用数学解赌博问题不稀奇,用赌博解数学问题才牛B

    有一个经典的概率问题:平均需要抛掷多少次硬币,才会首次出现连续的 n 个正面?它的答案是 2^(n+1) – 2 。取 n=2 的话,我们就有这样的结论:平均要抛掷 6 次硬币,才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数比你想象中的要多吧。我们不妨试着来验证一下这一结果。由简单的递推可得,所有 1 都不相邻的 k 位 01 串有 Fk+2 个,其中 Fi 表示 Fibonacci 数列中的第 i 项。而“抛掷第 k 次才出现连续两个正面”的意思就是, k 位 01 串的末三位是 011 ,并且前面 k – 3 位中的数字 1 都不相邻。因此,在所有 2^k 个 k 位 01 串中,只有 Fk-1 个是满足要求的。因此,我们要求的期望值就等于 ∑ (k=2..∞) k * Fk-1 / 2^k 。这个无穷级数就等于 6 。我怎么算的呢?我用 Mathematica 算的。

      

 
    显然,当 n 更大的时候,期望值的计算更加复杂。而简单美妙的结论让我们不由得开始思考,这个问题有没有什么可以避免计算的巧妙思路?万万没有想到的是,在赌博问题的研究中,概率论帮了不少大忙;而这一回,该轮到赌博问题反过来立功了。

    设想有这么一家赌场,赌场里只有一个游戏:猜正反。游戏规则很简单,玩家下注 x 元钱,赌正面或者反面;然后庄家抛出硬币,如果玩家猜错了他就会输掉这 x 元,如果玩家猜对了他将得到 2x 元的回报(也就是净赚 x 元)。
    让我们假设每一回合开始之前,都会有一个新的玩家加入游戏,与仍然在场的玩家们一同赌博。每个玩家最初都只有 1 元钱,并且他们的策略也都是相同的:每回都把当前身上的所有钱都押在正面上。运气好的话,从加入游戏开始,庄家抛掷出来的硬币一直是正面,这个玩家就会一直赢钱;如果连续 n 次硬币都是正面朝上,他将会赢得 2^n 元钱。这个 2^n 就是赌场老板的心理承受极限——一旦有人赢到了 2^n 元钱,赌场老板便会下令停止游戏,关闭赌场。让我们来看看,在这场游戏中存在哪些有趣的结论。

    首先,连续 n 次正面朝上的概率虽然很小,但确实是有可能发生的,因此总有一个时候赌场将被关闭。赌场关闭之时,唯一赚到钱的人就是赌场关闭前最后进来的那 n 个人。每个人都只花费了 1 元钱,但他们却赢得了不同数量的钱。其中,最后进来的人赢回了 2 元,倒数第二进来的人赢回了 4 元,倒数第 n 进来的人则赢得了 2^n 元(他就是赌场关闭的原因),他们一共赚取了 2 + 4 + 8 + … + 2^n = 2^(n+1) – 2 元。其余所有人初始时的 1 元钱都打了水漂,因为没有人挺过了倒数第 n + 1 轮游戏。
    另外,由于这个游戏是一个完全公平的游戏,因此赌场的盈亏应该是平衡的。换句话说,有多少钱流出了赌场,就该有多少的钱流进赌场。既然赌场的钱最终被赢走了 2^(n+1) – 2 元,因此赌场的期望收入也就是 2^(n+1) – 2 元。而赌场收入的唯一来源是每人 1 元的初始赌金,这就表明游戏者的期望数量是 2^(n+1) – 2 个。换句话说,游戏平均进行了 2^(n+1) – 2 次。再换句话说,平均抛掷 2^(n+1) – 2 次硬币才会出现 n 连正的情况。
 

62 条评论

发表评论