惊人的答案:平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1

    数学常数最令人着迷的就是,它们常常出现在一些看似与之毫不相干的场合中。 随便取一个 0 到 1 之间的数,再加上另一个 0 到 1 之间的随机数,然后再加上一个 0 到 1 之间的随机数⋯⋯直到和超过 1 为止。一个有趣的问题:平均需要加多少次,才能让和超过 1 呢?答案是 e 次。

  

 
    为了证明这一点,让我们先来看一个更简单的问题:任取两个 0 到 1 之间的实数,它们的和小于 1 的概率有多大?容易想到,满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积,因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地,三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ,它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系,通过简单的积分求得:        ∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6   

 
    可以想到,四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”,它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体,在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”

       ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

    依此类推, n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ,反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 – 1/n! ,因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是

       (1 – 1/n!) – (1 – 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

    因此,要想让和超过 1 ,需要累加的期望次数为

       ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

 
来源:http://www.mostlymaths.net/2010/08/and-e-appears-from-nowhere.html

59 条评论

  • question1663

    BRILLIANT!

  • voices

    佩服!

  • wecing

    我靠,这个答案太悬疑了……

  • Phil

    您真的用 macbook 了?

  • Kane

    突然发现源地址 http://www.mostlymaths.net 竟然被墙…

  • Eagle_Fantasy

    妙哉 无处不在的e

  • 白左

    看见了mac疑似物

  • 白左

    啊呀,所以说这是为什么呢,为什么宇宙中有一个数是大量规律的不变常数呢?
    一个可能的答案是,为了减轻模拟我们这个宇宙的超级计算机的负荷,所有的积分常数和偏移常数都是一样的

    超意识A:喂,给这个基准常数取一个数吧,整数?
    超意识B:iyada,整数很容易让原始人生疑的,取个无理数吧。
    (超意识B在单向加密软件中输入了他的名字,很快,一个长度为无限的无理数MD5i码就生成好了,前三位是2.71。超意识B随手将它复制进变量池最后一个空缺的位置,回车)

    下一秒,宇宙诞生

  • shenpeng

    刚刚用这个模型去求e的值,两次400000次重复试验试验,结果分别是2.71525和2.7154275,收敛好慢啊……

  • 青年

    数学果然很美~

  • DarkRaven

    另有一个经典题目:
    一串物品,每一个都有一个喜好度,一个一个给你看,你只能选择一次.
    最佳方案是先看前n/e个,选出最大的,然后之后看到一个比这个最大值大的就选.
    额,怎么证明呢?

  • DarkRaven

    @白左:
    无论在什么宇宙,只要数学系统相同,结果就是e,而数学是人类的创造!

  • sexla

    laiguangguangle,实在看不懂

  • biohu

    很神奇…

  • 剑影若兰

    严格来说应该是满足[0,1]均匀分布的随机数吧。。。

  • cbkid

    博主也用mac了?linux没人了吗?

  • ncmooc

    这个答案令人深思。
    惊现mac疑似物。

  • blade

    猜的是3。。。还挺近的。。。一开始想随机取一个期望是0.5,所以大于两个的话基本就行。。。没想到这么复杂:D

  • snaily

    15L的问题也很有趣,求证!

  • snaily

    15L的问题有证明不?

  • 花荣

    再引申一下,这些随机数加在一起,和是多少?
    1.359?

  • 呼吸

    看似毫不相干 我也这么想 幸会幸会

  • Ming

    一定要添加一条:
    随机数是均匀分布在[0,1]上,否则结论不成立

    我很喜欢你对于’n维立方体一角’体积的证明,很简单明了,得到1/n!的结果比我的笨方法好多了.
    但是最后一步有点多余了,因为E(n|S(n)>1)=E(n|S(n)<1)=E(n|S(n)=1).

  • wuzhengkai

    归纳的很精妙!

