2010-08-08 14:12| 
42 Comments | 本文内容遵从一名初三的学生刘小坤给我提出了这样的问题：
给你一条线段 AB ，再预先给你一条平行于线段 AB 的直线 l 。请只用直尺作出线段 AB 的中点。
你能想到该怎么做吗？
在直线 l 的另一侧任取一点 C 。连接 AC 、 BC ，分别与 l 交于点 D 、点 E 。连接 AE 、 BD ，两线段交于点 F 。则 CF 的延长线与 AB 的交点 H 就是 AB 的中点。
由于 △CDG 与 △CAH 、 △CEG 与 △CBH 是两对相似三角形，因此我们有
AH:DG = AC:DC = BC:EC = BH:EG
另外，由于 △AFH 和 △EFG 、 △BFH 与 △DFG 又是两对相似三角形，因此我们还有
AH:EG = FH:FG = BH:DG
注意到 AH:DG = BH:EG 以及 AH:EG = BH:DG 同时成立，等式两边对应相乘便可得到 AH = BH 。
且慢，这只是一道热身题而已，有意思的现在才真正开始：
给你一条线段 AB ，请你用直尺和圆规作出线段 AB 的中点，不过在作图过程中你只能用一次圆规。
这次你还能想出办法吗？
以 B 为圆心， AB 为半径作圆。延长 AB 与圆交于 C ， AC 就成了圆的一条直径。过圆心 B 随便作另一条直径 DE ，于是四边形 ADCE 就是一个矩形。由于 AD∥EC ，因此借助前面讲过的方法我们能仅用直尺作出 AD 的中点 F ；类似地由于 AE∥DC ，因此我们也能找出 AE 的中点 G ；显然， FG 的连线与 AB 的交点 H 就是 AB 的中点。
好了，如果前两个问题你都想到了的话，请准备好接受终极挑战吧：
给你一条线段 AB ，请你只用圆规作出线段 AB 的中点。
以 B 为圆心， AB 为半径作圆。以 AB 为长度，从 A 点出发，在圆周上连续截取三次，得到点 C 。这个点 C 显然满足 AC ＝ 2AB ，它相当于是倍长 AB 后得到的点。现在，以 A 为圆心， AB 为半径作圆，再以 C 为圆心， AC 为半径作圆，两圆交于点 D 。以 D 为圆心， AD 为半径作圆，与 AB 交于点 E 。 E 就是 AB 的中点。
这是因为， △CAD 与 △DAE 是一对相似三角形（它们都是以 ∠A 为底角的等腰三角形），而 AD 是 AC 的一半，因此 AE 就是 AD 的一半。而 AD 是等于 AB 的，因此 AE 也就是 AB 的一半了。
先抢沙发再慢慢看！
好好研究一下，有点意思
这个终极挑战废了吧。。。圆规作图和尺规作图等价的。。
我抢下水道！！！ 先抢后看
圆规作图不是等价于尺规作图吗？
AB作垂线，然后交平行线于cd，作对角线相交于E，然后e点做AB垂线后得F，F为AB中点.
m大牛，我很想知道你这些插图是用什么软件画的。。
第一个证明可以用塞瓦定理
GR看的时候 感觉终极难题要被喷 果然...
@skydiver
像这些简单的线条图应该是几何画板, 复杂的话M67钟爱的是Mathematica.
简单。。M牛显然火星了
我作为一名弄竞赛的学生，狠悲痛的说一句
第一题是八几年高中数学竞赛的题目…………
PS：题目都很简单也~~
我会把卷子对折，使A与B重合，折线与AB的交点即为所求……
[...] 来源：http://www.matrix67.com/blog/archives/3513 [...]
用直尺和一次圆规也是和尺规作图等价
为什么这么麻烦呢？用直尺取AB的长度，分别从A,B出发交于平行线段就可以知道中点的位置啦。这样是不是不算数呀。
我滴个乖乖，我发现我脑子里装的都是浆糊啊
第二题还可以先用直尺和一次圆规做AB的平行线，然后转化为第一题。。。
最后一个是反演吧
[...] This post was mentioned on Twitter by yy77 and 大巨傻, QQReader. QQReader said: 不走寻常路：寻找线段的中点 http://goo.gl/fb/VPPqc [...]
其实吧，最简单的就是……用直尺量一下线段AB的长度，除以2，那个距离点就是中点啦！！
牛!
真好玩~
顺便膜拜下大牛。
第一题能不用相似型而用做辅助线证明全等一类的方法解吗？
印象中，《什么是数学》一书中，证明了
任何能用尺规作图解决的问题，只用圆规也能解决
如果能给定一个圆及其圆心，任何用尺规作图能解决的问题，只用直尺也能解决
很好想像力, 但樓主將問題想複雜了, 一般直尺都是有直角的, 各從A,B點向平行線l作垂線,垂足各為C,D. 連結CB, DA, 交於O點, 作O點到AB的垂線, 垂足為M, 則M為中點.
写的不错，现在的人很少回去这么开放思维了~~
汗，第三题有点看不懂，
以 AB 为长度，从 A 点出发，在圆周上连续截取三次，得到点 C 。
连续截取是怎么截取， 如何保证c和ab延长线在同一直线上呢？
尺规作图,神奇...
那个，三个60度就是180度啊，不用“保证”，这是很自然的吧
引用3L“圆规作图等价尺规作图”
跪求真相..
厉害！！。。。都不会。。。
第三题竟然是相似三角形
为什么我几何不开窍。。。
我觉得第三题最简单也。。。
我也都不会。。。
这些方法理论性都很好，但是实际误差会很大。我一直在用的是一个只用圆规的方法——无限逼近，你先用圆规估计一下中点，以左端点为圆心，估计的圆心到左端点的距离为半径画弧，交线段为A点，再以又端点为圆心画出B点，继续估计AB中点C，以C为新的估计圆心，重复以上操作，这样两三次就能画出精确度很高的圆心，而且很快。相反地，用标准方法，倒是很慢，而且误差大。
小伙子，有前途。
牛人啊
我用了不到一分钟，发现第一问就用西瓦定理可证，画法当然和版主相同，也没有什么可画的，很简单。
第三个不会 0.0
你懂得走吗
[...] F 、 G 、 H 、 I 各点，那么 I 就是 CD 的中点。具体的证明可以参见这里。 现在，对 CD 上的每一个小线段继续平分下去，直到把 CD [...]
[...] F 、 G 、 H 、 I 各点，那么 I 就是 CD 的中点。具体的证明可以参见这里。 现在，对 CD 上的每一个小线段继续平分下去，直到把 CD [...]