2010-03-21 23:23| 
15 Comments | 本文内容遵从这本电子书的第五章非常牛 B ，里面讲到了一系列与多边形的内接图形有关的定理及其证明。有意思的是，同样是研究多边形的内接图形，当具体的研究对象不同时，证明手段也各有各的精彩，并且十分难得的是，这些证明都极具欣赏价值。读完这些巧妙的证明后，我迫不及待地想与大家分享。这里我们先来热热身，看一看最简单的情况：一个多边形内是否总能内接一个等边三角形。
答案是肯定的，任意一个多边形内总存在一个内接等边三角形。一个非常直观的证明是，令 P 为多边形边界上的一点， Q 点为多边形上的一个动点。以 PQ 为边作等边三角形，把这个三角形的第三点记作 R 。当 Q 离 P 点充分近的时候， R 显然在多边形内部；当 Q 点运动到离 P 点最远处 Q' 时，多边形内的任意一点到 P 的距离都比 PQ' 小，因此此时 R 点只可能在多边形外。但 R 的运动轨迹显然是连续的，因此在运动过程中它一定经过了多边形的边界。此时，我们就找到了多边形边界上的三个点 P 、 Q 、 R ，它们组成了一个等边三角形。
另一个漂亮的证明如上图所示。令 P 为多边形某条边上的一点，将整个多边形顺时针绕 P 点旋转 60 度。显然， P 点所在的线段经过旋转后，有一部分将落在原多边形内，有一部分将落在原多边形外。因此，旋转后的多边形必然与原多边形的边界有其它交点，否则它的边不可能形成一条封闭的回路。不妨设另一交点为 Q ，再把 Q 点绕 P 逆时针旋转 60 度后得到的点记作 R 点。那么显然 R 点在原多边形上，并且 △PQR 是一个等边三角形。
注：这一系列证明中有很多是不完整的，许多看似显然的细节实际上有待进一步去证明。但是，这仍然不影响我们去欣赏这些优雅的证明（尤其是它们的思路）。
啦啦啦，我是沙发帝！
板凳……
地毯
更新的下载地址：http://www.math.ucla.edu/~pak/geompol8.pdf
原来那篇里的地址失效了
好巧妙的思路啊......
想不到想不到......
第二个要怎么证明呢？
想到没想到的可以这样的思路
话说在校园网里下不到那本书 有没有好心人帮忙发到我的邮箱 谢谢
greatzyf@gmail.com
证明完全无力……
有一个命题：任意简单闭曲线总能内接一个正方形
这个怎么证明啊？？
第一个证明很牛，经典的连续函数中值定理
内接正三角形是指三角形的三个点在多边型上还是指正三角形全部内置于多边形内？
如果是后者，这两个证明都是不对的。
后者的那个“显然”，为什么我就不觉得很显然呢
眼花了
觉得证明手段也各有各的精彩，并且十分难得的是，这些证明都极具欣赏价值。