weekend!

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