什么是算法:如何寻找稳定的婚姻搭配

引言 什么是算法
如何寻找稳定的婚姻搭配

 
    据说,一本书开篇就直言不讳地谈起两性的话题,这本书准能畅销。有幸的是,在众多可以用来引入“算法”的话题中,我最喜欢的那一个还真与两性有那么一些关系。假如你是一个媒人,有若干个单身男子登门求助,还有同样多的单身女子也前来征婚。如果你已经知道这些女孩在每个男人心目中的排名,以及男孩们在每个女孩心中的排名(1),你应该怎样为他们牵线配对呢?
    最好的配对方案当然是,每个人的另一半正好都是自己的“第一选择”。这虽然很完美,但绝大多数情况下都不可能实现。比方说,男 1 号的最爱是女 1 号,而女 1 号的最爱不是男 1 号,这两个人的最佳选择就不可能被同时满足。如果出现了好几个男人的最爱都是同一个女孩儿的情况,这几个男人的首选也不会同时得到满足。当这种最为理想的配对方案无法实现时,怎样的配对方案才能令人满意呢?
    其实,找的对象太完美不见得是个好事儿,和谐才是婚姻的关键。如果男 1 号和女 1 号各自有各自的对象,但男 1 号觉得,比起自己现在的对象,女 1 号更好一些;女 1 号也发现,在自己心目中,男 1 号的排名比现男友更靠前一些。这样一来,这两人就可能会发生外遇,最后扔下各自现在的对象,一起私奔了——因为这个结果对他们两人都更好一些。在一种男女配对的方案中,如果出现了这种情况,我们就说婚姻搭配是不稳定的。作为一个红娘,你深深地知道,对象介绍得不好没有关系,就怕婚姻关系不稳定。给客户牵线配对时,虽然不能让每个人都得到最合适的,但婚姻搭配必须得是稳定的。换句话说,对于每一个人,在他心目中比他当前的伴侣更好的异性,都不会认为他也是一个更好的选择。现在,我们的问题就是:稳定的婚姻搭配总是存在吗?应该怎样寻找出一个稳定的婚姻搭配?


    为了便于分析,我们下面做一些约定。我们用字母 A 、 B 、 C 对男性进行编号,用数字 1 、 2 、 3 对女性进行编号。我们把所有男性从上到下列在左侧,括号里的数字表示每个人心目中对所有女性的排名;再把所有女性列在右侧,用括号里的字母表示她们对男性的偏好。图 0-1 所示的就是有 2 男 2 女的一种情形,每个男的都更喜欢女 1 号,但女 1 号更喜欢男 B ,女 2 号更喜欢男 A 。若按 A-1 、 B-2 进行搭配,则男 B 和女 1 都更喜欢对方一些,这样的婚姻搭配就是不稳定的。但若换一种搭配方案(如图 0-2 ),这样的搭配就是稳定的了。

 
          
 图 0-1  一个不稳定的婚姻搭配 男 B 和女 1 都不满意现任伴侣
 

 
          
          图 0-2  一个稳定的婚姻搭配
 

    可能很多人会立即想到一种寻找稳定婚姻搭配的策略:不断修补当前搭配方案。如果两个人互相之间都觉得对方比自己当前的伴侣更好,就让这两个人成为一对,剩下被甩的那两个人组成一对。如果还有想要私奔的男女对,就继续按照他们的愿望对换情侣,直到最终消除所有的不稳定组合。容易看出,应用这种“修补策略”所得到的最终结果一定满足婚姻的稳定性,但这种策略的问题就在于,它不一定有一个“最终结果”。事实上,按照上述方法反复调整搭配方案,最终有可能会陷入一个死循环,因此该策略甚至不能保证得出一个确定的方案来。

 
   
