这是一个非常有趣的问题：能否在一个无限大的等边三角形点阵中选取四个点，使得这四个点恰好构成一个正方形？这个问题有一个非常简单巧妙的解法，你能想到吗？
答案：不可能。为了证明这一点，首先注意到，如果选定三角形点阵中任意两个不同的点，则以这两个点为顶点作等边三角形，所得的第三个顶点也一定在点阵中。这是因为，以任意一点为中心，将整个平面旋转 60 度，新的点阵与原来的点阵仍然是重合的。等边三角形的第三个顶点，其实可以看作是已知两点中的其中一点绕另一点旋转 60 度所得的，自然也就还在点阵中了。
下面，假设点阵中存在正方形，则我们一定能找到一个最小的正方形。以正方形的每条边为边，向内作等边三角形，所得的第三个顶点也仍然在点阵上。然而，这四个新的顶点将会构成一个更小的正方形，于是产生矛盾。所以，我们永远无法在等边三角形点阵中作出一个正方形来。
题目来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/DavidRadcliffe.shtml
大家有什么其他的证明方法吗？
抢到沙发了
这证明真是不好想
似乎可以构成的矩形一边是有理数，一边无理数？
想到一起了~~先考虑构造直角的情况，对应到图中就是【四个小三角构成的大等边三角形】的【一半】，也就是30度，60度，90度的三角形，将两直角边作为【正方形】的边的话，一条为1，另一条为根号3，不会有整数解，不会有正方形。
佔個位子
刚才不小心点了提交，继续说：如果以一个有理数为矩形的一边，做垂直的话可以发现，另一边一定是几个平行四边形对角线构成的，如果是以无理数为一边（平行四边形对角线连起来），同理作垂直。。。然后矩形两边就不会相等，也就没有正方形了。。。
PS：说错了不要喷我，我才初中。。。
虚心学习中。。
请matrix67仔细看,,,这是一个不一样但类似的证明
下面，假设点阵中存在正方形，则我们一定能找到一个最【大】正方形。以正方形的每条边为边，向【外】作等边三角形，所得的第三个顶点也仍然在点阵上。然而，这四个新的顶点将会构成一个更【大】的正方形，于是产生矛盾。所以，我们永远无法在等边三角形点阵中作出一个正方形来。
算面积。。
证明（向量法）：
在点阵中随便选定一点作为可成之正方形的一个顶点，以该点为原点确定三个单位向量，在直角坐标系中这三个向量的方向分别是0度，60度和120度，若想表示出一个正方形这三个单位向量已经足够用了。这三个向量分别标志为a,b,c；再设出四个整数m,n,k,d。
用这些量表示出两个直角边为：（ma+nb）和（kc+db），
并且满足（ma+nb）^2=（kc+db）^2 （1）；
而对角线（或角平分线）应该表示为（ma+nb+kc+db），
并且满足2*（ma+nb）^2 =（ma+nb+kc+db）^2 （2）；
由于上面的式子（1）和（2）都是同一组量表示的等式，故两式相减应该为零，而对（1）式两边加上个（ma+nb）^2后很明显就能看出两式相减后不可能为零，故做不出任何正方形。
证毕。
没看懂ls想表达什么……
同样是矢量，随便选个点做原点，指向相邻60°两个点作为基e1,e2，那么平面上所有可选点将是a*e1+b*e2的形式，a,b为整数。假如有这么个正方形，那么由对称性可把一个顶点放到原点上，然后另一个点设为a*e1+b*e2，转90°应该是a*e3+b*e4，e3和e4是e1和e2转了90°的结果，e3=(e2-1/2 e1)*2/sqrt(3),e4=(e1+e2)/2，很明显不管ab是多少转出来都不会是整数，所以不可能……
地壳仔细看，这是个无限大网络，假设存在一个最大的正方形显然不对。。。
那如果这个点阵是分形呢？这样这个证明方法是没用的～
则我们一定能找到一个最小的正方形
真的吗？需要证明啊
按照上面证明里的构造方法，如果存在一个正方形，就可以得到一个正方形序列，每一个正方形边长是前一个的(√3 – 1)/√2，也就是说这个正方形序列的边长趋于0，而正方形边长不能小于等边三角形的边长，矛盾
