2008-5-08 23:19| 
20 Comments | 本文内容遵从我们想要计算无穷级数Σ(1/n)*(-1)^(n+1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 ...。首先我们需要说明，这个无穷级数是收敛的。注意到，从1的后面开始，每减去一个数后紧接着都会加上一个比它小的数，因此不管你加到哪儿，它的和始终不会超过1；另外，从1-1/2之后开始，每加一个数紧接着都会减去一个比它小的数，因此无论加到什么位置，整个和始终大于1/2。这说明，这个级数是收敛的，并且它收敛到1/2和1之间的某个数（事实上这个数是ln(2) ）。
好了，令这个无穷级数为S，现在对S进行这样的变换：
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...
= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
= (1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) + (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...) - (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - 2 * (1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...)
= (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...) - (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)
= 0
但刚才不是说了S是大于1/2的么？这怎么可能呢？
刚看到这个问题后，立即想起Eagle Fantasy也提到过一个类似的问题。同样令
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... ①
①式两边同时乘以1/2，有
S/2 = 1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - ... ②
①式和②式相加有：
(3/2)*S = 1 + 1/3 - 1/2 + 1/5 + 1/7 - 1/4 + 1/9 + 1/11 - 1/6 + ... ③
比较①式和③式，它们的项竟是完全相同的，①中的所有项在③里都有，③里的每一个项也在①中出现过。你会惊奇地发现，仅仅是交换了项的顺序，整个无穷级数居然变成了原来的3/2倍！
这两个例子告诉我们，在无穷级数里，加法的交换律和结合率是不能乱用的。无穷级数的“和”不是一个普通的和，本质上是一个极限，是一系列“部分和”S1, S2, S3, ..., Sn, ...的极限，这显然已经超出了交换律和结合率的适用范围。最近我们高数正好学到无穷级数，我仔细看了一下一些无穷级数基本性质的叙述和证明。整个体系是相当严密的，每一步证明过程都充分利用到级数和极限的定义。
很高兴我在有穷的时间内坐上了沙发 ^ ^
具体数学有说过这个问题啊
咳咳咳……结论是无比正确的，不能乱交换求和顺序……不过……
开头是不严谨的，改变求和先后次序（加小括号）也不能随便的……
如果可以像你这样审敛，那么 2 - 3/2 + 4/3 - 5/4 + 6/5 - ... 也收敛了……不过呢，只要加个条件（一般项趋零），根据已被严格证明的莱布尼茨审敛，就没问题了。
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 +...也是个很好的例子呢
哦 以前学高等数学的时候还真没注意过.
又学到了，居然以前学高数的时候都没注意过
第一次在您的blog上看到一篇我看过的东西……
数学分析里强调过条件收敛换顺序可能改变级数的和
啊~~~米见过滴说~~~Orz~~~
嗯，这样啊...
什么是数学上似乎有类似的东西?
突然想到，这类收敛叫作条件收敛，和绝对收敛相对
我初中就看过了……
有一本好书 叫做 《数学魔法》
上面有好多的东西 虽然浅了一点 但是我就是初中看了这本书从而喜欢上数学的～～
看来已经有人回答了，如果一个级数是绝对收敛的，则可以任意重排级数，它的和不变。但如果一个级数是条件收敛的，则我们可以重排级数使得它的和为一个任意的数
重排条件收敛级数可以在任意值收敛，也可使其发散——这东西第一次看到的时候非常惊奇，觉得有什么神秘的东西藏在“无限”里面...
中学几百年重大错误：y =x+1的定义域含一切实数
——推翻数学公理
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631
如[1]所述：“对于任何一个自然数n都有自然数y =n-1< n”是病句：有自然数y n”——自然数公理也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说
y= n+1>n =1，2，3，…，…（y∈正整数集N）
中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，即说式中数列包含N的一切n，显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y > N的一切数——重大病句！关键是最起码数学常识：代表N内数的y可>式中数列的一切n。
可见如[1]所述y= n+1>n=1，2，3，…的定义域D（D各元n都有对应数y= n+1∈N）之外必至少还有一自然数n使其后继n+1不∈N。
代数，就是用字母代表数。“任何实数x”与“x=任何实数”都表示x可取任何（一切）实数，任何实数都可由此x代表。
y=y（x）<x=任何正数一目了然地直接表达y必可x中的x代表任何实数，那就是说此式所代表的内容之一：有实数y>任何实数——重大病句。
当然，缺乏起码语文常识是无法理解数学表达式所表达的内容的，从而只会鹦鹉学舌根本不能学懂数学。
有傻瓜相机也有傻瓜数学：据语文常识，实数公（定）理“对于任何一个实数x都有对应实数y =x+1>x”非常明确地表示有实数y>任何（所有）实数x；说y=x+1>x中的x可取1，2，3这3个数就是说y可>这3个数，说x可一个不漏地遍取一切实数即y 的定义域包含一切实数，就是说代表实数的y必可一个不漏地遍比任何实数都大——重大病句。要害是对数学表达式所表达的内容不能只有一知半解的肤浅认识。这纯粹是一个语文常识的问题。
因此不论是文科生还是理科生，凡稍有一点头脑的人都能一教就明上述事实：自有直线函数概念几百年来一直公认的“y=x+1>x的定义域含一切实数” 即实数公（定）理，其实是几百年重大错误。不明此真相的数学教师以讹传讹误人子弟。
获中国教育学会一等奖的文献[1]论证了：变量与变量之间也是有大小数量关系的，y（x）>（一切整数的序号数n
Riemman引理......不值得叫什么悖论
话说你今天对校内的感觉如何？
个人认为这个证明并不是正确的（针对第一悖论）
诚然该无穷级数的确收敛
但是1+1/3+1/5+1/7+...与1/2+1/4+1/6+...并不是收敛的
那么你所写的等式其实是
s=1-1/2+1/3-1/4+...（运用极限的唯一性）
=limit(sum(1/(2*i-1),i=1..k)-sun(1/(2*i),i=1..k),k=infinity)
=limit(sum(1/i,i=1..2*k)-2*sum(1/(2*i),i=1..k),k=infinity)
=limit(sum(1/i,i=1..2*k)-sum(1/i,i=1..k),k=infinity)
=limit(sum(1/i,i=(k+1)...2*k),k=infinity)
何悖论之有？
居然有妇科医院的广告，晕了
to Fox:
求和上界k有问题哈，有一步要变成k/2的……
to 黄小宁:
强人找到这里来了，这么多年了真是毫不气馁兼冥顽不灵啊……
回 #19，当年也看过这个…… 实在是想让他好好看下数学所有公理……
回 #地毯，一般项趋0 似乎也不能保证…… 1 + 1/2 + 1/3 + ...... 就是一个例子…… 难道说我理解错了？