         图 0-3  应用“修补策略”可能会产生死循环
 

    1962 年,美国数学家 David Gale 和 Lloyd Shapley 发明了一种寻找稳定婚姻的策略。不管男女各有多少人,不管他们各自的偏好如何,应用这种策略后总能得到一个稳定的婚姻搭配。换句话说,他们证明了稳定的婚姻搭配总是存在的。有趣的是,这种策略反映了现实生活中的很多真实情况。
    在这种策略中,男人将一轮一轮地去追求他中意的女子,女子可以选择接受或者拒绝她的追求者。第一轮,每个男人都选择自己名单上排在首位的女人,并向她表白。此时,一个女孩儿可能面对的情况有三种:没有人跟她表白,只有一个人跟她表白,有不止一个人跟她表白。在第一种情况下,这个女孩儿什么都不用做,只需要继续等待;在第二种情况下,接受那个人的表白,答应暂时和他做男女朋友;在第三种情况下,从所有追求者中选择自己最中意的那一位,答应和他暂时做男女朋友,并拒绝其他所有的追求者。
    第一轮结束后,有些男人已经有女朋友了,有些男人仍然是单身。在第二轮追女行动中,每个单身男都从所有还没拒绝过他的女孩中选出自己最中意的那一个,并向她表白,不管她现在是否是单身。和第一轮一样,女孩儿们需要从表白者中选择最中意的一位,拒绝其他追求者。注意,如果这个女孩儿已经有男朋友了,当她遇到了更好的追求者时,她必须拒绝掉现在的男友,投向新的追求者的怀抱。这样,一些单身男人将会得到女友,那些已经有了女友的人也可能会被甩掉,重新变成光棍。在以后的每一轮中,单身的男人继续追求列表中的下一个女孩儿,女孩儿则从包括现男友在内的所有追求者中选择最好的一个,并对其他人说不。这样一轮一轮地进行下去,直到某个时候所有人都不再单身,下一轮将不会有任何新的表白发生,整个过程自动结束。此时的婚姻搭配就一定是稳定的了。

 
   
   图 0-4  应用上述策略,三轮之后将得出稳定的婚姻搭配
 

    这个策略会不会像之前的修补法一样,出现永远也无法终止的情况呢?不会。下面我们将说明,随着轮数的增加,总有一个时候所有人都能配上对。由于在每一轮中,至少会有一个男人向某个女人告白,因此总的告白次数将随着轮数的增加而增加。倘若整个流程一直没有因所有人都配上对了而结束的话,最终必然会出现某个男人追遍了所有女孩儿的情况。而一个女孩儿只要被人追过一次,以后就不可能再单身了。既然所有女孩儿都被这个男人追过,就说明所有女孩儿现在都不是单身,也就是说此时所有人都配上对了。
    接下来,我们还需要证明,这样得出的配对方案确实是稳定的。首先注意到,随着轮数的增加,一个男人追求的对象总是越来越糟,而一个女孩儿的男友只可能变得越来越好。假设男 A 和女 1 各自有各自的对象,但比起现在的对象来,男 A 更喜欢女 1 。因此,在此之前男 A 肯定已经跟女 1 表白过。既然女 1 最后没有跟男 A 在一起,说明女 1 拒绝了男 A ,也就是说她有了比男 A 更好的男人。这就证明了,两个人虽然不是一对,但都觉得对方比自己现在的伴侣好,这样的情况绝不可能发生。

    我们把用来解决某种问题的一个策略,或者说一个方案,或者说一个处理过程,或者说一系列操作规则,或者更贴切的,一套计算方法,叫做“算法”。上面这个用来寻找稳定婚姻的策略就叫做“ Gale-Shapley 算法”,有些人也管它叫“延迟认可算法”。
    每个算法都有它的实际意义,能给我们带来很多启发。 Gale-Shapley 算法最大的意义就在于,作为一个为这些男女牵线的媒人,你并不需要亲自计算稳定婚姻匹配,甚至根本不需要了解每个人的偏好,只需要按照这个算法组织一个男女配对活动就可以了。你需要做的仅仅是把算法流程当作游戏规则告诉大家,游戏结束后会自动得到一个大家都满意的婚姻匹配。对于男性来说,从最喜欢的女孩儿开始追起是顺理成章的事;对于女性来说,不断选择最好的男人也正好符合她的利益。因此,大家会自动遵守游戏规则,不用担心有人虚报自己的偏好。
    历史上,这样的“配对游戏”还真有过实际应用,并且更有意思的是,这个算法的应用居然比算法本身的提出还早 10 年。早在 1952 年,美国就开始用这种办法给医学院的学生安排工作,这被称之为“全国住院医师配对项目”。配对的基本流程就是,各医院从尚未拒绝这一职位的医学院学生中选出最佳人选并发送聘用通知,当学生收到来自各医院的聘用通知后,系统会根据他所填写的意愿表自动将其分配到意愿最高的职位,并拒绝掉其它的职位。如此反复,直到每个学生都分配到了工作。当然,那时人们并不知道这样的流程可以保证工作分配的稳定性,只是凭直觉认为这是很合理的。直到 10 年之后, Gale 和 Shapley 才系统地研究了这个流程,提出了稳定婚姻问题,并证明了这个算法的正确性。