我觉得这样说的话清楚一些
地核: 平面上2个就能构成基了，这边a,b,c三个向量其实有a+c=b的问题，不是基的话，也就没有唯一表出造成的矛盾了。
先假设存在，然后由最小的构造出更小的从而得出矛盾，很经典的证明思想啊（不过我是想不到了）
ps:最近在wiki上搜了一下matrix67结果。。。
地核证法不清，补充如下
m,n k,d为非负整数，a=(-1/2,sq(3)/2),b=(1/2,sqrt(3)/2),c=(1,0);
若想构成直角边，需满足：
(ma+nb)(kc+db)=0;(ma+nb)^2=(kc+db)^2;
代入坐标值得：
md-mk+nk+2nd=0;
n^2+nm+m^2-d^2-dk-k^2=0;
若能做出正方形，上两式需同时成立，化简变形得：
sqrt(3)*m=k+2d
上式在m,n,k,d取非负整数时无法成立，得证。
观察就能看出来吧，不管怎么选正方形的顶点，肯定有一条边是整数，另一条边是根号3（等边三角形的高）的倍数，这两个数不可能相等，所以不可能做出正方形。
啊，我错了，我看错题目了，抱歉 o(╯□╰)o
很美的证明！
假定存在这样的正方形，以一个角点为原点，以三角点阵的一条网线为实轴，显然，正方形另外三个顶点的复坐标都形如p+iq*sqrt(3),其中p、q均为有理数，故实部为有理数。但因为是正方形，其中一个点的坐标又必为另一点坐标乘以i，则该点又有形式ip+q*sqrt(3)，此形式实部为无理数。矛盾。
当然，此证明是蛮干。
以任一条网格线为实轴，显然所有点的复坐标均形如p+iq*sqrt(3)，即实部为有理数。但如果存在正方形，则必有一点形如（p+iq*sqrt(3)）*i，实部为无理数，矛盾。
复数处理旋转果然方便
内牛满面地看见了无穷递降法！
无穷递降法太妙了！
地壳不对啊
无语。。。
话说，正方形点阵（=-=这个词，想不起来更好的说法于是看起来有点傻。。。）中能否画一个正五边形？
正方形点阵（格点）也画不出正三角形。。。
武汉团购 http://www.365rice.com
顺着Cartman的想法往下说。。
假如是正方形，一方面面积肯定是整数（边长为sqrt（a^2+b^2+ab）），另一方面面积肯定是三角形的整数倍（Pick定理），导出矛盾。。
nice啊
哈哈 我要向博主好好学习学习！
假设有正方形，那么他是有n个菱形的对角边 = x个菱形边组成，由于n/x=根号3，是无限循环小数，即n和x不可能同时为整数，所以假设失败。
wow,原來這個題目已經存在了
我還以為是我的自編題咧…
我是先假設存在
然後做垂直畫成商高定理證明圖那個樣子(正方形中正方形那個)
因為外面那個正方形的長寬比不可能是有理數比無理數
所以矛盾,Q.E.D.
好啊 高手
选定一点作为可成之正方形的一个顶点，以该点为原点确定三个单位向量，在直角坐标系中这三个向量的方向分别是0度，60度和120度，若想表示出一个正方形这三个单位向量已经足够用了
Hmm it seems like your blog ate my first comment (it was extremely long) so I guess I’ll just
sum it up what I wrote and say, I’m thoroughly enjoying your blog.
I as well am an aspiring blog writer but I’m still
new to the whole thing. Do you have any helpful hints for novice blog writers?
I’d really appreciate it.
Stop by my web page vpn special coupon