趣题：三角形两顶点在直线上滑动时第三点的轨迹
icon2 Brain Storm | icon4 2010-03-05 13:04| icon328 Comments | 本文内容遵从CC版权协议 转载请注明出自matrix67.com

  

    如图，两条直线相交于点 O 。 △ABC 的顶点 A 在其中一条直线上，顶点 B 在另一条直线上。如果保持 △ABC 的各边边长不变，让点 A 和点 B 在所在直线上滑动，那么点 C 描绘出来的轨迹是一个什么样的图形？


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

    答案：是一个椭圆。

 
     

    为了证明这一点，我们过 O 、 A 、 B 三点做一个圆，并把圆心记作 M 。过 M 、 C 两点作一条直线，直线与圆相交于 P 、 Q 两点。注意到由于 PQ 是圆的直径，因此 ∠POQ 始终为直角。在 △ABC 移动的过程中，圆的直径 AB/sin(∠AOB) 将会始终保持不变。既然圆的直径总是相同的，因此我们可以把这个圆重新描述为过 A 、 B 两点的一个指定直径的圆，这样的话整个圆以及 P 、 Q 的位置就唯一地由 △ABC 决定了。这样，弧 AP 和弧 AQ 的位置虽然不断在变，但它的弧度总保持不变，因此其圆周角也不会变化，即 ∠AOP 和 ∠AOQ 总是定值。既然 A 的轨迹是一条直线，那么 P 、 Q 的轨迹也就分别是一条直线。而 ∠POQ 始终是 90° ，因此 P 、 Q 的轨迹实际上是过 O 点的两条垂直线。

 
  

    以这两条垂直线作为坐标系，我们便可以以一个全新的角度来描述 C 的轨迹了。我们可以把定长线段 PQ 看作是在这个坐标系上滑动，而点 C 的轨迹则是 PQ 上的一定点移动的轨迹。设 C 到 P 的距离为 a ， C 到 Q 的距离为 b ，由于 sin(∠OPQ) 和 sin(∠OQP) 的平方和总为 1 ，因此显然 C 点的坐标 (x,y) 总满足 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 。因此，点 C 的轨迹就是以 OP 、 OQ 为轴的椭圆了。

来源：http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/EllipseByVanSchooten.shtml

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28 条回复

  • 楼层: 沙发 | 2010-03-05 13:08 | zrp 说：

    sofa!!
    哈哈哈~

  • 楼层: 板凳 | 2010-03-05 13:17 | 炮仗把手机崩上天 说：

    恩，不错，我以前只考虑过线段中点的情况。

  • 楼层: 地毯 | 2010-03-05 14:23 | magiclin 说：

    板凳！

  • 楼层: 地板 | 2010-03-05 14:45 | 呼吸 说：

    强人 我认为这个就是利用二维证明三维

  • 楼层: 地下室 | 2010-03-05 20:54 | wuzhengkai 说：

    变换坐标系，很好很强大

  • 楼层: 地基 | 2010-03-05 21:26 | SixSheep 说：

    跟椭圆规有相似的地方

  • 楼层: 地壳 | 2010-03-05 21:46 | feng 说：

    一点都不考虑两条直线重合的情况？

  • 楼层: 地幔 | 2010-03-05 22:07 | HAM 说：

    用“几何画板”实验一下，激发灵感。。。

  • 楼层: 地核 | 2010-03-05 22:10 | HAM 说：

    还有，楼主，“几何画板”可以自动生成“连续”轨迹的，没必要用动画的。

  • 楼层: 10楼 | 2010-03-05 23:06 | ppwwyyxx 说：

    几何画板画不出"轨迹"的感觉。用动画好。。

  • 楼层: 11楼 | 2010-03-06 8:55 | www.28.com 说：

    嗯嗯，试了一下，果然有灵感

  • 楼层: 12楼 | 2010-03-06 11:31 | HAM 说：

    还有，在欧式几何证明中，不允许出现三角函数的，那三点外接圆半径不变可以使用欧式证明的。

  • 楼层: 12a楼 | 2010-03-06 12:43 | Alicante 说：

    我的直觉是圆:)