  • onlytest

    这个是什么软件…

  • Boleyn Su

    首先,将题目转化为平均要取多少个1到n-1中的随机数才能让和超过n。显然当n趋于无穷大时,这两个问题是等效的。
    然后,解:
    设f(x)表示平均取多少次才能大于x.
    显然 f(x)=0 x0来说,设之前最后一次取得了i,那么i在1到n-1之间,且取到任意一个数的概率为1/(n-1).
    所以 f(x)=sum{(1+f(x-i))/(n-1);1<=i<=n-1}
    =1+sum{f(x-i);1<=i<=n-1}/(n-1)
    =1+sum{f(t);0<=t<=x-1}/(n-1)
    令 F(x)=sum{f(i);0<=ioo) f(n)=(1+1/(n-1))^(n-1)*(1+1/(n-1))
    =e*1
    =e

  • Boleyn Su

    无语 XXXX为被和谐内容 这个HTML隔绝方式 也太奇特了吧
    首先,将题目转化为平均要取多少个1到n-1中的随机数才能让和超过n。显然当n趋于无穷大时,这两个问题是等效的。
    然后,解:
    设f(x)表示平均取多少次才能大于x.
    显然 f(x)=0 x<0
    f(x)=1 x=0
    对于x>0来说,设之前最后一次取得了i,那么i在1到n-1之间,且取到任意一个数的概率为1/(n-1).
    所以 f(x)=sum{(1+f(x-i))/(n-1);1<=i<=n-1}
    =1+sum{f(x-i);1<=i<=n-1}/(n-1)
    =1+sum{f(t);0<=t<=x-1}/(n-1)
    令 F(x)=sum{f(i);0<=i<=x}
    则 f(x)=1+F(x-1)/(n-1) ……[1]
    所以 f(x-1)=1+F(x-2)/(n-1) ……[2]
    [1]式-[2]式得 f(x)-f(x-1)=(F(x-1)-F(x-2))/(n-1)
    所以 (f(x)-f(x-1))*(n-1)=f(x-1)
    所以 f(x)=f(x-1)*n/(n-1)
    =(n/(n-1))^x*f(0)
    =(n/(n-1))^x
    所以 f(n)=(n/(n-1))^n
    lim(n->+oo) f(n)=(1+1/(n-1))^(n-1)*(1+1/(n-1))
    =e*1
    =e

  • math

    加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是

    (1 – 1/n!) – (1 – 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
    这步怎么感觉不对啊,减是啥意思

    • 加力球

      对于任意离散的随机变量N:
      P{N = n} = P{N <= n} – P{N <= n – 1} 明白了吧

  • sugarzh

    关于15L的问题,魔方俱乐部里面有人讨论过这个
    http://bbs.mf8.com.cn/viewthread.php?tid=22929

    结论在主贴,证明在14L

  • sugarzh

    关于15L的问题,中国魔方俱乐部有人讨论过
    http://bbs.mf8.com.cn/viewthread.php?tid=22929

    结论在14L有证明

  • sugarzh

    – – 不小心风怒了。。。第一次卡了,刷新也刷不出来

  • Nice Guy

    从0到1取一个数小于1的概率也是1吗?!

  • Nice Guy

    n维空间与n-1维空间的运算这样不对吧

  • aLex

    15L本来是选秘书的题吧,大学概率书上有,很经典那,选老婆是不是也适用呀哈哈

  • paramecium

    昨天刚学了*中心极限定理*手痒想试试其威力的工科男解法:

    对每一个随机数字xi服从均匀分布U(0,1),均值E(xi)=1/2,方差D(xi)=1/12,令X=∑(i=1..n)xi,由中心极限定理,Zn = (X-∑E(xi)) / √∑D(xi)服从标准正态分布N(0,1),P{X>1} = P{Zn>(1-n/2)/√(n/12)} = Φ((1-n/2)/√(n/12))。令(1-n/2)/√(n/12) (7+√33)/2=6.372,即平均*最少*要取6.372个随机数,X=Σxi>1,置信度超过99.87%(=99.74%+0.13%)。

  • paramecium

    发现少了字,再发一遍。

    对每一个随机数字xi服从均匀分布U(0,1),均值E(xi)=1/2,方差D(xi)=1/12,令X=∑(i=1..n)xi,由中心极限定理,Zn = (X-∑E(xi)) / √∑D(xi)服从标准正态分布N(0,1),P{X>1} = P{Zn>(1-n/2)/√(n/12)} = Φ((1-n/2)/√(n/12))。令(1-n/2)/√(n/12)[小于号]-3σ=-3,解得n[大于号](7+√33)/2=6.372,即平均*最少*要取6.372个随机数,X=Σxi>1,置信度超过99.87%(=99.74%+0.13%)。

