2010-06-01 11:41| 
57 Comments | 本文内容遵从你相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小！ Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析，不但证实了地球是圆的，还依据照片上的内容对地球半径进行了估算。我把计算的大致过程向大家描述一下，供大家膜拜。
事情的起因就是上面这张很平常的日落照片，以及这样一个大家平时并没有太在意的问题：太阳露出水面的部分应该是一个标准的弓形，但为什么在日出日落时，我们所看到的太阳是一个橄榄球一样的形状？大家或许会很快想到，发光体的下半部分其实是日光反射在水面上造成的。随之产生的是另一个问题：为什么它的下半部分要比上半部分小一些呢？
这是因为——想到这个问题的答案并不容易——地球是圆的。上图就是人站在地球上看日出的一个比例夸张版示意图，其中 O 为地球的中心， A 为人眼的位置， AB 为视平线， B 点为水天交界处。由于太阳距离我们相当遥远，因此我们把太阳光看作是一束理想的平行光线。我们把直接射入人眼的太阳光与 AB 的夹角记为 α ，把经过水面上的一点 C 反射进入人眼的光线与 AB 的夹角记为 β 。从图上可见，视角 β 比 α 小，也就是说太阳在水面上的镜像比本身要小一些。
β 究竟比 α 小多少呢？对照片进行精确地测量，可知太阳的直径相当于照片中的 317 个像素，而露出水面的部分高 69 像素，水中的倒影则只有 29 像素。众所周知太阳的视直径（看太阳的视角）为 0.5 度，因此我们就得到 α = 0.5 * 69 / 317 ≈ 0.1088 度， β = 0.5 * 29 / 317 ≈ 0.0457 度。
如果再已知人眼（或者说相机）离水面的垂直距离 h 为 2 米，那么根据这些数据我们就足以估算出地球的半径了。不妨把 ∠AOB 记为 φ ，把 ∠AOC 记为 θ ，把人眼到水天相接处的距离 AB 记为 D ，把人眼到反射点的距离 AC 记为 d ，入射角和反射角记为 γ ，最后用 r 来表示地球半径，那么此时我们一共有 6 个未知量。为了求解出这 6 个未知数，我们需要寻找 6 个不同的方程。这 6 个方程可以由以下 6 组等量关系得到：
1. 四边形 OBAC 的内角和为 360° ，即 (φ - θ) + 90° + β + (180° - γ + 90°) = 360° ， 化简得 方程(1) φ + β = θ + γ
2. 两条平行线的同旁内角相加为 180° ，即 (α + β) + (180° - 2γ) = 180° ，即 方程(2) α + β = 2γ
3. 由于 AO = h + r ，同时又有 AO = AD + DO = D·sinφ + r·cosφ ，因此有 方程(3) h + r = D·sinφ + r·cosφ
4. BD 既可以等于 D·cosφ ，又可以等于 r·sinφ ，于是有 方程(4) D·cosφ = r·sinφ
5. 由于 AO = h + r ，同时又有 AO = AE + EO = d·sin(γ+θ) + r·cosθ ，因此有 方程(5) h + r = d·sin(γ+θ) + r·cosθ
6. CE 既可以等于 d·cos(γ+θ) ，又可以等于 r·sinθ ，于是有 方程(6) d·cos(γ+θ) = r·sinθ
一系列复杂的代数运算（省略数百字）最终告诉我们：
r = h / (√1 - 2·cosβ·cosγ + cos2γ / sinβ - 1)
其中 γ = (α + β)/2 。代入已知的 α 、 β 和 h 可以得到，地球半径 r 大约为 7.29312 * 106 米，也即 7293 千米。
这个估算的误差有多大呢？事实上，地球的半径大约为 6300 多千米，可见误差不是一般的大。不过，考虑到我们估算的依据仅仅是一张照片，能把数量级估对就已经相当牛 B 了。除了测量的精度之外，还有很多潜在的因素会导致误差。目前看来，误差的最主要来源似乎是不完全平静的水面——一点小小的波浪就会给 α 、 β 的值带来巨大的影响。
莫非是沙发。。。第一次撒，hoho
前排…好神奇…
前排
前排
厉害
果断前排占位膜拜
用这个方法好像还可以测出照相片的位置呃……
很强势…国外的，国内，估计没人做这类型吧。
[...] This post was mentioned on Twitter by 靛海幽蓝, Gary Lin. Gary Lin said: [Reading] 用一张日落照片估算出地球的半径: 你相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小！ Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落... http://bit.ly/998H3E [...]