    用稳定性来评价配对方案的好坏的确很站得住脚,但有时候我们也会遇到一些别的需求,它们又对应着算法世界中的诸多其它问题。比方说,如果我们已经知道每一对男女之间的“相配度”,如何寻找一种配对方案使得由此产生的总相配度最大?在算法领域中,这被称为二分图的最大权值匹配问题。再比如,如果不考虑性别的差异(比如同桌、搭档的匹配),问题就更加复杂了,这通常被归入一般图匹配的范畴。这些问题现在都已经找到了有效的算法,不过它们太复杂,已经超出本书的范围了。生活中的算法应用随处可见。这本书要做的,就是带领大家从身边熟悉的事物出发,一睹算法的无尽魅力。

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(1) 这个排名的来源并不重要,它有可能是客户根据每位异性的个人资料直接给出的,也有可能是通过客户提交的个人信息推算出来的。

69 条评论

  • rectaflex

    M67牛的新书啊。。。

  • 小猫

    居然我也有板凳的一天。。

  • 小猫

    另,在此广告,我将负责M67限量签名版书籍销售。太XE了。。
    预定请早。

  • 小猫

    还有啊82你看过love shuffle没有。也是配对啦。

  • 纳米

    Matrix67神牛准备写书了? 纸质还是电子?

  • LK

    那个写书的计划终于要成真了啊……感动啊

  • sippey

    To: 地毯 我先订一本 哈哈

    PS:
    1. 这个婚姻稳定也只是暂时的,大家的preferences都会变得,所以算法并不能解决婚姻稳定的问题。
    2. 详细证明能给个出处么?

  • sippey

    小猫 我先订一本 哈哈

    PS:
    1. 这个婚姻稳定也只是暂时的,大家的preferences都会变得,所以算法并不能解决婚姻稳定的问题。
    2. 详细证明能给个出处么?

  • sippey

    太囧了 把地毯错看成ID了 按ESC也没来得及 M67帮忙连同这贴一起删了吧

  • maxint64

    终于出现了

  • TonyShaw

    ……写的言简意赅

  • Sil

    Algorithm Design的开篇也是这个

  • Claud

    Stable Marriage,也称Stable Matching,一般译为稳定匹配,用“稳定的婚姻搭配”倒确实很有意思:-)
    关于这个问题的应用,我觉得最常见的是在高速交换机和路由器输入端队列调度上。这一点可以参考清华网络所发的几篇综述或者它们写的《高等计算机网络》最后一章。
    理论方面,这个问题及Gale-Shapley算法,最早的专著是D. Knuth写的Stable Marriage and its Relation to Other Combinatorial Problems,而集大成者是D. Gusfield and R. W. Irving在89年写的The Stable Marriage Problem: Structure and Algorithms。后者在国家图书馆可以借到。
    另外,前几年关注这个问题的时候,我搜集了一点论文,包括原始文献、目前的进展和问题的变种,如果还有朋友想多了解一点,可以向我索要。
    QQ:570278422
    邮件:xiaozihang (at) gmail.com

  • zerob13

    稳定婚配啊。。。

  • qyjubriskxp

    其实我觉得如果我原来不懂什么叫算法,看了这章后还是不会明白

  • chmkeily

    跟高考“平衡志愿”的投档似乎有几分相似!

  • crazylamb

    先mark

  • Eagle_Fantasy

    顶~大牛什么时候出书啊..

  • Phil

    原来稳定婚姻系统也可以写成这么长的啊.

  • Bruno

    我觉得很不错啊

  • Bruno

    我也要买!

  • NOnGEek

    此书必顶!