    “尖括号”里面的字被吃掉了,强大的html过滤…

  • paramecium

    还有,31L的问题与原问题并不等价,最多只能说两个问题的答案刚好相等。M牛的问题是(0,1)范围内的实数集(不可数集),而{1/n,2/n..1}是(0,1)范围内的有理数集的一个子集(可数集),不可数集和可数集明显是不能一一对应的,31L的解法把所有的无理数都忽略掉了(比如√2/2)。

  • yh

    15L那个问题若干年前的mm群光棍节模拟赛里有。。

  • ZWJ

    如果n个数地和大于一常数K,那n的期望和K是什么函数关系呢?好像是分段的。用体积法可以证明K<1时,n=e^K。1<K<2时,n=e^K-(K-1)*e^(K-1)。后面的维数太高,几何直观出不来了。跪求高人啊!

  • yang_bigarm

    这个解法太高明了,我以前做过这个问题,先求均匀分布之和的表达式f[x](这一步就巨复杂了),然后再算f[x]从0到1积分(又是一堆巨麻烦的积分),可以得到相同的答案。

  • mmaa01

    我曾经考虑过一个问题:
    一个数4,可以分解为4个相同的数之和吗?
    一个数5,可以分解为5个相同的数之和吗?
    一个数6,可以分解为6个相同的数之和吗?
    结果发现都是1.
    同样又想
    一个数4,可以分解为4个相同的数之和吗?
    一个数5,可以分解为5个相同的数之和吗?
    一个数6,可以分解为6个相同的数之和吗?
    答案是可以。但是每个分解都不一样。分别是4的4次根、5的5次根、6的6次根。大小不一样。
    自然联想到哪个数的分解是最大的呢,结果是3的分解最大。
    那么一个实数n可不可以考虑它是n(个)相等的数之乘积呢。就是n的1/n次方。
    发现在实数域里面,通过求导可以得到,最大的那个分解的数是e。
    用上面的语言描述就是e可以分解为e(个)相同的数之积。这个数是所有实数中按这个规律分解得到的最大的一个数1.4446678610097661336583391085964。(用xp自带的计算器算了一下,里面没有e,自己倒腾了几下不知道对不对)

  • orbea jersey

    这个理念不错 我很喜欢!

  • AirLee

    另一个问题:
    定义运算Ranint(1,x),x∈N,x>1,是从1~x中随机取一个整数,设Xn+1=Ranint(1,Xn),X0=m时,若Xn=1,则期望E(n)=Hm≈ln(m),Hm为调和级数.
    拓展:1、运算改为Ran(0,x),x∈R:从(0,x)中随机取一个实数,仿上迭代过程,当Xn<1时结束,E(n)=?
    2、运算改为Ran(0,kx),k>0.k>e时,Xn有增加的趋势,k<e,Xn有减少的趋势,猜想E(Xn/X0)≈(k/e)^n,n趋向于正无穷.

    两个拓展我都没搞出来,我觉得跟这个问题有渊源,求大牛解答.

  • gml777

    不错,不过看了一下博主都是 写概率方面的,其实数学除了概率还有很多很多

  • cervelo

    首先,将题目转化为平均要取多少个1到n-1中的随机数才能让和超过n。显然当n趋于无穷大时,这两个问题是等效的。

  • lipan

    31楼的答案跳跃的有点儿快。

  • qirenrui

    这个真神了……有没有本质些的解释

  • ruiyang

    厉害!!对于四维以上的,如四维 ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24,积分表达式不太理解。。。

    • 加力球

      二维中面积比等于相似比平方,三维中体积比等于相似比立方,依此类推三维中面积比等于相似比立方, 可以类似推广到N维中的”体积”比等于相似比N次方
      N维中的”锥体”是底面为一个N-1维图形, 并且在”高度”x处截得图行与底面相似且相似比为 (1-x) (假设高为1) 所以体积(也就是概率)
      Pn = ∫(0,1)(1-x)^(n-1)P(n-1)dx, 得递推公式Pn = P(n-1) / n, 又有初值P1 = 1所以Pn = 1/n!

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