  • 楼层: 14楼 | 2010-03-06 23:03 | 石头 说：

    所有线段AB的闭包应该更有意思。
    记得初中的时候看过一本80年代的科普小册子《形形色色的曲线》，里边有不少趣味的平面曲线，和常见曲线的不常见性质，就像这里提到的椭圆。

  • 楼层: 15楼 | 2010-03-07 10:51 | Earthson 说：

    非常巧妙！
    但是这句话我不太理解：既然 A 的轨迹是一条直线，那么 P 、 Q 的轨迹也就分别是一条直线。
    我无法说服自己说他是显然的。还有P和Q都是类似于点C的点，lz有没有想过，C在PQ以外回事什么情况。

  • 楼层: 16楼 | 2010-03-07 11:02 | Earthson 说：

    我的意思是P，Q只是C的一个特殊情况，即C完全可以和P或Q重合！或者干脆C就在圆外！情况是不同的吧

  • 楼层: 17楼 | 2010-03-07 11:57 | Earthson 说：

    既然 A 的轨迹是一条直线，那么 P 、 Q 的轨迹也就分别是一条直线。确实是显然的

  • 楼层: 18楼 | 2010-03-07 15:43 | spearous 说：

    用定比分点求轨迹？

  • 楼层: 19楼 | 2010-03-07 19:56 | morrowind 说：

    “这样，弧 AP 和弧 AQ 的位置虽然不断在变，但它的弧度总保持不变，因此其圆周角也不会变化，即 ∠AOP 和 ∠AOQ 总是定值。”
    这个看图片就显然不对，应该是∠AOP 和 ∠AOQ 的sin值总是定值。

  • 楼层: 20楼 | 2010-03-08 13:59 | Elsa 说：

    这题太赞勒~~

  • 楼层: 21楼 | 2010-03-13 17:53 | qswb 说：

    这样，弧 AP 和弧 AQ 的位置虽然不断在变，但它的弧度总保持不变
    为什么

  • 楼层: 22楼 | 2010-03-14 10:06 | Liang Dai 说：

    可不可以这样来想？
    先对坐标做“扩张”，或者想象一束光照射到某个平面的投影，使得投影后两条交叉线夹角为直角。此时在投影面上C点的轨迹为一椭圆。因为为圆锥投影，所以在原平面上的轨迹也为椭圆。

  • 楼层: 23楼 | 2010-03-21 16:17 | miley 说：

    为什么圆的直径 AB/sin(∠AOB) 将会始终保持不变呢？ABC各边长不变，也就是说AB是不变的。怎么可能直径不变呢，直径也不是这么算出来的啊~

  • 楼层: 24楼 | 2010-03-25 14:58 | wo1a 说：

    高中教程圆锥曲线里面的证明题目而已 没这么复杂啦

  • 楼层: 25楼 | 2010-03-30 23:01 | michael 说：

    这不是2阶bezier曲线吗？

  • 楼层: 26楼 | 2011-01-09 18:03 | Blackie 说：

    LZ用的什么软件？

  • 楼层: 27楼 | 2011-08-16 11:49 | orbea jersey 说：

    其实道理就是这样的！

  • 楼层: 28楼 | 2011-10-01 11:52 | phylixal 说：

    高中经典试题的引申题目。
    高中版：平面直角坐标系中有长为2a的杆AB，A点在y轴上滑动，B点在x轴上滑动。求AB中点的运动轨迹。
    加强版1：AB上有点N，AN/NB=n。求N点运动轨迹。
    加强版2：有确定三角形ABC。求C点运动轨迹。
    加强版3：平面坐标系，即坐标轴夹角非直角。求C点运动轨迹。

    1为圆。（由A、B两点坐标易得其中点坐标。）
    2为椭圆。（同理）
    3仍为椭圆（2的空间投影即为3）

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