  • 高考完了

    开篇就弄个这么复杂的东西,我都没什么耐心看了。

  • hhtytommy

    很好很好 出书必买

  • biohu

    那些找到最优解的算法,估计又是NPC问题了。

  • maxint64

    再读一遍后 有了些新的想法
    像地幔那位说的 这种稳定是暂时的
    没有恋爱经验的我认为 任何情况下的搭配都是暂时稳定的 “稳定搭配”仅仅在文中的{A,B,C,1,2,3}中成立 或许4加入后 A和4才是最合适的 可惜4没有参加搭配 但并不代表4不存在 4将破坏稳定性 A为了更优的选择 果断外遇
    如果大家都不断更新 追求最优解 那么建议在婚礼上 神父就让新人手摸《算导》 发誓:“我愿意在找到更好的伴侣前深爱着TA。”
    文中有一个前提 每个人对异性的排名是不会改变的 但这一点不是很符合现实 尽管A的梦中情人是4 但是和3的交往中 感情慢慢增加 最终3在A心中的地位高过了4 稳定性得以维持 但是这也理想化了 生活中的意外太多了……
    本菜拙见 让大家见笑了

  • John.Mave

    想起来了…《组合数学》里面讲过
    适合于二分图匹配算法

  • MZ

    小猫~~ 定本书~~

  • h2feo4

    疑问,这个算法是否男女平等呢?
    尝试改变一下,让女方向男方告白,由男方选择
    随手算了一下,得到了不同的结果:
    A-3 B-2 C-4 D-1

  • wuzhengkai

    @29
    按这个算法进行下去本来就是男方最优的

  • Vera

    我留言纯粹是为了订有M牛签名的书的~

  • check

    支持M牛,希望能尽快见到你的书。

  • perfectgeorge

    哇哇哇~ 我要书书书~~~

  • Toby

    同订m牛签名书。。。支持

  • morrowind

    哈哈,以上几位认真了。现实中还有宁缺勿滥的呢,那游戏规则都无法继续下去了。这东西用在择校择业方面确实挺合适的。

  • 延迟认可算法 应用起来过于繁琐

  • xxwzy

    29L亮点

  • dapapa

    记得第一次看到这个问题,是在网上一套”great theoretical ideas in CS” 的ppt里。当时就觉得很有意思。而且对我来说,最有意思的还不是如何对稳定的证明,而是对这种方案对男女双方是否最优的证明。记得就像30楼说的,这种方案产生的配对一定是对男方最优的,而对女方是最差的(male-optimal,femail-pessimal)。前者非常容易理解,后者略有些违背直觉,所以我也总是记不住它的证明。不过联系现实,女方最优的方案大概是不管有多少人向她表白,都不要拒绝任何表白者。给所有人以希望,玩“暧昧”直到她见过了pool里所有的男人,然后才做出最后的决定 :)

  • Greenmoon55

    为什么是male-optimal, female-pessimal?不懂。。
    http://en.wikipedia.org/wiki/Stable_marriage_problem

  • SixSheep

    26L有趣!
    29L的问题值得思考

  • Demon

    排名为权值,最小费用全匹配,然后匈牙利?

  • Alicante

    引言就这么深 别人会感兴趣么

  • holysky5

    书出了?

  • 仔细思考下,觉得这个搭配理论应该有如下假设(俺不是数学专业也不是计算机专业的,俺的逻辑也不是很主流的路呀,有砖头轻点拍):

    一,信息的供求

    在该种假设下,信息是平等全面地面向所有人,没有隐瞒和欺骗。信息是可以忽略成本,并且恒定的。如果信息有成本,那么可能有人选择不接受成本,甚至退出搭配,信息如果随着时间发生变化,那么先前的搭配将完全失效,重新的搭配会根据新的信息产生。

    二,集合范围

    集合{男1,……,男n}和{女1,……,女n}是等数量的,否则如果集合不能做到一一映射的话,那么结果将会是糟糕的。因为总会有人多出来,除非这个人在所有人的心目中都是低于现有对象的排名,否则还是会出现不稳定。有人提出,如果根据Gale-Shapley算法,男最优选择和女最优选择的结局是不一样的。所以,是否这样的理论应该适用于不等集合中?比如文中给出的求职例子,一个job vacancy对应多名求职者,来达到招募的人是最fit的?而且按照一般的六度空间理论,必然需要某些社交高手来做串联,那么每个人所面对的集合肯定不为等。

