趣题:两步猜出多项式的各项系数

有一个黑匣子,黑匣子里有一个关于 x 的多项式 p(x) 。我们不知道它有多少项,但已知所有的系数都是正整数。每一次,你可以给黑匣子输入一个整数,黑匣子将返回把这个整数代入多项式后的值。有一个不可思议的结论:你可以在两步之内还原出整个多项式!这是如何做到的呢?

首先,输入 1 ,于是便得到整个多项式的所有系数之和。不妨把这个系数和记作 S 。下一步,输入 S + 1 ,于是黑匣子返回

    an * (S + 1)n + an-1 * (S + 1)n-1 + … + a1 * (S + 1) + a0

把这个值转换成 S + 1 进制,依次读出每一位上的数,它们就是多项式的各项系数了。

来源:http://rjlipton.wordpress.com/2010/12/20/some-mathematical-gifts/
这个有趣的问题曾经以另一形式出现在了这个 Blog 里,见 这里 的 35 题。

44 条评论

  • pine_cone

    沙发么?

  • pine_cone

    还真是

  • trif

    我也是差不多的想法,先输入1,得到系数和S,然后输入10^(s+1)……

  • morrowind

    差不多,我想的是先输入1,得到各系数之和,记为S,再输入大于S的某个10的n次方。然后结果按照每n个数断位即可。

  • AK

    请教一下,为什么要求各系数之和呢,没想明白?直接输入任意是N,然后换为N进制,与这个有什么不同吗?

  • sqybi

    @AK 你不能保证你的N比S大

  • sqybi

    呃,应该是说不能保证N比每一个系数大

  • error 404

    弱弱一问,我们通过2个方程得到了N个未知数,隐含的N-2个条件在哪?

  • 75249

    @error 404
    实际上是N个方程.

  • darkraven

    @error 404:
    n个方程n个未知数是建立在给定方程的基础上的。
    自己选定方程的话就不同了

  • V Leo

    突然想到,这是不是某种压缩算法。。。
    然后再想到,输入S+1后产生的结果(称为SS)的长度可能(而且大多)比储存所有a[n]的长度还要大。。。
    eg:
    不妨设所有数字都以1位高精的方式存储。
    9、1、1、1、1、1、1、1 共占8

    S=16 储存 占2
    SS=3718694224 储存 占10
    共占12

    而且SS随着a[n]项数的增加而增加的速度很快。

  • sss正和

    我想到的是先输入1,得到S,数出S的位数N,再输入10^N,结果就是用0填充到N位的各个系数了。一直在10进制中进行,一目了然。

  • biohu

    嗯,不错~

  • 哈默

    这里是否有个错误?直观上看,存在一个潜规则,那就是ai(s+1),则不能得出所有系数。

  • kmplayer

    谢谢分享,很有意思的题目。

  • SDJL(刘永辉)

    不错,启发思维

  • shilcare

    如果知道系数的最大值,那么只要一步就可以做到了~

  • rene

    谢谢 很好的题目~~ matrix真是大牛啊

  • anonym

    如果条件不限制在正整数是否可以用一步就得出结论呢?
    比如输入个0.10100……01……什么的,适当构造0增加的速度,然后小数点后足够多位后会不会就能直接反向得到那个系数?

  • anonym

    如果条件不限制输入的数字为正整数是否可以用一步就得出结论呢?
    比如输入个0.10100……01……什么的,适当构造0增加的速度,然后小数点后足够多位后会不会就能直接反向得到那个系数?

  • hcl67

    恩,比想象的要简单。

  • lzc4160

    进一步,求出的这个多项式是唯一的吗?

  • shi

    回sqybi :个系数是正数故s不小于任何一个系数

  • shi

    回复“地基”“15楼”:由于每个系数是正数故s不小于任何一个系数。
    我的疑问是:N个未知数,只有两个独立方程。难道条件“所有系数是正整数”就代替了其他N-2个方程?或者,这仅仅是数制上的巧合?