这个h估算得也太粗略了吧，明显误差主要来源应该是相机距离水面的高度。
前十……
我什么时候抢到沙发啊……
我勒个艹。。。这个太神奇了。。。膜拜！！！
有没有这个可能，先从地球半径的数量级反推出那个橄榄形状的像素比例，然后从n张照片里选一张合适的，然后写paper发表出来装逼？
我腹黑。。。。
11楼，你泄漏了天机...很多凑数的论文确实就是这么反推出来的
其实这套理论是有些问题的，因为由于大气层的缘故，太阳光射入眼睛经历了一个偏转，而这样的一个偏转在日出日落的时候，会更加显著。
呵呵，不过按照的作者的方法也许是可以估计出一个量级的，当然前提他要先知道地球是圆形的。
果断回复！太厉害了！
82啊你的广告木有效果。。要不再打一个。。
我勒个去~太神了~
拍太阳的照片会因为周围的光晕产生误差的吧……
所以如果用拍月亮的呢？
真的有点怀疑12L说的
高度2米左右没错，实际上原文中提到作者是站在一英尺左右的高度拍摄的，他自己估计相机镜头的高度在海平面上7英尺左右。
导致估算数值偏大的真正原因，可能是忽略掉的“细微的波浪”。虽然他一再说当时很平静无风，但是他也提到过波浪会拉长太阳的倒影，以至于在很多日落照片中，浪大的时候，影子甚至可以延伸到海岸线。从图片也可以看出来，细小的波浪还是有的，这会导致β偏大，从而导致估算出的半径偏大。（因为考虑极限情况，如果倒影拉长到跟原象一样，会误算出地球半径无限大）
说说我的看法：
个人认为，波浪的因素应该可以忽略。 因为太阳的入射角（PI/2-γ）接近90度，人的身高忽略不计那么出射角也接近90度。这个中间反射面的任何变化都会导致入射光无法到达人眼（被反射到了高处或别遮挡。）至于图片中太阳的倒影，则是阳光被大片水面漫反射后的结果（总体上还是水平的镜面）。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
大气密度随高度上升而逐渐稀薄，光线通过不同密度的空气会发生折射，这点在日出与日落时，因为入射角大，穿越大气距离长会尤为明显。
但是这个现象与本题的推算似乎没有关系。
【很多日落照片中，浪大的时候，影子甚至可以延伸到海岸线。】
这个也许是错误的，【影子甚至可以延伸到海岸线】的照片往往是在太阳还有一定高度的情况下拍摄。
网上应该有很多类似的照片，欢迎大家交流。
这里面用到的几何并不复杂，照这样说，古希腊的人本应早就认出地球是圆型。
所以凡是古代相信地球是平的民族智商都有问题。
我勒个c...
众所周知太阳的视直径（看太阳的视角）为 0.5 度,这个是如何算的？
[...] http://www.matrix67.com/blog/archives/3331 [...]
[...] 出自matrix67.com [...]
好牛...
以及海水的折射,也偏离了一定的角度,
如果照片解析率高,又是连拍的话,进行一批计算,使用统计来弥合误差,
应该可以控制在10Km 的程度,
数学很好玩...
太阳光不应该有折射吗?
不是，不是一般的牛，是很牛
这不能说仅凭一张照片测出，还用到了“众所周知太阳的视直径（看太阳的视角）为 0.5 度”和“如果再已知人眼（或者说相机）离水面的垂直距离 h 为 2 米”，另外波浪会使倒影比平静水面拉长一些
我已经那啥了……
赞~科学好神奇啊~开阔思路了
我汗，又见EST
EST
假设摄影人的高度为1.72米，那么地球直径是7293*1.72/2.00＝6272千米，这个结果是不是更牛逼啊？
视直径怎么定义的？wikipedia上没有。。
另外，楼上不要太激动。。。
顶
人的高度有很大影响吧
厉害厉害！佩服佩服
好劲啊，善于发现问题，不简单！值得学习！！
这个问题的介绍在《物理学基础》上不是一直都有的么- -
[...] 有人看到图片以后问我为什么不去算土摩托的手速？冠冕堂皇的理由是土老师没带手链，不好判断边界。当然，除了柴老师手速，还可以算每场篮球比赛球弹出底线多少次，通过小便量算自己膀胱体积，算一下人的喷嚏对于蚊子而言相当于多少级大风之于人类，在飞机上通过地面物体的大小判断飞行高度，等等。更高级一点的，可以看看这两个例子：用微波炉和棉花糖估算光速；用一张照片估算地球半径。（更多费米问题的资源请 google “Fermi question”） [...]
来follow5哦
入射光线应该是水平的才对
用一张日落照片估算出地球的半径...
你相信吗，仅仅利用一张日落的照片，你就能得出地球的半径大小！ Princeton 大学的 Robert Vanderbei 在最近的一篇论文中对一张摄于密歇根湖的日落照片进行了分析，不但证实了地球是圆的，还....
[...] 有人看到图片以后问我为什么不去算土摩托的手速？冠冕堂皇的理由是土老师没带手链，不好判断边界。当然，除了柴老师手速，还可以算每场篮球比赛球弹出底线多少次，通过小便量算自己膀胱体积，算一下人的喷嚏对于蚊子而言相当于多少级大风之于人类，在飞机上通过地面物体的大小判断飞行高度，等等。更高级一点的，可以看看这两个例子：用微波炉和棉花糖估算光速；用一张照片估算地球半径。（更多费米问题的资源请 google “Fermi question”） [...]
我想到另外一个误差来源，就是因为相机本身的原因，照片是有畸变的
想起我们初二物理竞赛班一次老师出的题目。。。。用秒表和直尺测地球周长。。。。。。好像也跟这个差不多。。。。。。利用楼顶与楼底看到落日消失的时间差。。。。
在太阳接近地平线的时候光线在空气中的光程已经比较大了，此时太阳的视直径也相应的变大。但是这对结果的影响并不大，因为相对于h的变动来说。H取2m，与取1.8米，即可达到10%的误差。事实上一般的三角架常用的高度为1.0m到1.5m之间；而照相者的身高差异也类似的大。并且如果不用三角架的话铅直很难控制，h更不好精确的估算。
最后一句话波浪对于alpha，beta的影响就是在扯淡。若是日落或日出时海边刮大风，你可曾觉得太阳的大小在明显的变化？要知道人眼的角分辨率大概在0.01度左右——并且，最重要的是，函数cos（x）在x很小时的导数非常小——因而这人眼不可辨的、小于0.01度的误差——对于最终结果的影响也就非常的小。量化的说，就是x*delta x对于1所造成的影响。
真的是受教了。。
好神奇好深奥 不错！
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