    三,理性

    在行为金融学(behivour finance)上,最重要的假设就是投资者是理性的,否则接下去的所有分析完全可能被一个非理性的举动所摧毁。那么在搭配理论中,也需要假设所有人的判断是基于理性的选择之上。

    另外的一个不成形的想法,需要搭配理论的帮助的话,那么至少有处于同一集合的两个人的排名是不一样的。如果我们假设所有的男人心中的排名都是{女1>……>女n},所有女人心中的排名都是{男1>……>男n}。这样就直接(男1,女1)……(男n,女n)的组合了,根本不会出现什么不稳定。这个非唯一条件似乎也是一种假设?

    The last but the most is that men love women as women love men。要是出现了同性,我想搭配理论就直接失效了。

    其实,这样的理论用来研究数学中的集合映射就好了,干嘛非要扯上婚姻呢?

  • 仙雾

    神牛此书必火!!!

  • mhsy2003

    这个例子我在《算法设计》那本书第一章看到过。

    我觉得发展一些可以用来做搜索引擎排序,现在搜索的排序是搜索引擎的喜好,我们搜索到页面后可以应当能够拒绝搜索结果,然后搜索引擎应该根据统计的拒绝率来更新排序。

  • 29楼好像错了吧,我也算了编女追男,发现最后结论一样。简化的过程:

    第一轮1被A拒,2被A拒,3A,4B
    第二轮1D,2B,3A,4被B拒
    第三轮1D,2B,3A,4被A拒
    第四轮1被D拒,2B,3A,4D
    第五轮1C,2B,3A,4D

    答案还是一样的啊

  • 44楼和46楼都是我,我再说几句啊。

    44楼的不成形想法是没必要的,这个情况也是可以用搭配理论来解决的,而且刚好需要n轮。

    男最优和女最优的结果应该是一样的,应该达到博弈论里的那种均衡。(求证明)要不从另一面说,如果G-S算法有解,那么这个解必然是唯一解,而且就是上面提到的均衡搭配。但是如何说明G-S算法一定会有解呢?

  • YeatS

    这跟《算法设计》重复了吧……

  • chevy

    好期待这书啊~~

  • asking

    呵呵,Algorithms Design(by Jon Kleinberg and Éva Tardos)这本书的第一章讲的就是这个。

  • waterret

    存在性证明了,是否具有唯一性呢?如何证明啊。想了好久,没有想出来。

  • 影子

    很好,很强大,如果面向广大的读者,比如像我这样的,希望能写的更有趣点,比如可以先引入故事,比如江苏卫视的《非诚勿扰》征友节目,导演怎样选择男嘉宾啊什么的……,然后爆料《非诚勿扰》为什么那么火,背后的数学原理,哈哈,随便说说,反正你的书我先预定本

  • cc

    高考早该用这算法了

  • BY

    还是这个风格 好耍得很 我怎么留不上言….

  • lk_nicole

    #define 本人 傻×
    这个让我想起了最大二分图匹配……
    看到maxint64的这段:
    如果大家都不断更新 追求最优解 那么建议在婚礼上 神父就让新人手摸《算导》 发誓:“我愿意在找到更好的伴侣前深爱着TA。”
    Orz算法导论

  • 新星点灯

    我觉得非常的有道理呢,女的就是要接受追求自己的男人,但只有一个男人追求她的时候,当有更中意的男人追求她的时候,她就可以选择换男朋友,以后我也这样。

  • orbea jersey

    蛮期待博主的文章的!

  • bintree37

    《冷浪漫》里面有的

  • cervelo

    我觉得很不错啊

  • 轻罗

    我最近看了好多关于稳定婚姻算法的文章,就是一直不知道哪个到底才是原创,还是大家好多人心有灵犀呢

  • Bruno

    话说这书最后出没出啊

  • SabreFuny324

    Добрый день! Подскажите пожалуйста, в чем причина не могу прочесть новые добавленые посты!?, при клике по ссылки появляеться сообщение в котором ошибка “404” :( уже как целый день эта проблема…

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