    “18楼”的意思是代入一个比最大系数大的数(记m)就行,然后继续转换为m进制数,即可吧

  • aegisys

    To 25:
    题目中的正整数一词十分重要。

  • shi

    对呀,我的疑问是”正整数”这个条件就和另外的N-2个独立方程等价?
    还是算法有什么巧合的地方?

  • 很菜的蔡

    这。。是我们普特南训练的一题。。

  • lightest

    21楼, 你说的”0.10100……01……” 也许有点意思, 能具体讲一下方法么?

  • anonym

    to29,没细想,只是直觉,也许会有不可克服的错误……

    比如取输入的数字可能可以为a=∑10^(-(10^k)) 上式中前m项和记作am
    那么对于一个给定的n次多项式Pn(x)=anx^n+……+a1x+a0

    输出结果小数的前10^10^(m+1)-A位=P(am),因为给定Pn,其导函数P'(x)在a的一个领域内肯定存在上界M,那么根据中值定理可以很容易给出A一个估计
    0<P(a)-P(am)<M*(a-am)<2M*10^(-(10^m+1)) 那么A10^10^m对所有m成立
    所以在考虑10^10^m到10^10^(m+1)-A位之内的数字时,我们就能只考虑P(am)
    m十分大时10^(n*10^m)位前的一串数字只取决于an的数值,因为m十分大的时候其余项的和应该能够通过二项式定理给出一个估计,这个随m增长速度应该比10^10^m慢

    当n不知道的时候
    对所有n考察10^(n*10^m)位上的数字,m历遍正整数,对足够大m会重复出现的数字记录下来,n历遍正整数只会出现有限个非零这样的数字,当中n最大的那个就是Pn最高次系数an,之后就可以取Pn(a)-an*a^n化到n-1次的情形重复以上手段即可。

    好吧,我已经被自己绕昏了,估计会有一大堆问题,不想去纠结了

  • taozi

    正整数的话大于S都行,31楼说的却是不懂。。。

  • Chap

    用地毯同地下室的方法整理一下:
    先輸入1,得出所有系數的總和S
    因為所有系數為正整數,所以所有系數必定少於S
    之後輸入S,以後用以後方法取出系數C[k](k為次數)
    設C[k]為系數陣列,k為次數
    設darkbox(x)為黑盒函數,傳回黑盒的值p(x)
    %為mod operator
    vector C;
    int b = darkbox(1);
    int s = darkbox(b);
    while(s!=0){
    C.push_back(s%b);
    s=(int) s/b;
    }
    最後得出系數的陣列

  • 小白

    正整数隐含了系数Pn=f(N)%S^(n+1)这些方程?

  • orbea jersey

    呵呵 真聪明博主!

  • yang_bigarm

    哈,5分钟就解出来了,看来我的大脑还没有退化啊。
    分析:
    如果系数都不超过1位数,那么取x=10,就可以知道所有系数
    如果系数都不超过2位数,那么取x=100,就可以知道所有系数
    …….
    如果系数都不超过k位数,那么取x=10^k,就可以知道所有系数
    那么我怎么知道这个k呢?哈,取x=1,就得到了所有系数之和S,所有的系数都不大于S,再将S取对数加1,就可以了啊!
    综上所述:
    第一步 取x=1,得到所有系数之和 S
    第二部,取x=10^k,k=[log10(S)+1],得到所有系数,其中[]表示取整,log10(x)表示以10为底的对数函数。

  • 弱弱的说一句

    r=p(1)
    s=p(r+1)

  • 书呆子2

    先输入1得到各项系数的和,能够估计每项系数的最大值不超过a,然后取a的十进位位数为n,输入10^n,这样常数项系数就被放在了第n位到第1为,x项系数就被放在了结果2n到n+1位,。。。第m项系数就被放到了mn+1到(m+1)n位,自然数的表达能力是很强的

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    多一分心力去注意别人,就少一分心力反省自己。

  • Hank

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