2008-05-01 0:32| 
6 Comments | 本文内容遵从 调和级数是指无穷级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，即取遍所有正整数n所得到的Σ1/n。虽然n趋于无穷时1/n趋于0，但这个无穷级数却是发散的。一个经典的证明是，把1/3和1/4都缩小到1/4，把1/5、1/6、1/7和1/8都缩小成1/8，把1/9到1/16这8个数全部缩小为1/16，以此类推，这样就可以得到无穷多个1/2，它们的和显然是无穷大的。
现在，让我们把所有的质数划分为若干个子集，其中质数p属于编号为floor(p/1000)的那个子集（floor()是取下整的意思）。现在，你可以用这样的方式来定义一个“部分的”调和级数：先选出一些质数集合出来，然后列出所有这样的数，它所有的质因子都落在你选的集合里。显然，这样的数有无穷多个，它们的倒数和就形成了一个部分调和级数。例如，选择子集①和子集②，我们可以得到一个无穷级数Σ1/n，其中n取所有这样的数，它可以表示为大于等于1000小于3000的质数的乘积。
前面我们已经看到，选择所有的集合所构成的无穷级数是发散的。现在的问题是，要想得到一个发散的级数，最少需要选取多少个集合？
答案或许会出乎你的意料：无穷多个。为了使所得的无穷级数发散，你必需选择无穷多个集合。事实上，任意选出有限个质数，由它们生成的所有数的倒数之和都是收敛的。
首先注意到，对取出的所有质数p，分别算出p/(p-1)的值，然后把所有的p/(p-1)累乘起来（即Πp/(p-1)，p取遍选出的每个质数），最后的结果应当是有限的。而p/(p-1) = 1 + 1/p + 1/p^2 + 1/p^3 + ...。容易想到（但并不严谨！），对于不同的p值，把p/(p-1)乘起来就相当于把等号右边的无穷级数乘起来，而将这些无穷级数的乘积展开来，得到的无穷级数正是由所选的质数所生成的部分调和级数。
题目来源：http://www.brand.site.co.il/riddles/200804q.html
呵呵,沙发.五一劳动节男人快乐!!!
我记得这种乘积是没问题的，柯西审敛，两个都绝对收敛，乘积绝对收敛且不依赖于顺序
先占地方再看……
ai=pi/(pi-1) pi是素数序列
怎么证明∏ai是发散的？
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
小学时被这个式子纠结了N久，死活想不出怎么求和
[...] 第二行的一些变换非常巧妙。第二行中间的不等号是一个关键，用到了一个基本事实：第k个质数显然比k大。最后的连乘中前一项的分子和后一项的分母正好抵消，最后消完了就只剩了一个π(x)+1。 另一方面，想像一下把(1+1/2+1/4+…)(1+1/3+1/9+…)(1+1/5+1/25+…)…展开的样子，很显然展开后的每一项都是一个所有质因子都不大于x的数的倒数，即Σ(1/m)，其中m取所有仅含1..x范围内的质因子的数。显然，原本就比x小的数，其质因子当然不可能超过x，这就是说从1到x的所有正整数都是属于m的。利用一些微积分的基本知识，我们可以立即得出Σ(1/m) >= 1+1/2+1/3+…+1/x >= log(x)。地球人都知道，log(x)是没有上界的，于是质数的个数也没有上界。 这里还有一个类似的问题，大家可以对照着看看。 [...]